Paraboloid

Suprafață ilustrând un paraboloid

În geometrie, un paraboloid este un cadric , un tip de suprafață într-un spațiu tridimensional, descris printr-o ecuație a formei:

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}={\frac {z}{c}}\ \quad

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = {\ frac {z } {c}} \ \ quad}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = {\ frac {z } {c}} \ \ quad}

(paraboloid eliptic)

sau forma

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}={\frac {z}{c}}\quad

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = {\ frac {z } {c}} \ quad}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = {\ frac {z } {c}} \ quad}

(paraboloid hiperbolic) .

Unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ reprezintă gradul de curbură în plan $X z$ ${\ displaystyle xz}$ ${\ displaystyle xz}$ Și $y z,$ ${\ displaystyle yz,}$ ${\ displaystyle yz,}$ in timp ce $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ reprezintă direcția de deschidere a paraboloidului: în sus pentru $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ (pentru paraboloidul eliptic) și în jos de-a lungul axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru $c<0$ ${\ displaystyle c <0}$ $c <0$ (pentru paraboloidul hiperbolic).

De ce „eliptice” și „hiperbolice”?

Motivul acestor nume este imediat clar observând secțiunile orizontale ale celor două suprafețe:

Paraboloid eliptic:

Paraboloid hiperbolic:

Este evident că în primul caz secțiunea este o elipsă și în al doilea este o hiperbolă . Algebric, intersectarea unei suprafețe cu un plan orizontal este echivalentă cu rezolvarea sistemului dintre ecuația care descrie suprafața și ecuația $z=z_{0},$ ${\ displaystyle z = z_ {0},}$ ${\ displaystyle z = z_ {0},}$ unde este $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ este o constantă. Dacă luăm de exemplu

z=-{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle z = - {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle z = - {\ frac {1} {2}}}

noi obținem:

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1}

care nu este altul decât ecuația elipsei . Prin variația valorii $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , adică prin variația poziției planului orizontal, se obțin elipse de diferite dimensiuni.

În al doilea caz (paraboloid hiperbolic), secțiunea dreaptă este o hiperbolă ; de fapt, chiar și în acest caz

z=-{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle z = - {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle z = - {\ frac {1} {2}}}

avem

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1}

care este tocmai ecuația unei hiperbole.

De ce „paraboloid”

Paraboloid hiperbolic

Denumirea suprafeței derivă din faptul că secțiunile sale verticale sunt parabole .

Cand $a=b,$ ${\ displaystyle a = b,}$ ${\ displaystyle a = b,}$ un paraboloid eliptic se numește paraboloid de revoluție , adică o suprafață obținută prin rotația unei parabole în jurul axei sale. Această suprafață mai este numită paraboloid circular .

Reflectoarele parabolice utilizate ca oglinzi , ca antene plate și pentru dispozitive similare, cum ar fi antenele parabolice, au forma paraboloidului de rotație. Motivul pentru aceasta se datorează faptului că o sursă de lumină plasată în punctul focal al unui paraboloid rotativ produce un fascicul de lumină paralel cu axa suprafeței și invers un fascicul de lumină paralel care afectează un paraboloid rotativ în direcția a axului său este concentrat în punctul său focal: aceste efecte apar în mod natural și pentru undele electromagnetice cu frecvențe în alte intervale decât cele vizibile.

Deoarece sursele de lumină sau electromagnetice sunt atât de departe încât este posibil să ne imaginăm că fasciculele de undă sunt paralele, se poate deduce că forma de rotație paraboloidă permite „captarea” unei cantități mai mari de informații și transformarea acesteia într-o singură punct.