Paradoxul cunoașterii lui Fitch

Paradoxul cunoașterii Fitch , cunoscut și sub numele de paradoxul cunoașterii Biserică-Fitch , de la numele logicianului Biserica Alonzo care l-a demonstrat pentru prima dată și al lui Frederic Fitch care l-a redescoperit făcându-l cunoscut, este unul dintre principalele puzzle-uri ale logicii epistemice . Practic, constă în contestarea acceptabilității tezei cunoașterii (este posibil, în principiu, să se cunoască un fapt adevărat), comun diferitelor linii de gândire, arătând că ar implica omnisciență (toate faptele sunt cunoscute, în prezent).

Paradoxul este deosebit de problematic pentru verificatori și anti-realiști, deoarece aceștia tind să accepte teza cunoașterii, dar resping cu tărie atotștiința.

Istorie

Paradoxul a devenit cunoscut cu articolul O analiză logică a unor concepte de valoare ^[1] de Frederic B. Fitch (1908-1987), care a citat o sursă necunoscută într-un articol din 1945. se datorează Bisericii Alonzo .

Expunere

Teza paradoxului este „principiul cunoașterii implică atotștiința”, sau echivalent din punct de vedere logic, „principiul cunoașterii este incompatibil cu non-omniscience” și, de asemenea, „non-omniscience implică falsitatea principiului cunoștinței”.

Dovada utilizează foarte puține reguli:

(A) Cunoașterea „p & q” implică „Cunoașterea p și cunoașterea q”, în simboluri: $K(p\land q)\vdash Kp\land Kq$ ${\ displaystyle K (p \ land q) \ vdash Kp \ land Kq}$ ${\ displaystyle K (p \ land q) \ vdash Kp \ land Kq}$ (distributivitatea lui K pe &);
(B) Știind ceva înseamnă că este adevărat (sau „dacă un lucru este fals nu se poate spune că îl cunoaște”), în simboluri: $Kp\vdash p$ ${\ displaystyle Kp \ vdash p}$ ${\ displaystyle Kp \ vdash p}$ ;
(C) Dacă ceva este logic adevărat, atunci este necesar, în simboluri: $\vdash p\implies \vdash \Box p$ ${\ displaystyle \ vdash p \ implicies \ vdash \ Box p}$ ${\ displaystyle \ vdash p \ implică \ vdash \ Box p}$ (regula necesității);
(D) Dacă nu este necesar p, atunci p este imposibil, în simboluri: $\Box \neg p\leftrightarrow \neg \Diamond p$ ${\ displaystyle \ Box \ neg p \ leftrightarrow \ neg \ Diamond p}$ ${\ displaystyle \ Box \ neg p \ leftrightarrow \ neg \ Diamond p}$ . Aceasta nu este o regulă reală, este doar o definiție utilizată pentru a scrie testul în mai puțin spațiu.

Evident, ipotezele sunt principiul cunoașterii (KP) și non-omniscience (NonO).

Premisa 1: $\forall p(p\rightarrow \Diamond Kp)$ ${\ displaystyle \ forall p (p \ rightarrow \ Diamond Kp)}$ ${\ displaystyle \ forall p (p \ rightarrow \ Diamond Kp)}$ (KP)
Premisa 2: $\exists p(p\land \neg Kp)$ ${\ displaystyle \ există p (p \ land \ neg Kp)}$ ${\ displaystyle \ există p (p \ land \ neg Kp)}$ (Nouălea)

Demonstrație:

(1): "p și nu știi ce p"

$p\land \neg Kp$ ${\ displaystyle p \ land \ neg Kp}$ ${\ displaystyle p \ land \ neg Kp}$ (Instanță nonO)

(2): „p & nu se știe că p” implică faptul că „este posibil să știm că (p & nu se știe că p)

$(p\land \neg Kp)\rightarrow \Diamond K(p\land \neg Kp)$ ${\ displaystyle (p \ land \ neg Kp) \ rightarrow \ Diamond K (p \ land \ neg Kp)}$ ${\ displaystyle (p \ land \ neg Kp) \ rightarrow \ Diamond K (p \ land \ neg Kp)}$ (din premisa 2, eliminarea lui ∀)

(3): "este posibil să știm că: p & nu se știe că p"

$\Diamond K(p\land \neg Kp)$ ${\ displaystyle \ Diamond K (p \ land \ neg Kp)}$ ${\ displaystyle \ Diamond K (p \ land \ neg Kp)}$ (de la 1, 2 prin Modus Ponens)

(4): "se știe că: p & nu se știe că p"

$K(p\land \neg Kp)$ ${\ displaystyle K (p \ land \ neg Kp)}$ ${\ displaystyle K (p \ land \ neg Kp)}$ (ipoteză ad absurdum, exemplu de 3)

(5): "știi p și știi că nu știi p"

$Kp\land K\neg Kp$ ${\ displaystyle Kp \ land K \ neg Kp}$ ${\ displaystyle Kp \ land K \ neg Kp}$ (de la 4 prin A)

(6): "stii p si nu stii p"

$Kp\land \neg Kp$ ${\ displaystyle Kp \ land \ neg Kp}$ ${\ displaystyle Kp \ land \ neg Kp}$ (de la 5 prin B)

(7): "nu știi ce: pe nu știi ce p"

$\neg K(p\land \neg Kp)$ ${\ displaystyle \ neg K (p \ land \ neg Kp)}$ ${\ displaystyle \ neg K (p \ land \ neg Kp)}$ (reducerea ad absurdum de la 4 → 6 - 6 este o contradicție)

(8): "este necesar să nu știm că p & nu se știe că p"

$\Box \neg K(p\land \neg Kp)$ ${\ displaystyle \ Box \ neg K (p \ land \ neg Kp)}$ ${\ displaystyle \ Box \ neg K (p \ land \ neg Kp)}$ (de la 7 prin C)

(9): "este imposibil să știm că: p & nu se știe că p"

$\neg \Diamond K(p\land \neg Kp)$ ${\ displaystyle \ neg \ Diamond K (p \ land \ neg Kp)}$ ${\ displaystyle \ neg \ Diamond K (p \ land \ neg Kp)}$ (de la 8 la D)

(10): (KP) implică omniscience, iar non-omniscience implică faptul că nu este posibil să se cunoască vreo propunere

${\text{(KP)}}\vdash \neg {\text{(NonO)}}$ ${\ displaystyle {\ text {(KP)}} \ vdash \ neg {\ text {(NonO)}}}$ ${\ displaystyle {\ text {(KP)}} \ vdash \ neg {\ text {(NonO)}}}$ adică ${\text{(NonO)}}\vdash \neg {\text{(KP)}}$ ${\ displaystyle {\ text {(NonO)}} \ vdash \ neg {\ text {(KP)}}}$ ${\ displaystyle {\ text {(NonO)}} \ vdash \ neg {\ text {(KP)}}}$ (pentru reducerea ad absurdum pe 1,2 → 3 până la 9, $\neg ((1)\land (2))$ ${\ displaystyle \ neg ((1) \ land (2))}$ ${\ displaystyle \ neg ((1) \ land (2))}$ )