Paralelism (geometrie)

În geometria euclidiană, două sau mai multe entități sunt reciproc paralele dacă toate punctele uneia au aceeași distanță minimă de cealaltă sau de extensia sa. Mai mult, fiecare entitate geometrică este considerată paralelă cu ea însăși. Relația astfel definită se numește paralelism și este o relație de echivalență .

Relația de paralelism este în general notată cu o bară dublă verticală sau oblică. Expresiile $a\parallel b$ ${\ displaystyle a \ parallel b}$ ${\ displaystyle a \ parallel b}$ Și $a//b$ ${\ displaystyle a // b}$ ${\ displaystyle a // b}$ ei citesc " $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este paralel cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ".

Paralelismul în plan

Două sau mai multe linii distincte în același plan euclidian sunt paralele dacă și numai dacă nu au niciun punct în comun, adică dacă nu se întâlnesc niciodată. Două sau mai multe segmente sunt paralele dacă liniile care le conțin sunt.

În plan cartezian două linii drepte (distincte sau nu) ale ecuațiilor implicite $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + cu + c = 0$ Și $a'x+b'y+c'=0$ ${\ displaystyle a'x + b'y + c '= 0}$ ${\ displaystyle a'x + b'y + c '= 0}$ sunt paralele dacă și numai dacă $ab'=a'b$ ${\ displaystyle ab '= a'b}$ ${\ displaystyle ab '= a'b}$ .

Deci sunt paralele dacă și numai dacă au același coeficient unghiular ( $m=m'$ ${\ displaystyle m = m '}$ ${\ displaystyle m = m '}$ relativ la ecuațiile lor explicite $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ Și $y=m'x+q'$ ${\ displaystyle y = m'x + q '}$ ${\ displaystyle y = m'x + q '}$ ) sau sunt verticale (și, prin urmare, au ecuații $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ Și $x=b$ ${\ displaystyle x = b}$ ${\ displaystyle x = b}$ ).

Teorema liniei paralele

Același subiect în detaliu: Teorema liniilor paralele .

Având în vedere două linii tăiate printr-o transversală, dacă unghiurile interne alternative sunt congruente, cele două linii sunt paralele.

Paralelismul în spațiu

Într-un spațiu euclidian tridimensional , două sau mai multe planuri distincte sunt paralele dacă și numai dacă nu au niciun punct în comun. Același lucru este valabil și pentru o linie dreaptă și un plan, care nu o conține, sunt paralele. De asemenea, este adevărat că două linii paralele distincte nu au niciun punct în comun, dar este posibil ca două linii distincte din spațiu să nu se întâlnească niciodată fără a fi paralele. În acest caz vorbim de linii înclinate .

Paralelismul în geometriile neeuclidiene

Același subiect în detaliu: Paralelismul în geometria hiperbolică .

Postulatul paralel , mai bine cunoscut sub numele de al cincilea postulat al lui Euclid, susține că pentru un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ o singură linie dreaptă poate fi efectuată paralel cu o linie dreaptă dată $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ne trecând prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Se arată acum că această axiomă este independentă de celelalte postulate ale lui Euclid și negația sa duce la geometrii neeuclidiene, unde proprietățile paralelismului clasic nu sunt aplicabile.

Exemple

Paralelism între două linii

Două linii paralele proiectate pe un plan rămân paralele, dar și două linii înclinate pot avea proiecții paralele pe un plan. În spațiul tridimensional, două linii sunt paralele dacă și numai dacă acest lucru este adevărat pentru două planuri non-paralele.

Paralelism între dreaptă și plan

Un plan este paralel cu o linie dacă și numai dacă conține o linie paralelă cu aceasta. (Dacă și numai dacă produsul lor cu puncte este egal cu zero).

Paralelismul în proiecția de perspectivă

Două linii sau două planuri sunt paralele dacă și numai dacă au același zbor ; o linie este paralelă cu un plan dacă și numai dacă zborul său este conținut în cel al avionului.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « paralelism »

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică