Octant (geometrie)

După cum sugerează și numele, octantul este, în geometrie , a opta parte a unui spațiu euclidian . În funcție de caz, sau dacă spațiul în cauză este podeaua, spațiul sau un spațiu generic $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, definiția octantului este ușor diferită.

Geometria plană

În geometria plană, octantul este a opta parte a cercului cu o unitate de rază, la fel cum sextantul este al șaselea. Prin urmare, octantul este partea cercului dintre două jumătăți de linie care, având originea în comun, sunt împărțite la un unghi sexagesimal de 45 ° sau $\pi /4$ ${\ displaystyle \ pi / 4}$ ${\ displaystyle \ pi / 4}$ radiani.

Două instrumente antice de navigație pentru navigație își iau numele de la termenul octant și sextant: octantul și cel mai recent sextant .

Geometrie solidă

În geometria solidă, octantul este a opta parte a spațiului, delimitată de trei planuri incidente două câte două ortogonale. Un exemplu excelent de octant solid este unghiul solid din pereții unei case, văzut din interior: dacă doi pereți adiacenți sunt la 90 ° unul față de altul, iar tavanul (sau podeaua) este la 90 ° cu ambele, atunci cei trei pereți determină un octant. Deoarece un unghi complet solid măsoară $4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$ steradienii, măsura sa a opta parte $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ steradieni .

Geometrie

În general, definim ortantul , care este extensia generală a conceptului de octant în geometria solidă.

În spațiul vectorial euclidian generic $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ se alege unul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -tuple de vectori ortonormali $(b_{1},...,b_{n})$ ${\ displaystyle (b_ {1}, ..., b_ {n})}$ ${\ displaystyle (b_ {1}, ..., b_ {n})}$ ; un ortant $O\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle O \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle O \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ este ansamblul tuturor vectorilor de tip $v=\lambda _{1}b_{1}+\lambda _{2}b_{2}+...+\lambda _{n}b_{n}$ ${\ displaystyle v = \ lambda _ {1} b_ {1} + \ lambda _ {2} b_ {2} + ... + \ lambda _ {n} b_ {n}}$ ${\ displaystyle v = \ lambda _ {1} b_ {1} + \ lambda _ {2} b_ {2} + ... + \ lambda _ {n} b_ {n}}$ unde toți coeficienții $\lambda _{i}\in \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ . În mod obișnuit, suntem limitați la alegerea vectorilor ortonormali cu aceeași direcție ca vectorii bazei standard, adică $b_{i}=\pm e_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i} = \ pm e_ {i}}$ ${\ displaystyle b_ {i} = \ pm e_ {i}}$ .

Fără îndoială, este logic să extindeți definiția în acest fel, deoarece orantantul se dovedește a fi unul dintre $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ porțiuni de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ separat de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ hiperplane ortogonale două câte două.

Elemente conexe

Cadrant (geometrie analitică)

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Octant

linkuri externe

( EN ) Octant pe MathWorld.com