Paradoxul lui Ahile și broasca țestoasă

Articol principal: paradoxurile lui Zenon .

Paradoxul „Ahile și broasca țestoasă” este cel mai faimos paradox al lui Zenon . A fost propus în secolul al V-lea. BC de către Zenon din Elea pentru a apăra tezele profesorului său Parmenides , care susținea că mișcarea era o iluzie.

Cursa țestoasei

Descrierea lui Aristotel

Aristotel expune paradoxul după cum urmează ( Fizică , Cartea a VI-a, capitolul 9, 239b 14-20): «Al doilea argument se numește" Ahile "și constă în aceasta: când cel mai rapid concurent începe după ce cel mai rapid concurent încetinește în cursă, acesta din urmă nu va fi niciodată depășit de cel mai rapid, deoarece urmăritorul ar fi mai întâi obligat să ajungă la locul de unde a plecat cel care fuge și, între timp, de necesitate, cel mai lent va fi întotdeauna un pic mai mult. ". ^[1]

Descrierea lui Borges

Reprezentarea paradoxului lui Ahile și a broaștei țestoase conform descrierii lui Borges. Distanțele (în metri) parcurse de Ahile și broasca țestoasă sunt indicate pe axă.

Una dintre cele mai faimoase descrieri ale paradoxului este făcută de scriitorul argentinian Jorge Luis Borges ^[2] : «Ahile, simbol al vitezei, trebuie să ajungă la broasca țestoasă, simbol al încetinirii. Ahile aleargă de zece ori mai repede decât broasca țestoasă și îi oferă zece metri de avantaj. Ahile rulează cei zece metri, iar broasca țestoasă călătorește cu un metru; Ahile parcurge acel metru, broasca țestoasă parcurge un decimetru; Ahile parcurge acel decimetru, broasca țestoasă călătorește un centimetru; Ahile călătorește acel centimetru, broasca țestoasă călătorește un milimetru; Ahile călătorește acel milimetru, broasca țestoasă călătorește o zecime de milimetru și așa mai departe ad infinitum; astfel încât Ahile să poată alerga pentru totdeauna fără să ajungă la ea ».

Soluțiile paradoxului

Cea mai imediată respingere este făcută de filosoful Diogene din Sinope , care nu a spus nimic despre argumentele aduse de Zenon, dar s-a ridicat și a mers, pentru a demonstra falsitatea concluziilor acestuia din urmă. ^[3]

Potrivit lui Aristotel , totuși, timpul și spațiul sunt infinit divizibile în potențialitate , dar nu sunt divizibile la infinit în actualitate . O distanță finită, care, potrivit lui Zenon, nu poate fi parcursă, deoarece poate fi împărțită în fracții infinite, este infinită în considerație mentală, dar în practică este alcătuită din părți finite și poate fi parcursă.

Soluție matematică ^[4]

Zenon presupunea implicit că suma infinită a lungimilor finite, oricât de mică ar fi dat întotdeauna un rezultat infinit. Această ipoteză, care pare rezonabilă dintr-un punct de vedere intuitiv, se dovedește însă a fi incorectă din punct de vedere matematic, dată fiind existența unor serii convergente .

Paradoxul poate fi infirmat aducându-l înapoi la studiul unei serii geometrice , folosită deja în cazuri particulare de Arhimede, dar formalizată doar în secolul al XIX-lea de Gauss .

Mai exact, mergem să studiem problema prin poziție $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ca și timpul pe care ia luat lui Ahile să ajungă la broasca țestoasă. Se observă că acest timp este de fapt compus din suma timpilor folosiți de Ahile pentru a parcurge distanțele infinite (întotdeauna mai scurte) care îl separă de punctele atinse treptat de broasca țestoasă în timp ce alerga. În simboluri:

T=t_{0}+t_{1}+t_{2}+...

{\ displaystyle T = t_ {0} + t_ {1} + t_ {2} + ...}

{\ displaystyle T = t_ {0} + t_ {1} + t_ {2} + ...}

În cele din urmă, se observă că această sumă infinită este atribuibilă unei serii geometrice a rațiunii strict între -1 și 1 și, prin urmare, convergentă. Din cauza asta $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o valoare finită, iar paradoxul poate fi considerat rezolvat, deoarece Ahile va lua un timp finit și nu infinit pentru a ajunge la broasca țestoasă.

Demonstrație

Să plasăm Ahile și broasca țestoasă pe o linie orientată pozitiv:

poziția inițială a lui Ahile este la punctul respectiv;
poziția de plecare a țestoasei este la punctul respectiv $L_{0}>0$ ${\ displaystyle L_ {0}> 0}$ ${\ displaystyle L_ {0}> 0}$ ;
distanțele parcurse de broască țestoasă în timp $t_{1},t_{2},t_{3},\ldots$ ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, t_ {3}, \ ldots}$ ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, t_ {3}, \ ldots}$ sunt indicate cu $L_{1},L_{2},L_{3},\ldots$ ${\ displaystyle L_ {1}, L_ {2}, L_ {3}, \ ldots}$ ${\ displaystyle L_ {1}, L_ {2}, L_ {3}, \ ldots}$ ;
se va chema viteza lui Ahile $v_{A}$ ${\ displaystyle v_ {A}}$ $merge}$ ;
se va numi viteza broaștei țestoase $v_{T}$ ${\ displaystyle v_ {T}}$ ${\ displaystyle v_ {T}}$ ;

În cele din urmă, să luăm în considerare o constantă $d={\frac {v_{T}}{v_{A}}},$ ${\ displaystyle d = {\ frac {v_ {T}} {v_ {A}}},}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {v_ {T}} {v_ {A}}},}$ care va fi motivul seriei geometrice de studiat. Din moment ce evident $v_{A}>v_{T}$ ${\ displaystyle v_ {A}> v_ {T}}$ ${\ displaystyle v_ {A}> v_ {T}}$ , am notat asta $|d|<1.$ ${\ displaystyle | d | <1.}$ ${\ displaystyle | d | <1.}$

Pentru legea orară a mișcării rectilinii uniforme , Ahile durează puțin $t_{0}={\tfrac {L_{0}}{v_{A}}}$ ${\ displaystyle t_ {0} = {\ tfrac {L_ {0}} {v_ {A}}}}$ ${\ displaystyle t_ {0} = {\ tfrac {L_ {0}} {v_ {A}}}}$ a parcurge distanța $L_{0}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ $L_ {0}$ .

În acest timp, broasca țestoasă a avansat $L_{1}=v_{T}t_{0}$ ${\ displaystyle L_ {1} = v_ {T} t_ {0}}$ ${\ displaystyle L_ {1} = v_ {T} t_ {0}}$ .

În acest moment Ahile va parcurge distanța $L_{1}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ $L_ {1}$ în $t_{1}={\tfrac {L_{1}}{v_{A}}}$ ${\ displaystyle t_ {1} = {\ tfrac {L_ {1}} {v_ {A}}}}$ ${\ displaystyle t_ {1} = {\ tfrac {L_ {1}} {v_ {A}}}}$ , în timp ce broasca țestoasă va călători un spațiu suplimentar $L_{2}=v_{T}t_{1}$ ${\ displaystyle L_ {2} = v_ {T} t_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2} = v_ {T} t_ {1}}$ . Acest ultim proces se repetă de infinit și, prin urmare, îl obținem

t_{n}={\frac {L_{n}}{v_{A}}}={\frac {v_{T}t_{n-1}}{v_{A}}}=t_{n-1}{\frac {v_{T}}{v_{A}}}=t_{n-1}d.

{\ displaystyle t_ {n} = {\ frac {L_ {n}} {v_ {A}}} = {\ frac {v_ {T} t_ {n-1}} {v_ {A}}} = t_ { n-1} {\ frac {v_ {T}} {v_ {A}}} = t_ {n-1} d.}

{\ displaystyle t_ {n} = {\ frac {L_ {n}} {v_ {A}}} = {\ frac {v_ {T} t_ {n-1}} {v_ {A}}} = t_ { n-1} {\ frac {v_ {T}} {v_ {A}}} = t_ {n-1} d.}

Dacă vrem să exprimăm timpul $t_{n}$ ${\ displaystyle t_ {n}}$ $t_n$ în ceea ce privește $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ trebuie deci să considerăm că

t_{n-1}d={\frac {L_{n-1}}{v_{A}}}d={\frac {v_{T}t_{n-2}}{v_{A}}}d=t_{n-2}d^{2}.

{\ displaystyle t_ {n-1} d = {\ frac {L_ {n-1}} {v_ {A}}} d = {\ frac {v_ {T} t_ {n-2}} {v_ {A }}} d = t_ {n-2} d ^ {2}.}

{\ displaystyle t_ {n-1} d = {\ frac {L_ {n-1}} {v_ {A}}} d = {\ frac {v_ {T} t_ {n-2}} {v_ {A }}} d = t_ {n-2} d ^ {2}.}

Se poate dovedi prin inducție pornind de la această ecuație că

t_{n}=t_{0}d^{n}.

{\ displaystyle t_ {n} = t_ {0} d ^ {n}.}

{\ displaystyle t_ {n} = t_ {0} d ^ {n}.}

Folosim această egalitate pentru a rescrie $T=t_{0}+t_{1}+t_{2}+\ldots$ ${\ displaystyle T = t_ {0} + t_ {1} + t_ {2} + \ ldots}$ ${\ displaystyle T = t_ {0} + t_ {1} + t_ {2} + \ ldots}$ ca

T=t_{0}+t_{0}d+t_{0}d^{2}+\ldots =t_{0}(1+d+d^{2}+\ldots ).

{\ displaystyle T = t_ {0} + t_ {0} d + t_ {0} d ^ {2} + \ ldots = t_ {0} (1 + d + d ^ {2} + \ ldots).}

{\ displaystyle T = t_ {0} + t_ {0} d + t_ {0} d ^ {2} + \ ldots = t_ {0} (1 + d + d ^ {2} + \ ldots).}

Suma $1+d+d^{2}+\ldots$ ${\ displaystyle 1 + d + d ^ {2} + \ ldots}$ ${\ displaystyle 1 + d + d ^ {2} + \ ldots}$ este o serie geometrică a rațiunii $|d|<1$ ${\ displaystyle | d | <1}$ ${\ displaystyle | d | <1}$ , iar valoarea acestei sume este ${\tfrac {1}{1-d}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-d}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-d}}}$ . ^[5]

Din acest motiv, Ahile va ajunge la broasca testoasa intr-un timp finit egal cu

T=t_{0}(1+d+d^{2}+d^{3}+\ldots )={\frac {L_{0}}{v_{A}}}{\frac {1}{1-d}}={\frac {L_{0}}{v_{A}-{dv_{A}}}}={\frac {L_{0}}{v_{A}-{v_{T}}}}.

{\ displaystyle T = t_ {0} (1 + d + d ^ {2} + d ^ {3} + \ ldots) = {\ frac {L_ {0}} {v_ {A}}} {\ frac { 1} {1-d}} = {\ frac {L_ {0}} {v_ {A} - {dv_ {A}}}} = {\ frac {L_ {0}} {v_ {A} - {v_ {T}}}}.}

{\ displaystyle T = t_ {0} (1 + d + d ^ {2} + d ^ {3} + \ ldots) = {\ frac {L_ {0}} {v_ {A}}} {\ frac { 1} {1-d}} = {\ frac {L_ {0}} {v_ {A} - {dv_ {A}}}} = {\ frac {L_ {0}} {v_ {A} - {v_ {T}}}}.}

Notă

^ Autor, Fizică , Milano, Bompiani, 2011.
^ Jorge Luis Sal Borges, „Alte inchiziții”, Feltrinelli, 1973, „Metamorfoza broaștei țestoase”
^ Paradoxurile lui Zenon
^ Marson, Baiti, Ancona, Rubino, Mathematical Analysis 1 - Theory and applications , Rome, Carocci, 2010, pp. 244-245, ISBN 978-88-430-5289-9 .
^ În termeni matematici mai riguroși: seria converge la ${\tfrac {1}{1-d}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-d}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-d}}}$ . Pentru informații suplimentare, consultați secțiunea dedicată .

Elemente conexe

linkuri externe

Paradoxul lui Ahile și broasca țestoasă , pe Sapienza.it , De Agostini .
( EN ) Achilles and the Tortoise Paradox , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de filosofie

Portalul de matematică

[1] Autor, Fizică , Milano, Bompiani, 2011.

[2] Jorge Luis Sal Borges, „Alte inchiziții”, Feltrinelli, 1973, „Metamorfoza broaștei țestoase”

[3] Paradoxurile lui Zenon

[4] Marson, Baiti, Ancona, Rubino, Mathematical Analysis 1 - Theory and applications , Rome, Carocci, 2010, pp. 244-245, ISBN 978-88-430-5289-9 .

[5] În termeni matematici mai riguroși: seria converge la ${\tfrac {1}{1-d}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-d}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-d}}}$ . Pentru informații suplimentare, consultați secțiunea dedicată .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]