optică nelineară

Optica neliniară este domeniul de studiu de optica , care se ocupă cu comportarea luminii în mijloace neliniare, adică acele mijloace în care polarizarea vectorul P este legat de electric câmp vectorial E cu un non-linear relație .

Optica neliniară sa născut cu dezvoltarea laserelor : un comportament non-linear, de fapt, se poate observa mai ales în prezența unor intensități ridicate ale câmpului electric, la fel ca în cazul de mare intensitate în impulsuri cu laser grinzi, în care termeni de ordin mai mare decât primul în dezvoltarea serie a constantei dielectrice a materialului.

Formularea electromagnetică a interacțiunii neliniare

Pentru a descrie originea termenilor neliniare în interacțiunea electromagnetică, vom face polarizarea P apar în ecuațiile lui Maxwell :

{\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\partial (\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}})}{\partial t}}

{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ ori {\ vec {H}} = {\ vec {J}} + {\ frac {\ parțial {\ vec {D}}} {\ t parțial}} = \ sigma {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial (\ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} + {\ vec {P}})} {\ t parțial}}}

{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ ori {\ vec {H}} = {\ vec {J}} + {\ frac {\ parțial {\ vec {D}}} {\ t parțial}} = \ sigma {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial (\ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} + {\ vec {P}})} {\ t parțial}}}

Presupunând că încărcătura indusă de polarizare de câmpul E mică și că mediul este non-conductive, obținem:

{\nabla }^{2}E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}

{\ Displaystyle {\ nabla} ^ {2} E - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} E} {\ t parțial ^ {2}}} = \ mu _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} P} {\ parțial t ^ {2}}}}

{\ Displaystyle {\ nabla} ^ {2} E - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} E} {\ t parțial ^ {2}}} = \ mu _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} P} {\ parțial t ^ {2}}}}

Din punct de vedere liniar, termenul la dreapta egal pot fi colectate datorită relației ${\vec {P}}=\varepsilon _{0}\chi {\vec {E}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {P}} = \ varepsilon _ {0} \ chi {\ vec {E}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {P}} = \ varepsilon _ {0} \ chi {\ vec {E}}}$ luând astfel în considerare indicele de refracție al mediului luate în considerare. În realitate, chiar și în cazul unor sisteme optice liniare ar fi necesar să se ia în considerare anizotropia mediu și memoria sa, ceea ce conduce la o descriere a susceptibilității $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ sub forma unui tensor și pentru a exprima relația care leagă polarizarea și câmpul electric sub forma unei convoluție integrale a lungul timpului. În orice caz, lăsând aceste aspecte, putem scrie polarizarea ${\bar {P}}$ ${\ displaystyle {\ bar {P}}}$ ${\ Bar {P}}$ ca suma termenilor liniare și neliniare:

P=\varepsilon _{0}(\chi ^{(1)}E+\chi ^{(2)}E^{2}+\chi ^{(3)}E^{3}+...)

{\ Displaystyle P = \ varepsilon _ {0} (\ chi ^ {(1)} E + \ chi ^ {(2)} E ^ {2} + \ chi ^ {(3)} E ^ {3} + . ..)}

P = \ varepsilon _ {{0}} (\ chi ^ {{(1)}} E + \ chi ^ {{(2)}} E ^ {{2}} + \ chi ^ {{(3)} } E ^ {{3}} + ...)

a ne limita la considerarea termenului pătratic, observăm că prin substituirea $P_{NL}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E^{2}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}(e^{i2\omega t}+c.c.)$ ${\ P_ displaystyle {NL} = \ varepsilon _ {0} \ chi ^ {(2)} E ^ {2} = \ varepsilon _ {0} \ chi ^ {(2)} (e ^ {I2 \ omega t } + cc)}$ $P _ {{NL}} = \ varepsilon _ {{0}} \ chi ^ {{(2)}} E ^ {{2}} = \ varepsilon _ {{0}} \ chi ^ {{(2) }} (e ^ {{i2 \ omega t}} + cc)$ în ecuația de undă un termen se naște care oscilează la frecvența inițială de două ori.

Aceste doua efecte de ordin devin importante atunci când intensitatea câmpului incidente modifică răspunsul natural de tip elastic la perturbația că atomul ar fi în cazul în care intensitatea incidentului au fost mult mai mici decât cea a câmpului atomic. În general, domeniul perturbând, de exemplu , un fascicul laser, generează o descentralizare într - un singur atom între baricentrele norului de electroni (-) și a nucleului (+). Această descentralizare se datorează în mare parte deformarea norului de electroni în ceea ce privește configurația sa naturală, chiar dacă câmpul incident, de asemenea, tinde să acționeze asupra miezului în sens invers. Cu toate acestea, deoarece acest lucru este mult mai greu decât norul electronic, acest efect poate fi considerat secundar. Dacă luăm în considerare o zecime din domeniul atomic, ca prag ( $\approx 10^{11}$ ${\ Displaystyle \ cca.10 ^ {11}}$ $\ Cca.10 ^ {{11}}$ ) Veți obține o intensitate ( $I={\frac {\varepsilon _{0}c}{2}}E^{2}$ ${\ Displaystyle I = {\ frac {\ varepsilon _ {0} c} {2}} E ^ {2}}$ $I = {\ frac {\ varepsilon _ {{0}} c} {2}} E ^ {{2}}$ ) Semnificativ de 10 W ¹¹ cm ^2.

Pentru a înțelege această descriere în detaliu, ia în considerare ecuația forțelor care acționează asupra unui electron dintr-un atom supus unui câmp de incident extern:

m{\ddot {x}}=eE-{\frac {dV}{dx}}-m\gamma {\dot {x}}

{\ Displaystyle m {\ ddot {x}} = eE - {\ frac {dV} {dx}} - m \ gamma {\ dot {x}}}

m {\ ddot {x}} = eE - {\ frac {dV} {dx}} - m \ gamma {\ dot {x}}

unde eE este forța exercitată de câmpul magnetic extern, dV / dx care , datorită potențialului atomic în care electronul este scufundat , iar ultimul termen ia în considerare o forță care poate fi modelat prin frecarea vâscoasă care permite electronul să rămână în orbită în jurul nucleului , chiar și în absența unor forțe externe. Potențialul atomului în condiții non-perturbative (câmp mic incident) este de tip armonic. Aceasta derivă din dezvoltarea serie de forța care acționează în condiții de repaus asupra electronului cufundat în potențialul: F = kx _odihnă. Substituind în ecuația de forțe, obținem:

{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {e}{m}}E

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = {\ frac {e} {m}} E}

{\ Ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}} + \ omega _ {{0}} ^ {{2}} x = {\ frac {e} {m}} E

în cazul în care ω ₀ este pulsația de rezonanță sau primul nivel de energie disponibile în termeni cuantice.

În cazul terenurilor incidente mici și în conformitate cu ipotezele de

mediu diluat care permite

să ia în considerare polarizarea ca suma dipolilor unice create de domeniul perturbant
să ia în considerare câmpul extern totală care acționează asupra electronului ca domeniu incident unic, fără a lua în considerare efectul dipolilor le creează
la χ ipoteza ⁽¹⁾ << 1

γ << ω ₀
ω≈ω ₀

primesti

{\bar {P}}=Ne{\frac {e/m{\bar {E}}_{0}e^{i\omega t}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\omega \gamma }}

{\ Displaystyle {\ bar {P}} = Ne {\ frac {e / m {\ bar {E}} _ {0} e ^ {i \ omega t}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} + i \ omega \ gamma}}}

{\ Bar {P}} = Ne {\ frac {e / m {\ bar {E}} _ {{0}} e ^ {{i \ omega t}}} {\ omega _ {{0}} ^ {{2}} - \ omega ^ {{2}} + i \ omega \ gamma}}

\chi ^{(1)}=Ne{\frac {e/(m\varepsilon _{0})}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\omega \gamma }}

{\ Displaystyle \ chi ^ {(1)} = Ne {\ frac {e / (m \ varepsilon _ {0})} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} + i \ omega \ gamma}}}

\ Chi ^ {{(1)}} = Ne {\ frac {e / (m \ varepsilon _ {{0}})} {\ omega _ {{0}} ^ {{2}} - \ omega ^ { {2}} + i \ omega \ gamma}}

unde N este densitatea dipolilor în mijloc. Din ultimele două expresii indicele de refracție al mediului este obținut ca suma unui n termen pur reale ^„ care ia în considerare variația indusă pe faza câmpului incidentului și una pur imaginară a modulo ^{n“ 'care} descrie variații de amplitudine.

n^{'}\approx 1+{\frac {1}{2}}{\frac {Ne^{2}}{m\varepsilon _{0}}}{\frac {2\omega _{0}(\omega _{0}-\omega )}{4\omega _{0}^{2}(\omega _{0}-\omega )^{2}+\gamma ^{2}\omega _{0}^{2}}}

{\ Displaystyle n ^ { '} \ approx 1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {Ne ^ {2}} {m \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {2 \ omega _ {0} (\ omega _ {0} - \ omega)} {4 \ omega _ {0} ^ {2} (\ omega _ {0} - \ omega) ^ {2} + \ gamma ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2}}}}

n ^ {{ '}} \ approx 1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {Ne ^ {{2}}} {m \ varepsilon _ {{0}}}} {\ frac {2 \ omega _ {{0}} (\ omega _ {{0}} - \ omega)} {4 \ omega _ {{0}} ^ {{2}} (\ omega _ {{0}} - \ omega ) ^ {{2}} + \ gamma ^ {{2}} \ omega _ {{0}} ^ {{2}}}}

n^{''}\approx 1+{\frac {1}{2}}{\frac {Ne^{2}}{m\varepsilon _{0}}}{\frac {-\omega _{0}\gamma }{4\omega _{0}^{2}(\omega _{0}-\omega )^{2}+\gamma ^{2}\omega _{0}^{2}}}

{\ Displaystyle n ^ { ''} \ approx 1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {Ne ^ {2}} {m \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {- \ omega _ {0} \ gamma} {4 \ omega _ {0} ^ {2} (\ omega _ {0} - \ omega) ^ {2} + \ gamma ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2 }}}}

n ^ {{ ''}} \ approx + {\ frac {1} {2}} {\ frac {Ne ^ {{2}}} {m \ varepsilon _ {{0}}}} {\ frac 1 { - \ omega _ {{0}} \ gamma} {4 \ omega _ {{0}} ^ {{2}} (\ omega _ {{0}} - \ omega) ^ {{2}} + \ gamma ^ {{2}} \ omega _ {{0}} ^ {{2}}}}

Dacă luăm în considerare acum ipoteza în care potențialul este perturbat de câmpul de incident, acesta nu mai este de tip armonic este, dar este supusă prezența unui termen cub:

V(x)=V_{0}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{3}}\beta x^{3}+...

{\ V displaystyle (x) = V_ {0} + {\ frac {1} {2}} \ alpha x ^ {2} + {\ frac {1} {3}} \ beta x ^ {3} +. ..}

V (x) = V _ {{0}} + {\ frac {1} {2}} \ alpha x ^ {{2}} + {\ frac {1} {3}} \ beta x ^ {{3 }} + ...

Datorită termenului antisimetrica forma potențialului este dezechilibrată. Prin urmare, electronul este cel mai adesea găsit pe de o parte, mai degrabă decât celălalt în ceea ce privește nucleul, ceea ce înseamnă că tendința nu mai este armonic. Prin înlocuirea noua formă a potențialului în ecuația de forțe, noul sistem poate fi studiat printr-o abordare perturbational. Să presupunem că noua soluție poate fi exprimată ca o sumă de termeni, dintre care unul este perturbativa:

x(t)=x^{(1)}(t)+x^{(2)}(t)

{\ Displaystyle x (t) = x ^ {(1)} (t) + x ^ {(2)} (t)}

x (t) = x ^ {{(1)}} (t) + x ^ {{(2)}} (t)

unde x ⁽¹⁾ (t) este soluția în cazul terenurilor incidente mici și , prin urmare potențialelor armonice. Ecuația forțelor care acționează asupra electronului devine:

{\ddot {x}}^{(2)}+\gamma {\dot {x}}^{(2)}+\omega _{0}^{2}x^{2}=-\beta (x^{(1)}+x^{(2)})^{2}

{\ Displaystyle {\ ddot {x}} ^ {(2)} + \ gamma {\ dot {x}} ^ {(2)} + \ omega _ {0} ^ {2} x ^ {2} = - \ beta (x ^ {(1)} + x ^ {(2)}) ^ {2}}

{\ Ddot {x}} ^ {{(2)}} + \ gamma {\ dot {x}} ^ {{(2)}} + \ omega _ {{0}} ^ {{2}} x ^ {{2}} = - \ beta (x ^ {{(1)}} + x ^ {{(2)}}) ^ {{2}}

Acum, în ipoteza că x ⁽²⁾ << x ⁽¹⁾ (abordare perturbativa) termenul x ⁽²⁾ la dreapta ecuației este neglijabilă și rămâne singurul termen x ⁽¹⁾ deja cunoscut , deoarece este soluția a cazului neperturbat. Se observă că , datorită exponentul pătratice la dreapta ecuației, soluția x ⁽²⁾ va oscila la o frecvență de 2ω.