Parabola (geometrie)

Parte dintr-o parabolă (în albastru), cu diverse caracteristici (în alte culori). Parabola completă nu este limitată: în această orientare, se extinde infinit la stânga, la dreapta și în sus.

Parabola este o anumită figură plană .

Este o secțiune conică specială, cum ar fi „ elipsa și l” hiperbola .

Poate fi definit ca locusul punctelor echidistante de o linie dreaptă (numită director ) și un punct fix (numit foc ).

Pilda este o curbă matematică foarte importantă și are numeroase aplicații în fizică și inginerie .

Definiție

Parabola este locusul geometric al punctelor de pe un plan echidistant de un punct fix $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , numit foc și dintr-o linie dreaptă dată $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , numit director.

Secțiunea conică

Reflectorul este o secțiune conică : se obține ca intersecție a unui con infinit cu un plan paralel cu o linie dreaptă generatoare.

O parabolă este o secțiune conică , adică o figură care se obține ca intersecție între un con circular și un plan .

Tipul secțiunii conice depinde de înclinația planului față de con.

O generație dreaptă a conului este o linie dreaptă conținută în suprafața conului.

O parabolă este o curbă obținută ca intersecție a unui con circular și a unui plan paralel cu o linie dreaptă generatoare a conului.

Dacă planul nu este paralel cu o linie dreaptă generatoare, veți obține alte secțiuni conice, cum ar fi de exemplu hiperbola „ elipsă sau l”.

Locul geometric

O parabolă poate fi, de asemenea, definită ca locusul geometric în modul următor.

O parabolă este ansamblul de puncte la distanță egală de o dreaptă $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ (numit director) și un punct $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ (numit foc) care nu este conținut în $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

O parabolă: este locusul punctelor echidistante între punct

F.

{\ displaystyle F}

F.

(foc) și linia dreaptă

d

{\ displaystyle d}

d

(lider, reprezentat în grafic prin litera L). În desen, segmentele

FP_{i}

{\ displaystyle FP_ {i}}

FP_ {i}

Și

P_{i}Q_{i}

{\ displaystyle P_ {i} Q_ {i}}

P_ {i} Q_ {i}

au aceeași lungime (pt

i=1,2,3

{\ displaystyle i = 1,2,3}

i = 1,2,3

).

Cu alte cuvinte, o parabolă este ansamblul de puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ astfel încât, indicat cu $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ proiecția ortogonală a $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pe linia $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , lungimile segmentelor sunt egale între ele

{\overline {PF}}={\overline {PQ}}.

{\ displaystyle {\ overline {PF}} = {\ overline {PQ}}.}

\ overline {PF} = \ overline {PQ}.

Linia dreaptă care trece prin $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ iar ortogonal la director constituie „axa de simetrie a curbei.
Axa de simetrie se intersectează cu parabola, punctul de mijloc dintre foc și proiecția sa pe regizor, se spune vârf al parabolei.

Parabola, în geometrie descriptivă , este și locusul geometric al centrelor cercurilor tangente la un cerc și o linie dreaptă. ^[1]

Ecuația cartesiană a parabolei

În geometria analitică , podeaua este echipată cu coordonate carteziene ortogonale, iar o parabolă poate fi descrisă ca un locus de puncte care satisface o ecuație de un anumit tip.

O parabolă este setul de puncte $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ planul cartezian care satisface o ecuație pătratică de tipul

ax^{2}+2ab\,xy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\;

{\ displaystyle ax ^ {2} + 2ab \, xy + by ^ {2} + 2gx + 2fy + c = 0 \;}

{\ displaystyle ax ^ {2} + 2ab \, xy + by ^ {2} + 2gx + 2fy + c = 0 \;}

Prin acționarea unei rotații care transformă axa parabolei într-o linie dreaptă paralelă cu axa ordonată, se poate obține o expresie mai simplă, cum ar fi:

y=ax^{2}+bx+c

{\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}

y = ax ^ {2} + bx + c

cu $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ .

Dacă, pe de altă parte, rotația transformă axa într-o linie dreaptă paralelă cu axa abscisei, ecuația devine:

x=ay^{2}+by+c.

{\ displaystyle x = ay ^ {2} + de + c.}

x = ay ^ {2} + de + c.

Ecuația generală a parabolei

O linie dreaptă este dată sub formă implicită $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + cu + c = 0$ și un punct $P(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle P (x_ {0}, y_ {0})}$ $P (x_ {0}, y_ {0})$ în plan, care nu aparține liniei drepte, parabolei care are drept directivă linia menționată mai sus și punctul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ are ecuație:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0

{\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}

Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0

Unde parametrii sunt găsiți prin următoarele valori:

{\begin{aligned}&A={\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\&B=-{\frac {2ab}{a^{2}+b^{2}}}\\&C={\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\&D=-2\left(x_{0}+{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}}\right)\\&E=-2\left(y_{0}+{\frac {bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)\\&F=\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & A = {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & B = - {\ frac {2ab} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & C = {\ frac {a ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & D = -2 \ left (x_ {0} + {\ frac {ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \\ & E ​​= -2 \ left (y_ {0} + {\ frac { bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \\ & F = \ left (x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & A = {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & B = - {\ frac {2ab} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & C = {\ frac {a ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & D = -2 \ left (x_ {0} + {\ frac {ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \\ & E ​​= -2 \ left (y_ {0} + {\ frac { bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \\ & F = \ left (x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \ end {align}}}

Aceste ecuații sunt derivate din definiția metrică a parabolei:

{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}={\frac {|ax+by+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {(x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2}}} = {\ frac {| ax + by + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {(x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2}}} = {\ frac {| ax + by + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

Din ecuația anterioară rădăcina este eliminată prin pătrat și în cele din urmă coeficienții sunt egaliți cu cei ai ecuației generale a conicelor.

Puteți transforma cu ușurință liderul implicit în lider explicit împărțind totul la $b^{2}$ ${\ displaystyle b ^ {2}}$ $b ^ 2$ și simplificând, de asemenea, amintind că $-{\frac {a}{b}}=m;-{\frac {c}{b}}=q;$ ${\ displaystyle - {\ frac {a} {b}} = m; - {\ frac {c} {b}} = q;}$ $- {\ frac {a} {b}} = m; - {\ frac {c} {b}} = q;$ .

Ecuația parabolei cu vârf la origine și axa de simetrie coincidentă cu axa y

Parabola cu vârf: la origine și focalizare pe axa y și directoare paralele cu axa x.

Este $p>0$ ${\ displaystyle p> 0}$ $p> 0$ distanța focalizare-directoare.

Focul are coordonate $F\left(0;{\frac {p}{2}}\right)$ ${\ displaystyle F \ left (0; {\ frac {p} {2}} \ right)}$ $F \ left (0; {\ frac {p} {2}} \ right)$ .

Director $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ are ecuație $y=-{\frac {p}{2}}$ ${\ displaystyle y = - {\ frac {p} {2}}}$ $y = - {\ frac p2}$ .

Ideea $H\left(0;-{\frac {p}{2}}\right)$ ${\ displaystyle H \ left (0; - {\ frac {p} {2}} \ right)}$ $H \ left (0; - {\ frac {p} {2}} \ right)$ este proiecția ortogonală a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ pe $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

Punctul de mijloc al $F. H.$ ${\ displaystyle FH}$ $FH$ Și $O(0;0)$ ${\ displaystyle O (0; 0)}$ $O (0; 0)$ și aparține parabolei fiind echidistant de focalizare și de directoare.

Acest punct se numește vârful parabolei.

Pentru definiția parabolei punctul $P(x;y)$ ${\ displaystyle P (x; y)}$ $P (x; y)$ aparține parabolei dacă și numai dacă distanța de focalizare $P. F.$ ${\ displaystyle PF}$ $PF$ este egal cu distanța de la director $P. Î$ ${\ displaystyle PQ}$ $PQ$ Așadar $PF=PQ$ ${\ displaystyle PF = PQ}$ $PF = PQ$ unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este proiecția ortogonală a $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pe directoare:

{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-{\frac {p}{2}})^{2}}}=\left|y+{\frac {p}{2}}\right|

{\ displaystyle {\ sqrt {(x-0) ^ {2} + (y - {\ frac {p} {2}}) ^ {2}}} = \ left | y + {\ frac {p} { 2}} \ dreapta |}

{\ sqrt {(x-0) ^ {2} + (y - {\ frac p2}) ^ {2}}} = \ left | y + {\ frac {p} {2}} \ right |

Se obține pătratul și după simplificări corespunzătoare $2py=x^{2}$ ${\ displaystyle 2py = x ^ {2}}$ $2py = x ^ {2}$ de la care $y={\frac {1}{2p}}x^{2}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {2p}} x ^ {2}}$ $y = {\ frac {1} {2p}} x ^ {2}$ .

Loc $a={\frac {1}{2p}}$ ${\ displaystyle a = {\ frac {1} {2p}}}$ $a = {\ frac {1} {2p}}$ obținem ecuația elementară cunoscută a parabolei

y=ax^{2}.

{\ displaystyle y = ax ^ {2}.}

y = ax ^ {2}.

Această parabolă are un vârf în originea axelor carteziene și o axă de simetrie care coincide cu axa ordonată (axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ).

În ceea ce privește parametrul a, focalizarea are coordonate $F\left(0;{\frac {1}{4a}}\right)$ ${\ displaystyle F \ left (0; {\ frac {1} {4a}} \ right)}$ $F \ left (0; {\ frac {1} {4a}} \ right)$ iar liderul are ecuație $y=-{\frac {1}{4a}}$ ${\ displaystyle y = - {\ frac {1} {4a}}}$ $y = - {\ frac {1} {4a}}$ .

Ecuația parabolei traduse

Vrem să traducem parabola $y=ax^{2}$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$ $y = ax ^ {2}$ a unui vector ${\overrightarrow {v}}\left(x_{V};y_{V}\right)$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} \ left (x_ {V}; y_ {V} \ right)}$ $\ overrightarrow {v} \ left (x_ {V}; y_ {V} \ right)$ .

Ecuațiile de traducere sunt:

$\left\{{\begin{matrix}x'=x+x_{V}\\y'=y+y_{V}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}x=x'-x_{V}\\y=y'-y_{V}\end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= x + x_ {V} \\ y' = y + y_ {V} \ end {matrix}} \ right. \ Rightarrow \ left \ {{\ begin {matrix} x = x'-x_ {V} \\ y = y'-y_ {V} \ end {matrix}} \ right.}$ $\ left \ {{\ begin {matrix} x '= x + x_ {V} \\ y' = y + y_ {V} \ end {matrix}} \ right. \ Rightarrow \ left \ {{\ begin {matrix } x = x'-x_ {V} \\ y = y'-y_ {V} \ end {matrix}} \ right.$

Prin urmare, parabola tradusă are ecuație $y-y_{V}=a(x-x_{V})^{2}$ ${\ displaystyle y-y_ {V} = a (x-x_ {V}) ^ {2}}$ $y-y_ {V} = a (x-x_ {V}) ^ {2}$ .

Noul vârf are coordonate $V\left(x_{V};y_{V}\right)$ ${\ displaystyle V \ left (x_ {V}; y_ {V} \ right)}$ $V \ left (x_ {V}; y_ {V} \ right)$ .

Caracteristicile parabolei cu axă de simetrie paralelă cu una dintre axele carteziene

Parabola cu axa de simetrie verticală (paralelă cu axa y a ordonatelor)

Ecuația acestei parabole este $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ $y = ax ^ {2} + bx + c$

Demonstrație

Luați în considerare parabola de ecuație tradusă anterior

y=a(x-x_{V})^{2}+y_{V}

{\ displaystyle y = a (x-x_ {V}) ^ {2} + y_ {V}}

y = a (x-x_ {V}) ^ {2} + y_ {V}

După calculele corespunzătoare se obține

y=ax^{2}-2ax_{V}x+ax_{V}^{2}+y_{V}.

{\ displaystyle y = ax ^ {2} -2ax_ {V} x + ax_ {V} ^ {2} + y_ {V}.}

y = ax ^ {2} -2ax_ {V} x + ax_ {V} ^ {2} + y_ {V}.

Loc $b=-2ax_{V}$ ${\ displaystyle b = -2ax_ {V}}$ $b = -2ax_ {V}$ Și $c=ax_{V}^{2}+y_{V}$ ${\ displaystyle c = ax_ {V} ^ {2} + y_ {V}}$ $c = ax_ {V} ^ {2} + y_ {V}$ , primesti

y=ax^{2}+bx+c.

{\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c.}

y = ax ^ {2} + bx + c.

Cu o procedură inversă este posibil să se deducă relația dintre $x_{V}$ ${\ displaystyle x_ {V}}$ $x_ {V}$ Și $y_{V}$ ${\ displaystyle y_ {V}}$ $y_ {V}$ iar coeficienții $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

Parabola cu axa de simetrie paralelă cu axa y, a> 0,

\Delta >0

{\ displaystyle \ Delta> 0}

\ Delta> 0

Discriminant:

\Delta =b^{2}-4ac

{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}

\ Delta = b ^ {2} -4ac

Ecuația axei de simetrie:

x=-{\frac {b}{2a}}

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}}

x = - {\ frac {b} {2a}}

Coordonatele Summit-ului:

\left(-{\frac {b}{2a}};-{\frac {\Delta }{4a}}\right)

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}; - {\ frac {\ Delta} {4a}} \ right)}

\ left (- {\ frac {b} {2a}}; - {\ frac {\ Delta} {4a}} \ right)

Coordonatele focului:

\left(-{\frac {b}{2a}};{\frac {1-\Delta }{4a}}\right)

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}; {\ frac {1- \ Delta} {4a}} \ right)}

\ left (- {\ frac {b} {2a}}; {\ frac {1- \ Delta} {4a}} \ right)

Ecuația directorii:

y=-{\frac {1+\Delta }{4a}}

{\ displaystyle y = - {\ frac {1+ \ Delta} {4a}}}

y = - {\ frac {1+ \ Delta} {4a}}

Parabola cu axa orizontală de simetrie (paralelă cu axa x a absciselor)

Fiecare parabolă cu axă paralelă cu axa x poate fi obținută ca corespondent, în simetria axială față de bisectoarea primului și celui de al treilea cadran, a unei parabole cu axa paralelă cu axa y. Pentru a obține ecuația sa, aplicându-se ecuației generale a parabolei cu axa paralelă cu axa ordonată, $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ $y = ax ^ {2} + bx + c$ , ecuațiile de simetrie

${\begin{cases}x'=y\\y'=x\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= y \\ y' = x \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= y \\ y' = x \ end {cases}}}$

rezultă că trebuie să schimbăm variabila x cu variabila y, obținând

$x=ay^{2}+by+c$ ${\ displaystyle x = ay ^ {2} + de + c}$ ${\ displaystyle x = ay ^ {2} + de + c}$ .

Parabola cu axa de simetrie paralelă cu axa x, a> 0,

\Delta >0

{\ displaystyle \ Delta> 0}

\ Delta> 0

Aceeași procedură poate fi utilizată pentru a obține celelalte elemente ale parabolei:

Discriminant:

\Delta =b^{2}-4ac

{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}

\ Delta = b ^ {2} -4ac

Ecuația axei de simetrie:

y=-{\frac {b}{2a}}

{\ displaystyle y = - {\ frac {b} {2a}}}

y = - {\ frac {b} {2a}}

Coordonatele Summit-ului:

\left(-{\frac {\Delta }{4a}};-{\frac {b}{2a}}\right)

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ Delta} {4a}}; - {\ frac {b} {2a}} \ right)}

\ left (- {\ frac {\ Delta} {4a}}; - {\ frac {b} {2a}} \ right)

Coordonatele focului:

\left({\frac {1-\Delta }{4a}};-{\frac {b}{2a}}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1- \ Delta} {4a}}; - {\ frac {b} {2a}} \ right)}

\ left ({\ frac {1- \ Delta} {4a}}; - {\ frac {b} {2a}} \ right)

Ecuația directorii:

x=-{\frac {1+\Delta }{4a}}.

{\ displaystyle x = - {\ frac {1+ \ Delta} {4a}}.}

x = - {\ frac {1+ \ Delta} {4a}}.

Pildă și funcții

Spre deosebire de $y=ax^{2}+bx+c,$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c,}$ $y = ax ^ {2} + bx + c,$ ecuația $x=ay^{2}+by+c$ ${\ displaystyle x = ay ^ {2} + de + c}$ ${\ displaystyle x = ay ^ {2} + de + c}$ nu se potrivește cu fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ o singură valoare a $y,$ ${\ displaystyle y,}$ ${\ displaystyle y,}$ prin urmare o parabolă cu axă paralelă cu axa absciselor nu este graficul unei funcții. Cu toate acestea, unele ecuații ale ramurilor de parabole, inclusiv $y={\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle y = {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle y = {\ sqrt {x}}}$ pot exprima o funcție.

Coeficienții expresiei polinomiale

Fiecare dintre coeficienții din expresie

y=ax^{2}+bx+c

{\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}

y = ax ^ {2} + bx + c

are un rol special.

Coeficientul a

Variația concavității ca parametru a se modifică în ecuație

y=a\cdot x^{2}

{\ displaystyle y = a \ cdot x ^ {2}}

y = a \ cdot x ^ {2}

Coeficientul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ determină convexitatea parabolei:

$a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ : concavitate orientată în sus (sau spre direcția pozitivă a absciselor în cazul unei parabole a cărei axă este paralelă cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ );
$a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ : concavitate orientată în jos (sau spre direcția negativă a absciselor în cazul unei parabole a cărei axă este paralelă cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ );
$a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ : parabola degenerează în linie dreaptă.

Înțelesul său este evident în cazul particular ( $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ ${\ displaystyle b = 0}$ , $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ ) unde ecuația se reduce la

y=a\cdot x^{2}

{\ displaystyle y = a \ cdot x ^ {2}}

y = a \ cdot x ^ {2}

Coeficientul b

Parametrul b al funcției pătratice

y=x^{2}+bx+1

{\ displaystyle y = x ^ {2} + bx + 1}

y = x ^ {2} + bx + 1

afectează poziția axei de simetrie a parabolei și, prin urmare, poziția vârfului care, la rândul său, se deplasează pe o parabolă de ecuație

y=-x^{2}+1

{\ displaystyle y = -x ^ {2} +1}

y = -x ^ {2} +1

Coeficientul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ determină panta cu care parabola intersectează axa ordonată. Cu alte cuvinte, linia dreaptă tangentă la parabolă la punctul de întâlnire cu axa ordonată, are o pantă egală cu $b .$ ${\ displaystyle b.}$ ${\ displaystyle b.}$ Aceasta înseamnă că dacă $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este zero, vârful parabolei aparține axei $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și, prin urmare, axa parabolei coincide cu axa ordonatelor.

Coeficientul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Este legat de poziția dell 'a axei parabolei (linia verticală prin vârf), care are ecuația

x=-{\frac {b}{2a}}.

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}.}

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}.}

Se poate dovedi găsind punctul de mijloc al a două puncte ale parabolei care au aceeași ordonată și găsind zero derivatei (de fapt, dacă prima derivată este egală cu zero obținem un punct staționar, în acest caz vârful ).

În timp ce derivatul anterior, poate fi ușor detectat fiind o linie dreaptă care intersectează axa absciselor în acest punct $-b/(2a)$ ${\ displaystyle -b / (2a)}$ ${\ displaystyle -b / (2a)}$ iar axa ordonată în $b .$ ${\ displaystyle b.}$ ${\ displaystyle b.}$

Având în vedere vârful parabolei, se poate observa (și din animația din dreapta) că aceasta, ca și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , face o mișcare formând o altă parabolă. De fapt, ecuațiile care exprimă coordonatele vârfului sunt luate în considerare, considerând necunoscutul ca fiind necunoscut $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ si $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$

x=-{\frac {b}{2a}};\quad y=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}; \ quad y = - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}.}

{\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}; \ quad y = - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}.}

Rescrierea, prin intermediul unor manipulări algebrice, a ecuației lui $y,$ ${\ displaystyle y,}$ ${\ displaystyle y,}$ putem identifica expresia $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în această ecuație

y=-{\frac {\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\cdot 4a^{2}-4ac}{4a}}=-a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c.

{\ displaystyle y = - {\ frac {\ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} \ cdot 4a ^ {2} -4ac} {4a}} = - a \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + c.}

{\ displaystyle y = - {\ frac {\ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} \ cdot 4a ^ {2} -4ac} {4a}} = - a \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + c.}

Prin înlocuirea cu $X,$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x,}$ primești pilda

y=-ax^{2}+c,

{\ displaystyle y = -ax ^ {2} + c,}

{\ displaystyle y = -ax ^ {2} + c,}

care este ecuația parabolei formată de vârfurile parabolei inițiale obținute prin variație $b,$ ${\ displaystyle b,}$ ${\ displaystyle b,}$ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ reparați-vă.

Coeficientul c

Coeficientul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , termen cunoscut al ecuației parabolei, determină punctul de intersecție a parabolei cu axa ordonată.

Acest lucru este ușor verificat prin plasarea ecuației axei într-un sistem $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ cu cea a unei parabole:

{\begin{cases}x=0\\y=ax^{2}+bx+c\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}x=0\\y=a(0)^{2}+b(0)+c\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}x=0\\y=c\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = 0 \\ y = ax ^ {2} + bx + c \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ begin {cases} x = 0 \\ y = a (0) ^ {2} + b (0) + c \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ begin {cases} x = 0 \\ y = c \ end {cases}}}

{\ begin {cases} x = 0 \\ y = ax ^ {2} + bx + c \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ begin {cases} x = 0 \\ y = a (0 ) ^ {2} + b (0) + c \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ begin {cases} x = 0 \\ y = c \ end {cases}}

Dacă termenul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este nulă, parabola trece prin originea axelor.

Probleme clasice ale parabolei

Parabola trecând prin trei puncte

Având în vedere trei puncte $LA, B., C.,$ ${\ displaystyle A, B, C,}$ ${\ displaystyle A, B, C,}$ de coordonate cunoscute, coeficienții pot fi găsiți $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ ecuație care reprezintă curba care trece prin aceste puncte printr-un sistem cu trei ecuații , urmând să înlocuiască necunoscutele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ cu coordonatele punctelor.

Parabola care trece printr-un punct și vârf

Primul mod (prin înlocuirea coordonatelor $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și punct)

Vrem să determinăm coeficienții unei parabole cu axă paralelă cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ de tipul: $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ $y = ax ^ {2} + bx + c$ .

Se știe că această parabolă are un vârf în acest punct $V(x_{V};y_{V})$ ${\ displaystyle V (x_ {V}; y_ {V})}$ $V (x_ {V}; y_ {V})$ și trece prin punct $P(x_{P};y_{P})$ ${\ displaystyle P (x_ {P}; y_ {P})}$ $P (x_ {P}; y_ {P})$ .

Condiția de trecere pentru este exploatată $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ si pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și faptul că vârful este pe axa de simetrie a parabolei și, prin urmare $x_{v}=-{\frac {b}{2a}}$ ${\ displaystyle x_ {v} = - {\ frac {b} {2a}}}$ $x_ {v} = - {\ frac {b} {2a}}$ .

Este necesar să se construiască un sistem de trei ecuații în necunoscute $la, b, c .$ ${\ displaystyle a, b, c.}$ ${\ displaystyle a, b, c.}$

{\begin{cases}ax_{V}^{2}+bx_{V}+c=y_{V}\\ax_{P}^{2}+bx_{P}+c=y_{P}\\-{\frac {b}{2a}}=x_{V}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} ax_ {V} ^ {2} + bx_ {V} + c = y_ {V} \\ ax_ {P} ^ {2} + bx_ {P} + c = y_ {P } \\ - {\ frac {b} {2a}} = x_ {V} \ end {cases}}}

{\ begin {cases} ax_ {V} ^ {2} + bx_ {V} + c = y_ {V} \\ ax_ {P} ^ {2} + bx_ {P} + c = y_ {P} \\ - {\ frac {b} {2a}} = x_ {V} \ end {cases}}

Este un sistem fracționat, dar liniar, care poate fi ușor rezolvat prin substituirea lui b obținut din a treia ecuație.

Al 2-lea mod (folosind conceptul de fascicul de parabole sau cel de traducere)

Deoarece orice parabolă (cu o axă verticală) poate fi urmărită înapoi la parabolă $y=ax^{2}$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$ $y = ax ^ {2}$ , tradus corespunzător, puteți scrie parabola generică care trece prin $V(x_{V};y_{V})$ ${\ displaystyle V (x_ {V}; y_ {V})}$ $V (x_ {V}; y_ {V})$ ca:

$y-y_{V}=a(x-x_{V})^{2}$ ${\ displaystyle y-y_ {V} = a (x-x_ {V}) ^ {2}}$ $y-y_ {V} = a (x-x_ {V}) ^ {2}$

Astfel, rămâne doar un parametru de determinat ( $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ), care poate fi găsit prin forțarea pasajului pentru punctul $P(x_{P};y_{P})$ ${\ displaystyle P (x_ {P}; y_ {P})}$ $P (x_ {P}; y_ {P})$ , înlocuind coordonatele lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ la variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

$y_{P}-y_{V}=a(x_{P}-x_{V})^{2}.$ ${\ displaystyle y_ {P} -y_ {V} = a (x_ {P} -x_ {V}) ^ {2}.}$ ${\ displaystyle y_ {P} -y_ {V} = a (x_ {P} -x_ {V}) ^ {2}.}$

Probleme parabola dreaptă

Linia tangentă la o parabolă într-unul din punctele sale

Având în vedere ecuația parabolei $y=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$ $y = ax ^ {2} + bx + c$ și considerat un punct generic al acestuia $\scriptstyle P(x_{0};y_{0})$ ${\ displaystyle \ scriptstyle P (x_ {0}; y_ {0})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle P (x_ {0}; y_ {0})}$ de coordonate $(x_{0};y_{0})=(x_{0};ax_{0}^{2}+bx_{0}+c),$ ${\ displaystyle (x_ {0}; y_ {0}) = (x_ {0}; ax_ {0} ^ {2} + bx_ {0} + c),}$ ${\ displaystyle (x_ {0}; y_ {0}) = (x_ {0}; ax_ {0} ^ {2} + bx_ {0} + c),}$ ecuația liniei tangente la parabola din punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este dat de:

y=(2ax_{0}+b)x-ax_{0}^{2}+c.

{\ displaystyle y = (2ax_ {0} + b) x-ax_ {0} ^ {2} + c.}

{\ displaystyle y = (2ax_ {0} + b) x-ax_ {0} ^ {2} + c.}

Demonstrație

Amintind că coeficientul unghiular al tangentei la o funcție la unul dintre punctele sale este dat de derivata funcției calculate în acel punct, să începem prin obținerea derivatei parabolei:

y'=2ax+b.

{\ displaystyle y '= 2ax + b.}

y '= 2ax + b.

Coeficientul unghiular $m_{t}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ a tangentei în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ va fi, prin urmare, dat de valoarea derivatului în acel moment:

m_{t}=2ax_{0}+b.

{\ displaystyle m_ {t} = 2ax_ {0} + b.}

{\ displaystyle m_ {t} = 2ax_ {0} + b.}

Înlocuind în formula generală a snopului de linii drepte având ca centru punctul $\scriptstyle P(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle \ scriptstyle P (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle P (x_ {0}, y_ {0})}$

y=m(x-x_{0})+y_{0},

{\ displaystyle y = m (x-x_ {0}) + y_ {0},}

{\ displaystyle y = m (x-x_ {0}) + y_ {0},}

valori $m_{t}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ ${\ displaystyle m_ {t}}$ Și $y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ $y_ {0}$ mai sus obținem:

y=(2ax_{0}+b)(x-x_{0})+ax_{0}^{2}+bx_{0}+c

{\ displaystyle y = (2ax_ {0} + b) (x-x_ {0}) + ax_ {0} ^ {2} + bx_ {0} + c}

{\ displaystyle y = (2ax_ {0} + b) (x-x_ {0}) + ax_ {0} ^ {2} + bx_ {0} + c}

y=2ax_{0}x-2ax_{0}^{2}+bx-bx_{0}+ax_{0}^{2}+bx_{0}+c

{\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-2ax_ {0} ^ {2} + bx-bx_ {0} + ax_ {0} ^ {2} + bx_ {0} + c}

{\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-2ax_ {0} ^ {2} + bx-bx_ {0} + ax_ {0} ^ {2} + bx_ {0} + c}

y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}+bx+c

{\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2} + bx + c}

{\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2} + bx + c}

y=(2ax_{0}+b)x-ax_{0}^{2}+c

{\ displaystyle y = (2ax_ {0} + b) x-ax_ {0} ^ {2} + c}

y = (2ax_ {0} + b) x-ax_ {0} ^ {2} + c

(cvd)

Liniile tangente la o parabolă condusă dintr-un punct extern

Liniile tangente la o parabolă condusă dintr-un punct din afara P către parabolă

Având în vedere ecuația generală a parabolei:

y=ax^{2}+bx+c,

{\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c,}

y = ax ^ {2} + bx + c,

și un punct $P(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle P (x_ {0}, y_ {0})}$ $P (x_ {0}, y_ {0})$ externe parabolei, vrem să găsim liniile tangente la parabola care trece $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Problema este rezolvată prin construirea așa-numitei condiții de tangență.

Construim pachetul adecvat de linii drepte centrate în punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , a cărui ecuație este

y-y_{0}=m(x-x_{0}).

{\ displaystyle y-y_ {0} = m (x-x_ {0}).}

y-y_ {0} = m (x-x_ {0}).

Apoi construim sistemul ecuațiilor parabolei drepte:

{\begin{cases}y-y_{0}=m(x-x_{0})\\y=ax^{2}+bx+c\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y-y_ {0} = m (x-x_ {0}) \\ y = ax ^ {2} + bx + c \ end {cases}}}

{\ begin {cases} y-y_ {0} = m (x-x_ {0}) \\ y = ax ^ {2} + bx + c \ end {cases}}

Sistemul nu trebuie rezolvat deoarece este un sistem parametric (în plus față de necunoscute $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ există parametrul $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ), dar, după înlocuirea adecvată, obținem ecuația gradului 2 în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de parametru $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ asociat cu sistemul:

{\begin{cases}y=m(x-x_{0})+y_{0}\\y=ax^{2}+bx+c\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = m (x-x_ {0}) + y_ {0} \\ y = ax ^ {2} + bx + c \ end {cases}}}

{\ begin {cases} y = m (x-x_ {0}) + y_ {0} \\ y = ax ^ {2} + bx + c \ end {cases}}

{\begin{cases}y=m(x-x_{0})+y_{0}\\ax^{2}+bx+c=m(x-x_{0})+y_{0}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = m (x-x_ {0}) + y_ {0} \\ ax ^ {2} + bx + c = m (x-x_ {0}) + y_ {0 } \ end {cases}}}

{\ begin {cases} y = m (x-x_ {0}) + y_ {0} \\ ax ^ {2} + bx + c = m (x-x_ {0}) + y_ {0} \ end {cazuri}}

{\begin{cases}y=m(x-x_{0})+y_{0}\\ax^{2}+(b-m)x+c+mx_{0}-y_{0}=0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = m (x-x_ {0}) + y_ {0} \\ ax ^ {2} + (bm) x + c + mx_ {0} -y_ {0} = 0 \ end {cases}}}

{\ begin {cases} y = m (x-x_ {0}) + y_ {0} \\ ax ^ {2} + (bm) x + c + mx_ {0} -y_ {0} = 0 \ end {cazuri}}

Din ecuația de gradul 2 obținem discriminantul care depinde de parametru $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ iar condiția de tangență este impusă

\Delta =0.

{\ displaystyle \ Delta = 0.}

\ Delta = 0.

Soluțiile acestei ecuații necunoscute $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , sunt coeficienții unghiulari ai celor două linii tangente la parabola care trebuie înlocuiți în ecuația fasciculului exact pentru a determina ecuațiile acestor linii.

O altă metodă pentru tangențe efectuată dintr-un punct extern

O altă metodă pentru a găsi tangențele parabolei este utilizarea derivatei, luând în considerare de fapt parabola ecuației:

y=ax^{2}+bx+c,

{\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c,}

y = ax ^ {2} + bx + c,

și primul său derivat:

y'=2ax+b.

{\ displaystyle y '= 2ax + b.}

y '= 2ax + b.

Pentru a găsi tangențele parabolei care trec prin punct $P(x_{0};y_{0})$ ${\ displaystyle P (x_ {0}; y_ {0})}$ ${\ displaystyle P (x_ {0}; y_ {0})}$ trebuie să luăm în considerare ecuația liniei drepte care trece prin acel punct care este:

y-y_{0}=m(x-x_{0}).

{\ displaystyle y-y_ {0} = m (x-x_ {0}).}

y-y_ {0} = m (x-x_ {0}).

Găsirea $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ avem:

{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}=m.

{\ displaystyle {\ frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = m.}

{\ frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = m.

Am stabilit condiția tangenței și, prin urmare, coeficientul unghiular trebuie să fie egal cu derivata:

{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}=2ax+b.

{\ displaystyle {\ frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = 2ax + b.}

{\ frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = 2ax + b.

Prin urmare, există două puncte aparținând parabolei în care derivata este egală cu coeficientul unghiular al liniei tangente care trece prin punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , aceste puncte trebuie determinate din ecuația de mai sus. Prin înlocuirea unui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se obține ecuația parabolei:

{\frac {ax^{2}+bx+c-y_{0}}{x-x_{0}}}=2ax+b

{\ displaystyle {\ frac {ax ^ {2} + bx + c-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = 2ax + b}

{\ frac {ax ^ {2} + bx + c-y_ {0}} {x-x_ {0}}} = 2ax + b

ax^{2}+bx+c-y_{0}=(2ax+b)(x-x_{0})

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c-y_ {0} = (2ax + b) (x-x_ {0})}

ax ^ {2} + bx + c-y_ {0} = (2ax + b) (x-x_ {0})

ax^{2}+bx+c-y_{0}=2ax^{2}-2ax_{0}x+bx-bx_{0}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c-y_ {0} = 2ax ^ {2} -2ax_ {0} x + bx-bx_ {0}}

ax ^ {2} + bx + c-y_ {0} = 2ax ^ {2} -2ax_ {0} x + bx-bx_ {0}

-ax^{2}+2ax_{0}x+bx_{0}+c-y_{0}=0

{\ displaystyle -ax ^ {2} + 2ax_ {0} x + bx_ {0} + c-y_ {0} = 0}

-ax ^ {2} + 2ax_ {0} x + bx_ {0} + c-y_ {0} = 0

ax^{2}-2ax_{0}x+y_{0}-bx_{0}-c=0

{\ displaystyle ax ^ {2} -2ax_ {0} x + y_ {0} -bx_ {0} -c = 0}

ax ^ {2} -2ax_ {0} x + y_ {0} -bx_ {0} -c = 0

Rezolvarea ecuației oferă două soluții pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , înlocuind aceste soluții (indicate mai jos cu $x_{s}$ ${\ displaystyle x_ {s}}$ $x_ {s}$ ) în prima derivată obținem apoi coeficientul unghiular al celor două drepte care trec prin punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și tangente la parabolă. Prin urmare, liniile drepte au ecuația:

y=(2ax_{s}+b)(x-x_{0})+y_{0}.

{\ displaystyle y = (2ax_ {s} + b) (x-x_ {0}) + y_ {0}.}

y = (2ax_ {s} + b) (x-x_ {0}) + y_ {0}.

Pachet de pilde

În geometria analitică , un pachet de parabole se obține prin intermediul unei combinații liniare , adică făcând suma a două ecuații (în formă implicită) ambele reprezentând parabole (care vor fi generatoarele pachetului) și înmulțind una dintre un parametru (în acest caz $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ):

y-ax^{2}-bx-c+k(y-a_{1}x^{2}-b_{1}x-c_{1})=0

{\ displaystyle y-ax ^ {2} -bx-c + k (y-a_ {1} x ^ {2} -b_ {1} x-c_ {1}) = 0}

y-ax ^ {2} -bx-c + k (y-a_ {1} x ^ {2} -b_ {1} x-c_ {1}) = 0

În acest caz, cele două parabole au axa lor paralelă cu axa $y .$ ${\ displaystyle y.}$ ${\ displaystyle y.}$ Una dintre cele două parabole generatoare și exact cea înmulțită cu parametrul vor fi excluse din pachet, deoarece pentru orice valoare de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Prin urmare, se definește parabola fasciculului și se obține numai dacă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Presupune o valoare infinită, care nu este un număr real . Efectuând calculele, fasciculul apare în această formă, forma canonică a unui fascicul de parabole:

y(k+1)-x^{2}(a+a_{1}k)-x(b+b_{1}k)-(c+kc_{1})=0

{\ displaystyle y (k + 1) -x ^ {2} (a + a_ {1} k) -x (b + b_ {1} k) - (c + kc_ {1}) = 0}

y (k + 1) -x ^ {2} (a + a_ {1} k) -x (b + b_ {1} k) - (c + kc_ {1}) = 0

Un pachet de parabole poate avea sau nu puncte de bază sau puncte prin care trec toate parabolele pachetului său. Punctele de bază ale unui fascicul sunt obținute prin sistematizarea ecuațiilor celor două parabole generatoare. Egalizarea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din cele două ecuații se va obține următoarea ecuație:

x^{2}(a-a_{1})+x(b-b_{1})+c-c_{1}=0

{\ displaystyle x ^ {2} (a-a_ {1}) + x (b-b_ {1}) + c-c_ {1} = 0}

x ^ {2} (a-a_ {1}) + x (b-b_ {1}) + c-c_ {1} = 0

În acest moment, există trei posibilități:

dacă discriminantul acestei ecuații este pozitiv, există doi pași de bază distincti care, înlocuiți în ecuația fasciculului, costumul;
dacă discriminantul este nul, atunci cele două puncte de bază vor coincide și toate parabolele snopului vor admite o tangentă comună și vor fi tangente între ele în cele două puncte de bază coincidente, care vor aparține acestei tangente;
dacă discriminantul este negativ, nu vor exista puncte de bază.

Rezumând:

\Delta >0

{\ displaystyle \ Delta> 0}

\ Delta> 0

două puncte de bază reale și distincte

\Delta =0

{\ displaystyle \ Delta = 0}

\ Delta = 0

două puncte de bază reale și coincidente

\Delta <0

{\ displaystyle \ Delta <0}

\ Delta <0

nu există puncte de bază

Se poate întâmpla ca fasciculul să aibă un singur punct de bază, de multiplicitate 1, prin care să treacă toate parabolele fasciculului. Acest lucru se întâmplă numai atunci când acestea au aceeași valoare, nu numai în mărime, a coeficientului termenului de gradul I $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Fasciculul poate conține linii sau perechi de linii. De sine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ presupune astfel de valori încât coeficientul termenului de gradul II dispare, ecuația fasciculului de parabole este redusă la ecuația unei linii drepte, de tipul: $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + cu + c = 0$ . În cazul ecuațiilor în care punctele de bază sunt reale și distincte, este linia dreaptă care trece prin acestea, în cazul în care acestea sunt reale și coincidente. Este linia tangentă la toate parabolele fasciculului, dacă nu există, este orice linie dreaptă a fasciculului.

De sine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ presupune valori astfel încât coeficientul de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ anulează, ecuația pachetului de parabole este redusă la o ecuație de gradul doi în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , precum $ax^{2}+bx+c=0$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ $ax ^ {2} + bx + c = 0$ , equazione che rappresenta una coppia di rette, parallele all'asse $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ (nel caso di questo fascio) e passanti per le ascisse dei due punti base del fascio. Se questi non esisteranno, il fascio non conterrà coppie di rette, se saranno coincidenti, le rette della coppia saranno anch'esse coincidenti.

Se $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ non assume valori per cui si possano ottenere rette o coppie di rette, o le une o le altre non sono presenti nel fascio.

Si noti che in molti casi le due generatrici del fascio sono proprio una retta e una coppia di rette e che solitamente è la coppia di rette a venire moltiplicata per il parametro e ad essere quindi esclusa dal fascio.

Disequazione di secondo grado

La parabola può anche essere utilizzata nella risoluzione delle disequazioni di secondo grado , tramite delle semplici verifiche. Bisogna innanzitutto tener presente il verso della parabola attraverso il coefficiente dell'incognita elevata al quadrato. Se tale coefficiente è positivo la parabola sarà rivolta verso l'alto, verso il basso altrimenti.

Occorre poi capire se la parabola intersechi o meno l'asse delle ascisse attraverso il discriminante . Se esso è positivo , la parabola avrà due intersezioni con l'asse delle $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ che è possibile scoprire risolvendo l'equazione di secondo grado associata. Se è nullo, la parabola sarà tangente all'asse in un punto le cui coordinate si possono scoprire in modo analogo al precedente. Se negativo , la parabola non avrà intersezioni con l'asse e sarà totalmente sopra o totalmente sotto di esso, rispettivamente se $a>0$ ${\displaystyle a>0}$ $a>0$ o se $a<0$ ${\displaystyle a<0}$ $a<0$ . A questo punto potendo disegnare approssimativamente la parabola, si può verificare facilmente per quali valori di $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ la parabola assuma valori positivi, negativi o nulli.

Parabola come luogo geometrico

La parabola, in descrittiva può essere definita anche come luogo geometrico dei centri delle ellissi (inclusa la circonferenza) tangenti una retta $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ ed un'ellisse $\Delta$ $\Delta$ $\Delta$ assegnati. La retta $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ viene detta direttrice e la retta polare del punto improprio , che ha la direzione di $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ , viene detta asse della parabola.