Observabil

În fizică , orice cantitate este definită ca observabilă, care este într-un fel măsurabilă direct prin operații și instrumentele de măsurare adecvate, sau indirect prin calcul analitic.

Conceptul, esențial pentru practica științei, așa cum este definit riguros de metoda științifică , a evoluat puternic odată cu progresul științei moderne , devenind centrul unei dezbateri aprinse și a unei reflecții atente la un nivel epistemologic și ontologic în cadrul filosofiei științei din secolul XX. secol .

Evoluția conceptului

Mai presus de toate, reflecția asupra fundamentelor mecanicii cuantice a îmbogățit dezbaterea asupra conceptului de observabil cu o nouă, interesantă și profundă metodă de gândire.

De fapt, dacă în fizica clasică orice cantitate a fost considerată, într-un anumit sens, observabilă ( masă , impuls , moment , energie ), deja cu electromagnetism această situație se schimbă în sensul că sunt introduse cantități ( câmpuri și potențiale ) care nu sunt ele direct măsurabile, dar sunt instrumente și contribuții valabile pentru calculul și rezolvarea problemelor fizice asociate.

Cu mecanica cuantică, această diviziune este accentuată și mai mult, deoarece, pe lângă limitele de măsurare impuse de binecunoscutul principiu de incertitudine Heisenberg , unele mărimi fundamentale introduse de această teorie nu numai că nu sunt observabile, dar nici măcar cantități reale nu sunt descrise prin numere complex . De fapt, însă, mecanica cuantică nu se poate lipsi de natura intrinsec complexă a discuțiilor sale, așa că s-a deschis dezbaterea privind interpretarea fizică a acestor cantități complexe. În cazul specific al funcției de undă a fost posibilă interpretarea acestei funcții ca acea mărime al cărei modul pătrat (care este o cantitate reală) oferă densitatea de probabilitate pentru localizarea unei particule. Măsurarea sa este, prin urmare, un concept pur probabilistic: măsurarea unui observabil deranjează sistemul, prin urmare a priori valoarea unui observabil nu este cunoscută până când nu este măsurată: procesul de măsurare face ca sistemul să cadă într-un stat propriu al observabilului (și deci a variabilei dinamice) care se măsoară: acest fapt are implicații foarte profunde care se numește colapsul funcției de undă care este la rândul său aspectul caracteristic al așa-numitei și celebrei interpretări de la Copenhaga .

Observabile și operatori în mecanica cuantică

În mecanica cuantică o observabilă este o cantitate dinamică a sistemului sau stării cuantice .

În abordarea matematică a mecanicii cuantice, un observabil este reprezentat de un operator liniar în general complex și în special de Hermitian , care operează pe un vector de stare al sistemului. În general, liniaritatea se exprimă:

{\hat {f}}(c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2})=c_{1}{\hat {f}}\psi _{1}+c_{2}{\hat {f}}\psi _{2}

{\ displaystyle {\ hat {f}} (c_ {1} \ psi _ {1} + c_ {2} \ psi _ {2}) = c_ {1} {\ hat {f}} \ psi _ {1 } + c_ {2} {\ hat {f}} \ psi _ {2}}

{\ hat f} (c_ {1} \ psi _ {1} + c_ {2} \ psi _ {2}) = c_ {1} {\ hat f} \ psi _ {1} + c_ {2} { \ hat f} \ psi _ {2}

Caracteristica mecanicii cuantice este intrinsec probabilistică, această caracteristică este descrisă cantitativ de principiul incertitudinii Heisenberg : teoria mecanicii undelor ne permite să prezicem comportamentul unui sistem cuantic pe baza probabilității de a găsi o anumită valoare a observabilului. O măsură determină o proiecție a stării, descrisă în general printr-o suprapunere infinită de stări, pe o stare proprie a observabilului. Acest lucru duce la faptul că toate valorile posibile pe care un observabil le poate presupune trebuie să fie valori proprii ale observabilului însuși.

Având în vedere o stare a sistemului

|\varphi \rangle =\sum _{j}c_{j}|e_{j}\rangle

{\ displaystyle | \ varphi \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} | e_ {j} \ rangle}

{\ displaystyle | \ varphi \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} | e_ {j} \ rangle}

unde este $|e_{j}\rangle$ ${\ displaystyle | e_ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle | e_ {j} \ rangle}$ sunt vectorii de bază ai statului, acțiunea unui observabil $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în această stare, este identificată în întregime prin acțiunea sa asupra vectorilor de bază:

A|\varphi \rangle =\sum _{j}c_{j}A|e_{j}\rangle =\sum _{j}c_{j}\sum _{i}c_{ij}^{A}|e_{i}\rangle =\sum _{i,j}c_{j}c_{ij}^{A}|e_{i}\rangle

{\ displaystyle A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} A | e_ {j} \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} \ sum _ {i} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {j} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \ rangle}

{\ displaystyle A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} A | e_ {j} \ rangle = \ sum _ {j} c_ {j} \ sum _ {i} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {j} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \ rangle}

unde este $c_{ij}^{A}$ ${\ displaystyle c_ {ij} ^ {A}}$ $c _ {{ij}} ^ {A}$ sunt coeficienții care caracterizează operatorul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ când acționează asupra stării de bază i și sunt definite de:

c_{ij}^{A}=\langle e_{i}|A|e_{j}\rangle

{\ displaystyle c_ {ij} ^ {A} = \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle}

c _ {{ij}} ^ {A} = \ langle și _ {{i}} | A | e _ {{j}} \ rangle

Prin urmare, este posibil să se reprezinte operatorul ca o matrice de coeficienți $c_{ij}^{A}$ ${\ displaystyle c_ {ij} ^ {A}}$ $c _ {{ij}} ^ {A}$ , adică ca matrice în raport cu o bază dată. De fapt, acțiunea unui operator poate fi scrisă și:

\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{i,j}c_{ij}^{A}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|

{\ displaystyle \ sum _ {i, j} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | = \ sum _ {i, j} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {j} |}

{\ displaystyle \ sum _ {i, j} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | = \ sum _ {i, j} c_ {ij} ^ {A} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {j} |}

Luați în considerare cazul în care matricea coeficienților este diagonală și elementele diagonalei sunt reale: atunci elementele matricei sunt valori proprii ${la}^{'}$ ${\ displaystyle a '}$ $la'$ a observabilului și a vectorilor de bază $|e_{i}\rangle$ ${\ displaystyle | e_ {i} \ rangle}$ $| și _ {{i}} \ rangle$ coincid cu stările proprii $|a'\rangle$ ${\ displaystyle | a '\ rangle}$ $| a '\ rangle$ a observabilului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și fiind diagonala matricei formează o bază ortonormală . În acest caz, avem faptul că operatorul este asociat cu observabilul și avem

A=\sum _{a'}a'|a'\rangle \langle a'|

{\ displaystyle A = \ sum _ {a '} a' | a '\ rangle \ langle a' |}

A = \ sum _ {{a '}} a' | a '\ rangle \ langle a' |

Ecuația valorii proprii a operatorului este deci:

A|a'\rangle =a'|a'\rangle

{\ displaystyle A | a '\ rangle = a' | a '\ rangle}

A | a '\ rangle = a' | a '\ rangle

Interpretarea acestui fapt este că în mecanica cuantică se postulează că toate valorile proprii ${la}^{'}$ ${\ displaystyle a '}$ $la'$ a unui observabil $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt, de asemenea, toate rezultatele posibile ale măsurării observabilului. Fiecare stat propriu este, prin urmare, asociat cu un posibil rezultat al măsurătorii și o măsurare prăbușește starea sistemului, care este, în general, o suprapunere de stări, într-un stat propriu al măsurării observabile. Autorul acestui colaps este proiectorul $|a'\rangle \langle a'|$ ${\ displaystyle | a '\ rangle \ langle a' |}$ $| a '\ rangle \ langle a' |$ , care precipită sistemul prin furnizarea coeficientului ${la}^{'}$ ${\ displaystyle a '}$ $la'$ . În această stare, sistemul rămâne independent de evoluția temporală, până când un agent extern intervine și își modifică starea.

Apoi explicăm cum este posibil să se dezvolte orice vector de stare în termeni de vectorii proprii ai observabilului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

|\varphi \rangle =\sum _{a'}c_{a'}|a'\rangle

{\ displaystyle | \ varphi \ rangle = \ sum _ {a '} c_ {a'} | a '\ rangle}

| \ varphi \ rangle = \ sum _ {{a '}} c _ {{a'}} | a '\ rangle

Baza $|a'\rangle$ ${\ displaystyle | a '\ rangle}$ $| a '\ rangle$ statelor proprii este o bază ortonormală, adică:

\langle a_{i}|a_{j}\rangle =\delta _{ij}

{\ displaystyle \ langle a_ {i} | a_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}

\ langle a_ {i} | a_ {j} \ rangle = \ delta _ {{ij}}

Semnificația coeficienților $c_{a'}=\langle a'|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle c_ {a '} = \ langle a' | \ varphi \ rangle}$ $c _ {{a '}} = \ langle a' | \ varphi \ rangle$ este cea a amplitudinii probabilității valorilor posibile ale măsurii lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Valoarea medie a observabilului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

\langle A\rangle =\langle \varphi |A|\varphi \rangle =\sum _{a'}|c_{a'}|^{2}a'

{\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {a '} | c_ {a'} | ^ {2} a '}

\ langle A \ rangle = \ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {{a '}} | c _ {{a'}} | ^ {{2}} a '

și starea de normalizare a vectorului de stare:

\langle \varphi |\varphi \rangle =\sum _{a'}|c_{a'}|^{2}

{\ displaystyle \ langle \ varphi | \ varphi \ rangle = \ sum _ {a '} | c_ {a'} | ^ {2}}

\ langle \ varphi | \ varphi \ rangle = \ sum _ {{a '}} | c _ {{a'}} | ^ {2}

este o consecință a normalizării statelor proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și înseamnă că rezultatele măsurilor sunt exclusive și exhaustive.

Proprietățile operatorilor

Odată ce am găsit valorile proprii și vectorii proprii ai unui observabil, putem demonstra câteva proprietăți ale operatorilor hermitieni care îi reprezintă.

Prima proprietate este că valorile proprii ale unui operator hermitian sunt reale, am dedus deja acest lucru, dar acum se poate dovedi riguros, de fapt dacă ${la}^{'}$ ${\ displaystyle a '}$ $la'$ este valoarea proprie a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu vector propriu $|a'\rangle$ ${\ displaystyle | a '\ rangle}$ $| a '\ rangle$ care este normalizat (deși nu neapărat), adică $\langle a'|a'\rangle =1$ ${\ displaystyle \ langle a '| a' \ rangle = 1}$ $\ langle a '| a' \ rangle = 1$ atunci valoarea medie a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

\langle a'|A|a'\rangle =a'\langle a'|a'\rangle =a'

{\ displaystyle \ langle a '| A | a' \ rangle = a '\ langle a' | a '\ rangle = a'}

\ langle a '| A | a' \ rangle = a '\ langle a' | a '\ rangle = a'

Deoarece A este Hermitian, atunci se aplică următoarele:

\langle a'|A|a'\rangle =\langle a'|A|a'\rangle ^{*}=a'^{*}

{\ displaystyle \ langle a '| A | a' \ rangle = \ langle a '| A | a' \ rangle ^ {*} = a '^ {*}}

\ langle a '| A | a' \ rangle = \ langle a '| A | a' \ rangle ^ {*} = a '^ {*}

din care se deduce că:

\langle a'|A|a'\rangle =a'=a'^{*}

{\ displaystyle \ langle a '| A | a' \ rangle = a '= a' ^ {*}}

\ langle a '| A | a' \ rangle = a '= a' ^ {*}

prin urmare $a'=a'^{*}$ ${\ displaystyle a '= a' ^ {*}}$ $a '= a' ^ {*}$ , care, după cum știm, este valabil numai dacă $a'\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a '\ in \ mathbb {R}}$ $a '\ in {\ mathbb {R}}$ .

O altă proprietate privește vectorii proprii ai unui operator hermitian: dacă aceștia corespund unor valori proprii diferite, atunci aceștia sunt vectori proprii ortogonali. De fapt, dacă am găsit două valori proprii diferite $a'\neq a''$ ${\ displaystyle a '\ neq a' '}$ $a '\ neq a' '$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu $|a'\rangle ,|a''\rangle$ ${\ displaystyle | a '\ rangle, | a' '\ rangle}$ $| a '\ rangle, | a' '\ rangle$ cei doi vectori proprii ai lor, apoi:

\langle a'|A|a''\rangle =a''\langle a'|a''\rangle

{\ displaystyle \ langle a '| A | a' '\ rangle = a' '\ langle a' | a '' \ rangle}

\ langle a '| A | a' '\ rangle = a' '\ langle a' | a '' \ rangle

dar pentru hermitismul lui A este valabil și următorul :

\langle a'|A|a''\rangle =\langle a''|A|a'\rangle ^{*}=a'\langle a''|a'\rangle ^{*}=a'\langle a'|a''\rangle

{\ displaystyle \ langle a '| A | a' '\ rangle = \ langle a' '| A | a' \ rangle ^ {*} = a '\ langle a' '| a' \ rangle ^ {*} = a '\ langle a' | a '' \ rangle}

\ langle a '| A | a' '\ rangle = \ langle a' '| A | a' \ rangle ^ {*} = a '\ langle a' '| a' \ rangle ^ {*} = a '\ langle a '| a' '\ rangle

Prin echivalarea acestor două expresii și scăderea uneia din cealaltă:

(a''-a')\langle a'|a''\rangle =0

{\ displaystyle (a '' - a ') \ langle a' | a '' \ rangle = 0}

(a '' - a ') \ langle a' | a '' \ rangle = 0

și de atunci $a'\neq a''$ ${\ displaystyle a '\ neq a' '}$ $a '\ neq a' '$ , singura modalitate prin care expresia de mai sus poate fi nulă este că:

\langle a'|a''\rangle =0

{\ displaystyle \ langle a '| a' '\ rangle = 0}

\ langle a '| a' '\ rangle = 0

tocmai asta $|a'\rangle$ ${\ displaystyle | a '\ rangle}$ $| a '\ rangle$ Și $|a''\rangle$ ${\ displaystyle | a '' \ rangle}$ $| a '' \ rangle$ sunt ortogonale.

Rețineți că dacă doi sau mai mulți vectori proprii sunt asociați cu o valoare proprie (valori proprii degenerate), acestea nu vor fi în general ortogonale, cu toate acestea orice combinație liniară de vectori proprii este întotdeauna o soluție a ecuației valorii proprii și se poate alege oricând unul astfel încât să fie ortogonal alte valori proprii.

Valoarea medie a unui observabil

Lasa-i sa fie $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ valorile posibile ale unui operator $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ ; fiecare dintre acestea are o anumită probabilitate $P_{i}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ $P_ {i}$ să apară dacă măsurăm $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Valoarea medie a unui operator este valoarea medie a tuturor rezultatelor posibile ale măsurării $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ponderat cu probabilitățile respective:

\langle A\rangle =\sum _{i}a_{i}P_{i}

{\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ sum _ {i} a_ {i} P_ {i}}

\ langle A \ rangle = \ sum _ {i} a_ {i} P_ {i}

În mecanica cuantică, fiecare mărime fizică este asociată cu un operator liniar și acest operator este definit în așa fel încât într-o stare $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ $| \ varphi \ rangle$ valoarea medie a cantității sale asociate este:

\langle A\rangle =\langle \varphi |A|\varphi \rangle

{\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle}

\ langle A \ rangle = \ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle

adică valoarea de așteptare a magnitudinii $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ asociat cu operatorul $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ pe stat $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ $| \ varphi \ rangle$ . Deoarece valorile măsurilor și, prin urmare, valoarea medie a unui operator trebuie să fie reale, întrucât sunt cantități observabile, acest fapt limitează valorile posibile pe care observabilul le poate asuma.

Se dă o stare:

|\varphi \rangle =a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle

{\ displaystyle | \ varphi \ rangle = a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle}

| \ varphi \ rangle = a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle

unde este $a,b\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$ $a, b \ in {\ mathbb {C}}$ . Calculăm valoarea de așteptare a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ despre această stare:

\langle \varphi |A|\varphi \rangle =\left(a^{*}\langle \alpha |+b^{*}\langle \beta |\right)A\left(a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle \right)=|a|^{2}\langle \alpha |A|\alpha \rangle +|b|^{2}\langle \beta |A|\beta \rangle +a^{*}b\langle \alpha |A|\beta \rangle +ab^{*}\langle \beta |A|\alpha \rangle

{\ displaystyle \ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle = \ left (a ^ {*} \ langle \ alpha | + b ^ {*} \ langle \ beta | \ right) A \ left (a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ right) = | a | ^ {2} \ langle \ alpha | A | \ alpha \ rangle + | b | ^ {2} \ langle \ beta | A | \ beta \ rangle + a ^ {*} b \ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle + ab ^ {*} \ langle \ beta | A | \ alpha \ rangle}

\ langle \ varphi | A | \ varphi \ rangle = \ left (a ^ {*} \ langle \ alpha | + b ^ {*} \ langle \ beta | \ right) A \ left (a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ right) = | a | ^ {2} \ langle \ alpha | A | \ alpha \ rangle + | b | ^ {2} \ langle \ beta | A | \ beta \ rangle + a ^ {*} b \ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle + ab ^ {*} \ langle \ beta | A | \ alpha \ rangle

unde toți termenii sumei trebuie să fie reali. Acum, primii doi termeni sunt reali, prin definiție, de fapt $|a|^{2}$ ${\ displaystyle | a | ^ {2}}$ $| a | ^ {2}$ Și $|b|^{2}$ ${\ displaystyle | b | ^ {2}}$ $| b | ^ {2}$ reprezintă probabilitatea celor doi coeficienți $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , echivalând apoi ceilalți doi termeni cu conjugații lor:

a^{*}b\langle \alpha |A|\beta \rangle +ab^{*}\langle \beta |A|\alpha \rangle =ab^{*}\langle \beta |A^{\dagger }|\alpha \rangle +a^{*}b\langle \alpha |A^{\dagger }|\beta \rangle

{\ displaystyle a ^ {*} b \ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle + ab ^ {*} \ langle \ beta | A | \ alpha \ rangle = ab ^ {*} \ langle \ beta | A ^ {\ dagger} | \ alpha \ rangle + a ^ {*} b \ langle \ alpha | A ^ {\ dagger} | \ beta \ rangle}

a ^ {*} b \ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle + ab ^ {*} \ langle \ beta | A | \ alpha \ rangle = ab ^ {*} \ langle \ beta | A ^ {{\ dagger}} | \ alpha \ rangle + a ^ {*} b \ langle \ alpha | A ^ {{\ dagger}} | \ beta \ rangle

sau:

\langle \alpha |A|\beta \rangle =\langle \alpha |A^{\dagger }|\beta \rangle

{\ displaystyle \ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle = \ langle \ alpha | A ^ {\ dagger} | \ beta \ rangle}

\ langle \ alpha | A | \ beta \ rangle = \ langle \ alpha | A ^ {{\ dagger}} | \ beta \ rangle

acesta este

A=A^{\dagger }

{\ displaystyle A = A ^ {\ dagger}}

A = A ^ {{\ dagger}}

adică operatorii liniari care reprezintă mărimi observabile în mecanica cuantică trebuie să fie operatori hermitieni . Numai în acest caz, de fapt, valoarea lor medie și valorile proprii sunt reale.

Pentru a determina valorile posibile ale unui observabil, trebuie să determinăm valorile proprii ale operatorului Hermitian corespunzător, adică să rezolvăm ecuația valorii proprii:

A|a'\rangle =a'|a'\rangle

{\ displaystyle A | a '\ rangle = a' | a '\ rangle}

A | a '\ rangle = a' | a '\ rangle

Această ecuație este bine cunoscută în algebra liniară , ${la}^{'}$ ${\ displaystyle a '}$ $la'$ reprezintă valoarea proprie la care corespund unul sau mai mulți vectori proprii $|a'\rangle$ ${\ displaystyle | a '\ rangle}$ $| a '\ rangle$ ; dacă vectorul propriu asociat este mai mult de unul, se spune că valoarea proprie este degenerată. Setul de valori proprii $\{a'\}$ ${\ displaystyle \ {a '\}}$ $\{la'\}$ se numește spectru și vectori proprii sunt , de asemenea , numite eigenstates de în contextul mecanicii cuantice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Desigur, există spectre discrete și spectre continue și, de asemenea, spectre mixte: cazuri notabile în mecanica cuantică sunt operatorul de poziție și operatorul de impuls care au un spectru continuu.

Caz continuu

Toate considerațiile făcute pentru cazul discret se aplică cazului continuu. Ecuația valorii proprii în cazul continuu devine:

{\hat {f}}\psi _{f}(q)=f\psi _{f}(q)

{\ displaystyle {\ hat {f}} \ psi _ {f} (q) = f \ psi _ {f} (q)}

{\ hat f} \ psi _ {f} (q) = f \ psi _ {f} (q)

unde am indicat cu ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ operatorul, cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ valoarea proprie continuă și cu $\psi _{f}(q)$ ${\ displaystyle \ psi _ {f} (q)}$ $\ psi _ {f} (q)$ autostatul sau auto- funcționarea operatorului în funcție de coordonate. Dacă f sunt valori continue, atunci se poate dezvolta un vector de stare generic în termeni de stări proprii ale ${\hat {f}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ hat f}$ :

\Psi (q)=\int df\,a(f)\psi _{f}(q)

{\ displaystyle \ Psi (q) = \ int df \, a (f) \ psi _ {f} (q)}

\ Psi (q) = \ int df \, a (f) \ psi _ {f} (q)

unde integralul trebuie înlocuit cu suma, $a(f)$ ${\ displaystyle a (f)}$ $a (f)$ corespund coeficienților $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ a cazului discret. Interpretarea sa este că probabilitatea de a găsi particula printre valori $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $f+df$ ${\ displaystyle f + df}$ ${\ displaystyle f + df}$ :

dP=|a(f)|^{2}df\

{\ displaystyle dP = | a (f) | ^ {2} df \}

dP = | a (f) | ^ {2} df \

și normalizarea trebuie să urmeze în consecință:

\int df\,|a(f)|^{2}=1

{\ displaystyle \ int df \, | a (f) | ^ {2} = 1}

\ int df \, | a (f) | ^ {2} = 1

Într-adevăr, trebuie să ne asigurăm întotdeauna că funcția de undă $\Psi (q)$ ${\ displaystyle \ Psi (q)}$ $\ Psi (q)$ este normalizat:

\int dq\Psi ^{*}(q)\Psi (q)=1

{\ displaystyle \ int dq \ Psi ^ {*} (q) \ Psi (q) = 1}

\ int dq \ Psi ^ {*} (q) \ Psi (q) = 1

Normalizarea statelor proprii ale unui operator sau a funcțiilor proprii ale unui operator în cazul continuu este mai delicată. De fapt știm că coeficienții $a(f)$ ${\ displaystyle a (f)}$ $a (f)$ trebuie derivat din:

a(f)=\int dq\,\psi _{f}^{*}(q)\Psi (q)

{\ displaystyle a (f) = \ int dq \, \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ Psi (q)}

{\ displaystyle a (f) = \ int dq \, \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ Psi (q)}

pe de altă parte, trebuie să fie:

\int dq\,\psi _{f}^{*}(q)\Psi (q)=\int df'\,a(f')\left[\int dq\psi _{f}^{*}(q)\psi _{f'}(q)\right]=a(f)

{\ displaystyle \ int dq \, \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ Psi (q) = \ int df '\, a (f') \ left [\ int dq \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ psi _ {f '} (q) \ right] = a (f)}

{\ displaystyle \ int dq \, \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ Psi (q) = \ int df '\, a (f') \ left [\ int dq \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ psi _ {f '} (q) \ right] = a (f)}

deci integralul dintre paranteze trebuie să fie astfel încât să dispară când $f\neq f'$ ${\ displaystyle f \ neq f '}$ $f \ neq f '$ , în același timp trebuie să furnizeze $a(f)$ ${\ displaystyle a (f)}$ $a (f)$ cand $f=f'$ ${\ displaystyle f = f '}$ $f = f '$ și în același timp asigura normalizarea funcției de undă. Această normalizare este asigurată de funcția delta Dirac care o funcție generalizată :

\int dq\psi _{f}^{*}(q)\psi _{f'}(q)=\delta (f-f')

{\ displaystyle \ int dq \ psi _ {f} ^ {*} (q) \ psi _ {f '} (q) = \ delta (f-f')}

\ int dq \ psi _ {{f}} ^ {{*}} (q) \ psi _ {{f '}} (q) = \ delta (f-f')

Unele proprietăți fundamentale ale funcției delta Dirac sunt:

{\begin{cases}\delta (x)=0&x\neq 0\\\delta (x)=\delta (0)=\infty &x=0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ delta (x) = 0 & x \ neq 0 \\\ delta (x) = \ delta (0) = \ infty & x = 0 \ end {cases}}}

{\ begin {cases} \ delta (x) = 0 & x \ neq 0 \\\ delta (x) = \ delta (0) = \ infty & x = 0 \ end {cases}}

sau:

{\begin{cases}\delta (x-x_{0})=0&x\neq x_{0}\\\delta (x-x_{0})=\infty &x=x_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ delta (x-x_ {0}) = 0 & x \ neq x_ {0} \\\ delta (x-x_ {0}) = \ infty & x = x_ {0 } \ end {cases}}}

{\ begin {cases} \ delta (x-x_ {0}) = 0 & x \ neq x_ {0} \\\ delta (x-x_ {0}) = \ infty & x = x_ {0} \ end {cazuri}}

Această funcție are cele mai numeroase și variate aplicații. O aplicație importantă în mecanica cuantică pe care o vom vedea este:

\int _{-\infty }^{\infty }dx\,e^{ix'(k-k')}=2\pi \delta (k-k')

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, e ^ {ix '(k-k')} = 2 \ pi \ delta (k-k ')}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} dx \, e ^ {{ix '(k-k')}} = 2 \ pi \ delta (k-k ')

și în trei dimensiuni

\int _{-\infty }^{\infty }d\mathbf {r} \,e^{i\mathbf {r} (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} d \ mathbf {r} \, e ^ {i \ mathbf {r} (\ mathbf {k} - \ mathbf {k} ')} = ( 2 \ pi) ^ {3} \ delta (\ mathbf {k} - \ mathbf {k} ')}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} d {\ mathbf {r}} \, e ^ {{i {\ mathbf {r}} ({\ mathbf {k}} - {\ mathbf {k}} ')}} = (2 \ pi) ^ {3} \ delta ({\ mathbf {k}} - {\ mathbf {k}}')

Observabile compatibile

Același subiect în detaliu: Comutator (matematică) .

Se spune că două observabile sunt compatibile dacă operatorii care le reprezintă au o bază comună de stări proprii: de fapt, a avea aceleași stări proprii înseamnă că există o bază în care matricile coeficienților celor doi operatori sunt diagonale. Prin urmare, dați două observabile compatibile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și o bază formată din vectori $|e_{i}\rangle$ ${\ displaystyle | e_ {i} \ rangle}$ $| e_ {i} \ rangle$ , ecuațiile respective ale valorii proprii sunt:

A|e_{i}\rangle =a'|e_{i}\rangle

{\ displaystyle A | e_ {i} \ rangle = a '| e_ {i} \ rangle}

A | e_ {i} \ rangle = a '| e_ {i} \ rangle

B|e_{i}\rangle =b'|e_{i}\rangle

{\ displaystyle B | e_ {i} \ rangle = b '| e_ {i} \ rangle}

B | e_ {i} \ rangle = b '| e_ {i} \ rangle

Deoarece două matrice diagonale navighează întotdeauna, o altă proprietate a observabilelor compatibile este faptul că comutatorul dintre cei doi operatori respectivi este nul. De fapt, există o teoremă care afirmă că condiția necesară pentru ca doi operatori să admită aceleași stări proprii este ca aceștia să facă naveta.

Observabilele incompatibile, uneori numite complementare , sunt, dimpotrivă, observabile reprezentate de operatori care nu comută. În general, orice pereche de observabile generice, care nu sunt în relația de a fi compatibile , nu poate fi măsurată simultan, cu excepția prețului incertitudinilor, una cu atât mai mare cu cât cealaltă este mai mică.

Principiul incertitudinii lui Heisenberg

Același subiect în detaliu: principiul incertitudinii lui Heisenberg .

Principiul incertitudinii lui Heisenberg stabilește că nu este posibil să se cunoască simultan valorile a două observabile incompatibile și cuantifică imprecizia măsurării lor simultane.
Formulat de Werner Heisenberg în 1927 pentru cazul poziției și impulsului , principiul se aplică oricărei perechi de variabile canon conjugate. În formulările moderne de mecanică cuantică principiul nu mai este așa, ci este o teoremă ușor derivabilă din postulate .

În cel mai cunoscut caz de incertitudine dintre poziție și moment avem:

\Delta {\hat {x}}\Delta {\hat {p}}\geq {\frac {\hbar }{2}}

{\ displaystyle \ Delta {\ hat {x}} \ Delta {\ hat {p}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}

\ Delta {\ hat {x}} \ Delta {\ hat {p}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}

Dă două observabile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , principiul în forma sa cea mai generală este

\Delta {\hat {A}}\Delta {\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left\|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle \right\|

{\ displaystyle \ Delta {\ hat {A}} \ Delta {\ hat {B}} \ geq {\ frac {1} {2}} \ left \ | \ left \ langle \ left [{\ hat {A} }, {\ hat {B}} \ right] \ right \ rangle \ right \ |}

\ Delta {\ hat {A}} \ Delta {\ hat {B}} \ geq {\ frac {1} {2}} \ left \ | \ left \ langle \ left [{\ hat {A}}, { \ hat {B}} \ right] \ right \ rangle \ right \ |

Bibliografie

(EN) Sunny Auyang, Cum este posibilă teoria câmpului cuantic? , Oxford, Oxford University Press, 1995, ISBN 978-01-95-09345-2 .
(EN) George Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Dover Publications, 2004, ISBN 978-04-86-43517-6 .
( EN ) Veeravalli S. Varadarajan, Geometria mecanicii cuantice, vol. 1 și 2 , Berlin, Springer, 2006, ISBN 978-03-87-49385-5 .
Peter Atkins , Julio De Paula, Chimie fizică , ediția a IV-a, Bologna, Zanichelli, 2004, ISBN 88-08-09649-1 .
Valter Moretti Teoria spectrală și mecanica cuantică. Operatori în spațiile Hilbert Springer-Verlag, 2010

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Observabil , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică