Paradoxul gemenei

Diagrama paradoxului gemenilor

Paradoxul gemenei este un experiment de gândire care pare să dezvăluie o contradicție inerentă teoriei speciale a relativității . Cu toate acestea, analiza care duce la această concluzie este incorectă: o analiză corectă arată că nu există nicio contradicție. ^[1]

Istorie

Principalul susținător al întrebării a fost Herbert Dingle , un fizician și filosof englez , care intenționa să demonstreze invaliditatea teoriei lui Einstein. În ciuda faptului că a primit numeroase respingeri logice de la Einstein și Born , el a continuat să scrie în ziare și când acesta din urmă a început să respingă publicațiile, a vorbit despre un complot împotriva sa.

Rezolvând paradoxul gemenei, Einstein a admis posibilitatea teoretică a unei călătorii în viitor, fără a aduce atingere imposibilității de a depăși viteza luminii. Prima construcție teoretică pentru care a fost posibilă o călătorie în trecut a fost elaborată ulterior de însuși Einstein împreună cu Nathan Rosen .

Afirmația paradoxului

Să luăm în considerare o navă spațială care pleacă de pe Pământ în anul 3000; că, menținând o viteză constantă v, ajunge la steaua Lup 359 , la 8 ani lumină distanță de planeta noastră; și că, de îndată ce ajunge, își inversează cursul și se întoarce pe Pământ, mereu cu viteza v . Dintr-o pereche de frați gemeni , unul ajunge pe nava spațială, în timp ce celălalt rămâne pe pământ.

Neglijăm în mod deliberat în calcule accelerația și decelerarea navetei, chiar dacă, pentru a atinge viteze relativiste într-un timp scurt, ar fi necesare accelerații care nu sunt durabile pentru om și navă.

Să presupunem că v este 240.000 km / s, adică v = 0.8 c . Pentru această viteză avem:

\gamma ^{-1}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=0,6

{\ displaystyle \ gamma ^ {- 1} = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = 0.6}

{\ displaystyle \ gamma ^ {- 1} = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = 0.6}

deci, conform teoriei speciale a relativității, în sistemul în mișcare, timpul trece 60% din timp în sistemul de repaus. Prin urmare:

În cadrul de referință al Pământului, nava spațială călătorește 8 ani lumină în 10 ani, atât pe călătoria de ieșire, cât și pe cea de întoarcere: ajunge, așadar, în anul Pământ 3020. Cu toate acestea, pe nava spațială, timpul curge la 60% cu respect pe Pământ, deci ceasul astronautului avansează cu 6 ani în călătoria de ieșire și același număr la întoarcere: la sosire, calendarul navei spațiale marchează anul 3012. Fratele care a rămas pe Pământ este, prin urmare, după călătorie, cu opt ani mai în vârstă decât geamănul său.
În sistemele de referință ale navei spațiale (dus-întors), unde nava spațială este staționară și sistemul stea Pământ se mișcă la 0,8 c, datorită contracției relativiste a lungimilor, distanța dintre Pământ și Lupul 359 se scurtează la 60%, adică măsoară 4,8 ani lumină: la 0,8 c această distanță este acoperită de Wolf în 6 ani în timpul „exteriorului” (în care Wolf se apropie de nava spațială) și de pe Pământ în 6 ani în timpul „întoarcerii” (în care Pământul se apropie de nava spațială) ), pentru un total de 12 ani de călătorie, în concordanță cu ceea ce este calculat în sistemul de referință al Pământului.

Dar, pentru cei care își imaginează experiența gemenilor ca fiind exact echivalentă, acum se întreabă de ce nu ceasul Pământului se mișcă la 60% din timpul navei spațiale, deoarece sistemul Pământului pare să se miște la 0,8 c când este privit din interior a navei spațiale. Dacă da, când nava spațială se întoarce pe Pământ, ar fi trebuit să treacă doar 7,2 ani (60% din 12 ani) și, prin urmare, nu ar trebui să fie anul 3020, ci anul 3007.2 și fratele de la bordul navei. cu ani mai în vârstă decât gemenele sale sedentare. Prin urmare, paradoxul constă în faptul că, pur și simplu, în funcție de sistemul de referință pe care îl considerăm, unul dintre gemeni se găsește într-un caz mai tânăr, iar în altul mai vechi decât celălalt gemeni. Rezultă că admiterea unui sistem de referință drept corect implică faptul că celălalt este incorect.

Cheia de bază a soluției acestui paradox și, în general, a cazurilor în care simetria problemei ridică îndoielile cu privire la cine este „mai în vârstă” este reformularea corectă a acestei întrebări.

Având în vedere două puncte în spațiu-timp, de exemplu:

1) pe nava spațială, „geamănul începe faza de întoarcere” în ceea ce pentru el este începutul lui 3006;
2) pe pământ „geamănul sărbătorește 3010”.

Deci, este evident să știm cine este mai în vârstă, în acest caz este în mod trivial terestru care are mai mult de 4 ani. Punctele spațiu sunt evenimente fizice clasice, nu există nici o ciudățenie în acest sens. Cel mai indigest aspect din relativitate nu este faptul că timpul curge diferit sau că spațiul se comprimă, ci mai degrabă spargerea conceptului de simultaneitate. Din exemplul anterior este evident cine este mai în vârstă în cele două evenimente selectate, în timp ce este imposibil să se spună cine dintre gemeni este mai în vârstă la „un moment dat” sau „absolut” pur și simplu pentru că întrebarea nu are sens, relativitatea ne învață. că este necesar să indicați un sistem inerțial la care să faceți referire. De fapt, fiecare sistem va considera diferite puncte de spațiu-timp drept sincrone și, prin urmare, vârste diferite ale celor doi frați, dar niciunul dintre ei nu poate fi considerat privilegiat în comparație cu ceilalți și de aceea nu este posibil să se definească univoc cine este mai în vârstă ca niciodată!

Soluție în relativitatea specială

Diagrama Minkowski

Contradicția aparentă se rezolvă observând că, în timp ce cel al Pământului este un sistem de referință inerțial, nava spațială, lângă stea, suferă o accelerație-decelerație pentru a inversa cursul, prin urmare, acolo și înapoi aparțin două sisteme de referință inerțiale diferite .

Trebuie deci luate în considerare trei sisteme de referință inerțiale: cel al Pământului, cel al navei spațiale pe călătoria exterioară, care se mișcă față de Pământ cu viteza v și cel al navei spațiale pe călătoria de întoarcere, care se mișcă în raport cu Pământul la viteza v. viteza -v (adică v în direcția opusă). Neglijăm timpii de accelerație / decelerare, care pentru viteze atât de mari ar fi totuși semnificative.

Figura arată diagrama Minkowski pentru aceste trei sisteme de referință (desenate respectiv în negru, albastru și roșu). Cele trei evenimente indicate cu literele A, B, C sunt respectiv:

plecarea navei spațiale de pe Pământ
sosirea navei spațiale în Lupul 359 și plecarea ei
întoarcerea navei spațiale pe Pământ

Cele trei cadre de referință nu sunt de acord cu privire la care este, pe Pământ, evenimentul simultan cu evenimentul B. În cadrul de referință al Pământului este evenimentul D, care este momentul în care ceasurile pământului marchează anul 3010. În sistemul călătoriei exterioare este evenimentul D ', care este momentul în care ceasurile pământului marchează anul 3003,6. În sistemul călătoriei de întoarcere este evenimentul D ”, adică momentul în care ceasurile pământului marchează anul 3016.4 (relativitatea simultaneității). În timpul călătoriei, în timp ce nava spațială este în mișcare relativă, gemenul astronaut se poate considera staționar și poate considera Pământul în mișcare la 0,8 c sau la -0,8 c. În ambele cazuri, ceasurile de pământ trebuie să fie încetinite de valoarea relativă gamma, iar pentru a avansa cu 20 de ani trebuie să treacă (20 / 0,6) = 33,3.

Analiza detaliată

Diagrama Minkowski

Indicarea cu x , t a coordonatelor spațiale și temporale în sistemul de referință al Pământului; cu x ' , t' cei din cadrul de referință al navei spațiale în călătoria exterioară; și cu x " , t" cei din călătoria de întoarcere, transformările Lorentz conțin:

(1)\quad x'=\gamma \left(x-vt\right)\qquad \qquad (2)\quad t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)

{\ displaystyle (1) \ quad x '= \ gamma \ left (x-vt \ right) \ qquad \ qquad (2) \ quad t' = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ dreapta)}

(1) \ quad x '= \ gamma \ left (x-vt \ right) \ qquad \ qquad (2) \ quad t' = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2} }} \ dreapta)

(3)\quad x''=\gamma \left(x-x_{0}+vt\right)\qquad (4)\quad t''=\gamma \left(t+{\frac {v(x-x_{0})}{c^{2}}}\right)

{\ displaystyle (3) \ quad x '' = \ gamma \ left (x-x_ {0} + vt \ right) \ qquad (4) \ quad t '' = \ gamma \ left (t + {\ frac { v (x-x_ {0})} {c ^ {2}}} \ right)}

(3) \ quad x '' = \ gamma \ left (x-x_ {0} + vt \ right) \ qquad (4) \ quad t '' = \ gamma \ left (t + {\ frac {v (x - x_ {0})} {c ^ {2}}} \ dreapta)

unde termenul $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ apare în ecuațiile (3) și (4) deoarece cele două sisteme de referință nu au aceeași origine. Folosind anul ca unitate de timp și anul luminos ca unitate de lungime, constantele numerice au următoarele valori: v = 0,8, c = 1, $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ = 16 (ultima valoare este aleasă pentru a avea x " = 0 pentru nava spațială pe călătoria de întoarcere).

În sistemul de referință al Pământului, coordonatele (x, t) ale evenimentelor A, B, C, D sunt respectiv: (0, 0), (8, 10), (0, 20), (0, 10) . Coordonatele evenimentului D 'pot fi calculate pe măsură ce acest eveniment are loc pe Pământ, deci x = 0 și simultan cu B în sistemul de referință al călătoriei exterioare, deci t' = 6: înlocuind aceste valori în ecuație (2 ) obținem t = 3,6. În mod similar, coordonatele lui D '' se obțin prin impunerea x = 0 și t '' = 6: din ecuația (4) obținem t = 16.4.

Intervalele de timp dintre aceste evenimente, conform ceasului Pământului, sunt, prin urmare, după cum urmează: AD '= 3,6 ani, D'-D = 6,4 ani, D-D' = 6,4 ani, D '' -C = 3,6 ani (total 20 ani).

Acum, aplicând transformările (1) și (2), putem calcula coordonatele acestor evenimente în sistemul de referință extern: A = (0, 0), B = (0, 6), C = (-26, 6667, 33,3333), D = (-13,3333, 16,6667), D '= (-4,8, 6), D' '= (-21,8667, 27,3333). După cum se poate vedea, în acest sistem de referință D nu este simultan cu B, în timp ce D 'este.

Intervalele de timp sunt deci: AD '= 6 ani, D'-D = 10.6667 ani, D-D' = 10.6667 ani, D '' - C = 6 ani (total 33.3333 ani). Dar ceasul de pe Pământ, în acest cadru de referință, rulează 60% din timp pe nava spațială. Prin urmare, măsoară: AD '= 3,6 ani, D'-D = 6,4 ani, D-D' '= 6,4 ani, D' '- C = 3,6 ani (total 20 de ani), exact așa cum sa calculat anterior.

În mod similar, aplicând transformările (3) și (4), coordonatele din sistemul de referință al returului sunt: A = (-26.6667; -21.3333), B = (0, 6), C = (0; 12), D = (-13,3333; -4,6667), D '= (-21,8667; -15,3333), D' '= (-4,8; 6). Intervalele de timp sunt: AD '= 6 ani, D'-D = 10.6667 ani, D-D' = 10.6667 ani, D '' - C = 6 ani (total 33.3333 ani); și conform ceasului de pe Pământ: AD '= 3,6 ani, D'-D = 6,4 ani, D-D' '= 6,4 ani, D' '- C = 3,6 ani (total 20 de ani).

Prin urmare, în toate cele trei sisteme de referință se obține același rezultat: în timpul călătoriei, 20 de ani trec pe Pământ.

Ce vede astronautul

Unii, pentru a explica paradoxul gemenei, susțin că pentru astronaut, în călătoria exterioară, ceasul Pământului merge mai lent, dar în călătoria de întoarcere merge mai repede și, în acest fel, „compensează” timpul și beneficiile pierdute. Acest lucru este adevărat doar dintr-un anumit punct de vedere.

Așa cum s-a explicat mai sus, atât în călătoriile de ieșire, cât și de întoarcere, astronautul calculează că ceasul Pământului este la 60% din timpul său. Totuși, ceea ce calculează astronautul este diferit de ceea ce vede . În al doilea caz, este, de asemenea, necesar să se ia în considerare calea pe care o face lumina de la Pământ la nava spațială.

Când astronautul ajunge la Lupul 359, au trecut 6 ani pentru ceasul său și estimează că au trecut 3,6 ani pe Pământ; dar în acel moment este atins de lumina care a plecat de pe Pământ la doar doi ani după el, conform ceasului Pământului, sau 1,2 ani mai târziu în funcție de a lui (de fapt, în cadrul de referință al Pământului, nava spațială durează 10 ani pentru a călători 8 ani lumină, în timp ce lumina durează 8; în sistemul astronautului distanța se contractă la 4,8 ani lumină, iar timpul este redus proporțional). Prin urmare, astronautul vede ceasul de pe Pământ mergând nu cu 60% al său, ci de 3 ori mai lent, adică cu 33,3333%.

Această încetinire ulterioară nu este un efect relativist, dar ar fi observată chiar dacă numai fizica clasică ar fi validă (deși întinderea sa ar fi diferită). Pentru o discuție despre acest fenomen, a se vedea articolul efect relativist Doppler .

În călătoria de întoarcere, astronautul întâlnește lumina care vine de pe Pământ, în loc să se îndepărteze de el: efectul este deci opus, așa că vede ceasul Pământului merge mai repede. Tocmai, în cei 6 ani (conform ceasului său) de călătorie de întoarcere, vede 18 ani trecând pe Pământ (de la 3002 la 3020), așa că vede ceasul Pământului mergând de 3 ori mai repede decât al lui. În acest sens , afirmația de mai sus este adevărată.

În mod similar, observatorul de pe Pământ vede ceasul navei spațiale mergând de 3 ori mai încet decât al său în călătoria exterioară și de 3 ori mai rapid în călătoria de întoarcere; dar spre deosebire de astronaut, el vede călătoria exterioară de 18 ani și călătoria de întoarcere doar 2 (în ambele cazuri ceasul navei spațiale măsoară 6 ani), deoarece lumina emisă de Wolf 359 în anul 3010 ajunge pe Pământ abia în 3018.

Notă

^ Paradoxul gemenei explicat lui De Gregori , în La Repubblica , 16 mai 2019, p. 13.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre paradoxul gemene

linkuri externe

Paradoxul gemenilor , pe mauriziocavini.it . Adus de la Maurizio Cavini .
Paradoxul gemenei , pe astronomy.com . Adus pe Astronomia.com .
Animație „Paradoxul gemenilor”. Autor prof. Santi Caltabiano , pe scratch.mit.edu. URL consultat pe scratch.mit.edu .
Paradoxul gemenilor , pe webalice.it . Adus la 5 august 2004 (arhivat din original la 15 august 2004) .
Articolul lui Subhash Kak despre soluția la paradoxul gemenei ^{[ link rupt ]} , pe springerlink.com .
Marco Guagnelli, Paradoxul gemenilor , pe Hookii , 1 decembrie 2014. Accesat la 6 octombrie 2015 (arhivat din original la 7 octombrie 2015) .

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia referitoare la relativitate

[1] Paradoxul gemenei explicat lui De Gregori , în La Repubblica , 16 mai 2019, p. 13.

[1]