Parametrii S.

Parametrii de împrăștiere sau parametrii S (adică elementele unei matrice de împrăștiere sau „matrice S”) descriu comportamentul electric al rețelelor electrice liniare supuse stimulării semnalelor electrice în stare de echilibru . Parametrii sunt utilizați în mod obișnuit în domeniile ingineriei electrice și electronice și în proiectarea sistemelor de comunicații, în special în domeniul microundelor .

Parametrii S fac parte dintr-o familie de parametri similari, incluzând: parametri Y (parametri de admisie) ^[1] , parametri Z (parametri de impedanță ) ^[2] , parametri H (parametri hibrizi), parametri T (parametri de transfer) sau ABCD ^{[ 3]} ^[4] parametri. Parametrii S diferă de cei anteriori prin faptul că nu utilizează condiții de circuit deschis sau de scurtcircuit pentru a caracteriza o rețea electrică liniară, ci sarcini potrivite de impedanță , care atunci când se ocupă de semnale de înaltă frecvență sunt mai ușor de utilizat decât terminările. circuit. Mai mult, cantitățile sunt măsurate în termeni de potență .

Multe proprietăți electrice ale rețelelor componente (inductoare, condensatoare, rezistențe) pot fi exprimate folosind parametrii S, inclusiv câștigul , pierderea de retur , pierderea de inserție , VSWR , coeficientul de reflexie și stabilitatea unui amplificator. Termenul împrăștiere ( difuzie ) este utilizat în mod obișnuit în optică și indică faptul că efectul este observat atunci când un plan de unde electromagnetice este incident pe o fantă sau se propagă prin medii dielectrice neomogene. În contextul parametrilor S, utilizarea termenului de împrăștiere se referă la modurile în care undele călătoare de curent și tensiune se comportă la discontinuitățile întâlnite în timpul căii de propagare, unde discontinuitatea înseamnă o diferență în impedanța elementului traversat în prezent în ceea ce privește impedanța caracteristică a liniei de transmisie.

Deși sunt instrumente matematice care pot fi utilizate la orice frecvență, parametrii S găsesc o utilitate mai mare în studiul rețelelor electronice care funcționează la frecvența radio (RF) și în domeniul microundelor , unde puterea și energia semnalului sunt mai ușor de cuantificat decât curenți și tensiuni. Parametrii S ai unui element dintr-o rețea sunt o funcție a frecvenței de lucru, prin urmare nu numai impedanța caracteristică de referință, ci și intervalul de frecvență trebuie specificat pentru un parametru S.

Parametrii S pot fi reprezentați sub formă de matrice și urmează regulile algebrei matriciale.

Generalitate

În abordarea parametrului S, o rețea electrică este tratată ca o cutie neagră care conține o subrețea interconectată în mod arbitrar de elemente ale circuitului parametrilor cum ar fi rezistențe , condensatori , inductori și tranzistoare . Această cutie neagră interacționează cu alte circuite externe prin ușile sale. Rețeaua poate fi sintetizată dintr-o matrice pătrată de numere complexe , numită matrice de parametri S, care poate fi utilizată pentru a calcula răspunsul rețelei la un semnal aplicat porților sale.

Sinteza rețelei cu matrice S este aplicabilă oricărei rețele care conține un număr arbitrar și topologie de componente, atâta timp cât comportamentul general al rețelei este liniar cu semnalele de incident mici de la intrare. Rețeaua poate include, de asemenea, componentele tipice sau „blocurile” sistemelor de comunicații precum amplificatoare , atenuatoare , filtre electronice , cuplaje direcționale și egalizatoare , cu excepția cazului în care regimul lor de funcționare este liniar.

O rețea electrică care poate fi sintetizată dintr-o matrice S poate avea un număr arbitrar de porți. Ușile sunt singurele puncte de interacțiune cu exteriorul rețelei electrice sintetizate ca model de cutie neagră; semnalele electrice intră și ies din ușile către lumea exterioară. Porțile sunt de obicei perechi de terminale cu condiția ca curentul care intră dintr-o poartă să fie același cu cel care iese din cealaltă poartă ^[5] ^[6] . Parametrii S sunt utilizați în mod obișnuit la frecvențe în care porturile sunt adesea conexiuni coaxiale sau ghid de undă .

Matricea S care sintetizează o rețea N- port este o matrice pătrată cu dimensiunea N și conține un număr $N^{2}\,$ ${\ displaystyle N ^ {2} \,}$ ${\ displaystyle N ^ {2} \,}$ de elemente, parametrii S. Fiecare parametru S este reprezentat de un număr complex adimensional care reprezintă intensitatea și unghiul , adică amplitudinea și faza în domeniul electric. Numărul complex poate fi exprimat într-una dintre reprezentările convenționale, cum ar fi forma dreptunghiulară , forma polară sau diagrama Smith . Amplitudinea parametrului S poate fi reprezentată în formă liniară, dar mai frecvent este definită în scară logaritmică cu unitatea adimensională de decibeli . Faza parametrului S poate fi reprezentată în grade sau radiani . Fiecare parametru S poate fi reprezentat grafic pe o diagramă polară dintr-un singur punct pentru o singură frecvență sau dintr-o curbă ( locus) pentru o gamă de frecvențe. Parametrii S care afectează o singură poartă (a formularului $S_{nn}\,$ ${\ displaystyle S_ {nn} \,}$ ${\ displaystyle S_ {nn} \,}$ ), care sunt elementele diagonalei principale a matricei S, pot fi reprezentate pe o diagramă Smith a impedanței (sau admiterii ) normalizată la impedanța sistemului. Diagrama Smith permite o conversie simplă între parametru $S_{nn}\,$ ${\ displaystyle S_ {nn} \,}$ ${\ displaystyle S_ {nn} \,}$ echivalent cu coeficientul de reflecție în tensiune și impedanța (normalizată) (sau admisie) asociată „văzută” la poarta respectivă. Următoarele informații trebuie definite atunci când se specifică un set de parametri S:

Frecvență
Impedanță caracteristică nominală (adesea 50 Ω)
Numerotarea portului
Condiții de limitare a rețelei, cum ar fi temperatura de alimentare, tensiunea și curentul, dacă este cazul.

Matricea generală S.

Definiție

Într-o rețea generică multi-port, fiecăruia dintre porturi i se atribuie un număr întreg n de la 1 la N , unde N este numărul total de porturi. Pentru a nea poartă, parametrul asociat S este definit în termeni de „unde de putere” incidente și respectiv reflectat de poarta însăși $a_{n}\,$ ${\ displaystyle a_ {n} \,}$ ${\ displaystyle a_ {n} \,}$ Și $b_{n}\,$ ${\ displaystyle b_ {n} \,}$ ${\ displaystyle b_ {n} \,}$ .

Kurokawa ^[7] definește unda de putere incidentă la portul generic i

a_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}+Z_{i}I_{i})\,

{\ displaystyle a_ {i} = {\ frac {1} {2}} \, k_ {i} (V_ {i} + Z_ {i} I_ {i}) \,}

{\ displaystyle a_ {i} = {\ frac {1} {2}} \, k_ {i} (V_ {i} + Z_ {i} I_ {i}) \,}

iar valul se reflecta la o ușă ca.

b_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}-Z_{i}^{*}I_{i})\,

{\ displaystyle b_ {i} = {\ frac {1} {2}} \, k_ {i} (V_ {i} -Z_ {i} ^ {*} I_ {i}) \,}

{\ displaystyle b_ {i} = {\ frac {1} {2}} \, k_ {i} (V_ {i} -Z_ {i} ^ {*} I_ {i}) \,}

unde este $Z_{i}\,$ ${\ displaystyle Z_ {i} \,}$ ${\ displaystyle Z_ {i} \,}$ este impedanța porții i , $Z_{i}^{*}\,$ ${\ displaystyle Z_ {i} ^ {*} \,}$ ${\ displaystyle Z_ {i} ^ {*} \,}$ este conjugatul complex al lui $Z_{i}\,$ ${\ displaystyle Z_ {i} \,}$ ${\ displaystyle Z_ {i} \,}$ , $V_{i}\,$ ${\ displaystyle V_ {i} \,}$ ${\ displaystyle V_ {i} \,}$ Și $I_{i}\,$ ${\ displaystyle I_ {i} \,}$ ${\ displaystyle I_ {i} \,}$ sunt amplitudinile complexe ale tensiunii și curentului la poarta i și respectiv

k_{i}=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{i}\}\right|}}\right)^{-1}\,

{\ displaystyle k_ {i} = \ left ({\ sqrt {\ left | \ Re \ {Z_ {i} \} \ right |}} \ right) ^ {- 1} \,

{\ displaystyle k_ {i} = \ left ({\ sqrt {\ left | \ Re \ {Z_ {i} \} \ right |}} \ right) ^ {- 1} \,

Este adesea util să presupunem că impedanța de referință este aceeași pentru toate porțile, caz în care definițiile undelor incidente și reflectate pot fi simplificate la

a_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}+Z_{0}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,

{\ displaystyle a_ {i} = {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {(V_ {i} + Z_ {0} I_ {i})} {\ sqrt {\ left | \ Re \ {Z_ {0} \} \ right |}}} \,}

{\ displaystyle a_ {i} = {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {(V_ {i} + Z_ {0} I_ {i})} {\ sqrt {\ left | \ Re \ {Z_ {0} \} \ right |}}} \,}

Și

b_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}-Z_{0}^{*}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}\,

{\ displaystyle b_ {i} = {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {(V_ {i} -Z_ {0} ^ {*} I_ {i})} {\ sqrt {\ left | \ Re \ {Z_ {0} \} \ right |}}} \,}

{\ displaystyle b_ {i} = {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {(V_ {i} -Z_ {0} ^ {*} I_ {i})} {\ sqrt {\ left | \ Re \ {Z_ {0} \} \ right |}}} \,}

.

Pentru toate porțile, undele de putere reflectate pot fi definite în termeni de matrice a parametrilor S și a undelor de putere incidente prin intermediul ecuației matricei:

b=Sa\,

${\ displaystyle b = Sa \,}$ ${\ displaystyle b = Sa \,}$

unde S este N x N matrice de parametrii S, ale căror elemente pot fi indexate folosind notația matrice convențională, în timp ce $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt vectorii componentelor $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ Și $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ respectiv.

Reciprocitate

O rețea este reciprocă dacă este pasivă și dacă conține doar materiale reciproce care afectează semnalul transmis. De exemplu, atenuatoarele, cablurile, separatoarele și combinatoarele sunt toate rețele reciproce și $S_{mn}=S_{nm}\,$ ${\ displaystyle S_ {mn} = S_ {nm} \,}$ ${\ displaystyle S_ {mn} = S_ {nm} \,}$ , adică matricea S este egală cu transpunerea sa. Rețelele care includ materiale non-reciproce în mediul de transmisie, cum ar fi cele care conțin componente de ferită polarizate magnetic, sunt non-reciproce. Un amplificator este un alt exemplu de rețea non-reciprocă. O proprietate interesantă a rețelelor cu 3 porturi este însă că acestea nu pot fi simultan reciproce, fără pierderi și perfect potrivite ^[8] .

Rețele fără pierderi

O rețea fără pierderi nu disipează puterea, adică: $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,$ ${\ displaystyle \ Sigma \ left | a_ {n} \ right | ^ {2} = \ Sigma \ left | b_ {n} \ right | ^ {2} \,}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ left | a_ {n} \ right | ^ {2} = \ Sigma \ left | b_ {n} \ right | ^ {2} \,}$ . Suma puterilor incidente la toate porțile este egală cu suma puterilor reflectate la toate porțile. Aceasta implică faptul că matricea S este unitară , $(S)^{H}(S)=(I)\,$ ${\ displaystyle (S) ^ {H} (S) = (I) \,}$ ${\ displaystyle (S) ^ {H} (S) = (I) \,}$ , unde este $(S)^{H}\,$ ${\ displaystyle (S) ^ {H} \,}$ ${\ displaystyle (S) ^ {H} \,}$ este matricea de transpunere conjugată a $(S)\,$ ${\ displaystyle (S) \,}$ ${\ displaystyle (S) \,}$ Și $(I)\,$ ${\ displaystyle (I) \,}$ ${\ displaystyle (I) \,}$ este matricea identității .

Rețele pierdute

O rețea pasivă cu pierderi este una în care suma puterilor incidente la toate porțile este mai mare decât suma puterilor reflectate la toate porțile. Prin urmare, disipează puterea care este: $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,$ ${\ displaystyle \ Sigma \ left | a_ {n} \ right | ^ {2} \ neq \ Sigma \ left | b_ {n} \ right | ^ {2} \,}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ left | a_ {n} \ right | ^ {2} \ neq \ Sigma \ left | b_ {n} \ right | ^ {2} \,}$ . În acest caz $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}\,$ ${\ displaystyle \ Sigma \ left | a_ {n} \ right | ^ {2}> \ Sigma \ left | b_ {n} \ right | ^ {2} \,}$ ${\ displaystyle \ Sigma \ left | a_ {n} \ right | ^ {2}> \ Sigma \ left | b_ {n} \ right | ^ {2} \,}$ , Și $(I)-(S)^{H}(S)\,$ ${\ displaystyle (I) - (S) ^ {H} (S) \,}$ ${\ displaystyle (I) - (S) ^ {H} (S) \,}$ este o matrice definitivă pozitivă .

Parametrii S într-un quadripol

Matricea S a unui quadripol este probabil cea mai frecvent utilizată și acționează ca un element de bază pentru definirea matricilor de ordin superior legate de rețele mai complexe ^[9] . În acest caz, relația dintre undele de putere reflectate și incidente și matricea S este dată de:

{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ { 22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {pmatrix}} \,}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ { 22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {pmatrix}} \,}

.

Dezvoltând matricile în ecuații avem:

b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}\,

{\ displaystyle b_ {1} = S_ {11} a_ {1} + S_ {12} a_ {2} \,}

{\ displaystyle b_ {1} = S_ {11} a_ {1} + S_ {12} a_ {2} \,}

Și

b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}\,

{\ displaystyle b_ {2} = S_ {21} a_ {1} + S_ {22} a_ {2} \,}

{\ displaystyle b_ {2} = S_ {21} a_ {1} + S_ {22} a_ {2} \,}

.

Fiecare ecuație definește raportul dintre unda de putere reflectată și unda incidentă pentru fiecare dintre porturile de rețea, portul 1 și portul 2, în ceea ce privește parametrii S individuali ai rețelei, $S_{11}\,$ ${\ displaystyle S_ {11} \,}$ ${\ displaystyle S_ {11} \,}$ , $S_{12}\,$ ${\ displaystyle S_ {12} \,}$ ${\ displaystyle S_ {12} \,}$ , $S_{21}\,$ ${\ displaystyle S_ {21} \,}$ ${\ displaystyle S_ {21} \,}$ Și $S_{22}\,$ ${\ displaystyle S_ {22} \,}$ ${\ displaystyle S_ {22} \,}$ . Dacă luăm în considerare o undă de putere incidentă la portul 1 ( $a_{1}\,$ ${\ displaystyle a_ {1} \,}$ ${\ displaystyle a_ {1} \,}$ ), undele de ieșire pot deriva atât din poarta 1 în sine ( $b_{1}\,$ ${\ displaystyle b_ {1} \,}$ ${\ displaystyle b_ {1} \,}$ ) și de la ușa 2 ( $b_{2}\,$ ${\ displaystyle b_ {2} \,}$ ${\ displaystyle b_ {2} \,}$ ). Cu toate acestea, dacă, conform definiției parametrilor S, portul 2 este terminat pe o sarcină de impedanță identică cu impedanța sistemului ( $Z_{0}\,$ ${\ displaystyle Z_ {0} \,}$ ${\ displaystyle Z_ {0} \,}$ ) apoi, conform teoremei transferului de putere maximă , $b_{2}\,$ ${\ displaystyle b_ {2} \,}$ ${\ displaystyle b_ {2} \,}$ va fi total absorbit făcând astfel $a_{2}\,$ ${\ displaystyle a_ {2} \,}$ ${\ displaystyle a_ {2} \,}$ egal cu zero. Prin urmare:

S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}

{\ displaystyle S_ {11} = {\ frac {b_ {1}} {a_ {1}}} = {\ frac {V_ {1} ^ {-}} {V_ {1} ^ {+}}}}

{\ displaystyle S_ {11} = {\ frac {b_ {1}} {a_ {1}}} = {\ frac {V_ {1} ^ {-}} {V_ {1} ^ {+}}}}

Și

S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,

{\ displaystyle S_ {21} = {\ frac {b_ {2}} {a_ {1}}} = {\ frac {V_ {2} ^ {-}} {V_ {1} ^ {+}}} \ ,}

{\ displaystyle S_ {21} = {\ frac {b_ {2}} {a_ {1}}} = {\ frac {V_ {2} ^ {-}} {V_ {1} ^ {+}}} \ ,}

.

În mod similar, dacă portul 1 este terminat pe o sarcină de impedanță egală cu impedanța sistemului, atunci $a_{1}\,$ ${\ displaystyle a_ {1} \,}$ ${\ displaystyle a_ {1} \,}$ devine zero și avem:

S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,

{\ displaystyle S_ {12} = {\ frac {b_ {1}} {a_ {2}}} = {\ frac {V_ {1} ^ {-}} {V_ {2} ^ {+}}} \ ,}

{\ displaystyle S_ {12} = {\ frac {b_ {1}} {a_ {2}}} = {\ frac {V_ {1} ^ {-}} {V_ {2} ^ {+}}} \ ,}

Și

S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,

{\ displaystyle S_ {22} = {\ frac {b_ {2}} {a_ {2}}} = {\ frac {V_ {2} ^ {-}} {V_ {2} ^ {+}}} \ ,}

{\ displaystyle S_ {22} = {\ frac {b_ {2}} {a_ {2}}} = {\ frac {V_ {2} ^ {-}} {V_ {2} ^ {+}}} \ ,}

.

Parametrii bipoli S au următoarele descrieri generice:

S_{11}\,

{\ displaystyle S_ {11} \,}

{\ displaystyle S_ {11} \,}

este coeficientul de reflecție în tensiune al portului de intrare

S_{12}\,

{\ displaystyle S_ {12} \,}

{\ displaystyle S_ {12} \,}

este câștigul invers de tensiune

S_{21}\,

{\ displaystyle S_ {21} \,}

{\ displaystyle S_ {21} \,}

este câștigul de tensiune directă

S_{22}\,

{\ displaystyle S_ {22} \,}

{\ displaystyle S_ {22} \,}

este coeficientul de reflecție în tensiune a portului de ieșire.

Proprietățile parametrilor S în rețelele cu două porturi

Un amplificator care funcționează în condiții liniare (semnal mic) este un bun exemplu de rețea non-reciprocă, în timp ce un atenuator cuplat este un exemplu de rețea reciprocă. În următoarele cazuri, vom presupune că conexiunile de intrare și ieșire sunt respectiv cu portul 1 și portul 2, care este cea mai comună convenție. De asemenea, trebuie specificate impedanța și frecvența nominală a sistemului și orice alți factori care pot afecta dispozitivul, cum ar fi temperatura.

Câștig liniar complex

Câștigul liniar complex G este dat de:

G=S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}

{\ displaystyle G = S_ {21} = {\ frac {b_ {2}} {a_ {1}}}}

{\ displaystyle G = S_ {21} = {\ frac {b_ {2}} {a_ {1}}}}

.

Aceasta este pur și simplu relația liniară dintre puterea undei reflectate și puterea undei incidente, cu toate valorile exprimate ca mărimi complexe. Pentru rețelele fără pierderi este mai puțin decât unitate, pentru rețelele active este $|G|>1$ ${\ displaystyle | G |> 1}$ ${\ displaystyle | G |> 1}$ . Este egal cu câștigul de tensiune numai atunci când dispozitivul are impedanțe de intrare și ieșire egale.

Câștig scalar liniar

Câștigul scalar liniar (sau amplitudinea câștigului liniar) este dat de:

\left|G\right|=\left|S_{21}\right|\,

{\ displaystyle \ left | G \ right | = \ left | S_ {21} \ right | \,}

{\ displaystyle \ left | G \ right | = \ left | S_ {21} \ right | \,}

.

Aceasta reprezintă amplitudinea câștigului (valoarea absolută), raportul dintre puterea undei de ieșire și puterea undei de intrare. Deoarece este o cantitate scalară, faza nu este relevantă în acest caz.

Câștig logaritmic scalar

Expresia logaritmică scalară (decibeli sau dB) pentru câștig ( g ) este:

g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,

{\ displaystyle g = 20 \ log _ {10} \ left | S_ {21} \ right | \,}

{\ displaystyle g = 20 \ log _ {10} \ left | S_ {21} \ right | \,}

dB.

Este mai des utilizat decât câștigul liniar scalar. O cantitate pozitivă se înțelege de obicei pur și simplu ca un „câștig”, în timp ce o cantitate negativă este un „câștig negativ” sau „pierdere”, echivalent cu amplitudinea sa în dB. De exemplu, un cablu lung de 10 m poate avea un câștig de -1 dB la 100 MHz sau o pierdere de 1 dB la 100 MHz.

Pierdere de inserție

În cazul în care cele două porturi de măsurare utilizează aceeași impedanță de referință, pierderea de inserție $(IL)$ ${\ displaystyle (IL)}$ ${\ displaystyle (IL)}$ sau „pierdere prin inserție” este reciprocul amplitudinii coeficientului $\left|S_{21}\right|$ ${\ displaystyle \ left | S_ {21} \ right |}$ ${\ displaystyle \ left | S_ {21} \ right |}$ exprimat în dB. Prin urmare, este dat de ^[10] :

$IL=-20\log _{10}\left|S_{21}\right|\,$ ${\ displaystyle IL = -20 \ log _ {10} \ left | S_ {21} \ right | \,}$ ${\ displaystyle IL = -20 \ log _ {10} \ left | S_ {21} \ right | \,}$ dB.

Reprezintă pierderea suplimentară produsă de introducerea DUT ( dispozitiv sub test , „dispozitiv sub test”) între cele două planuri de referință ale măsurătorii. Această pierdere suplimentară poate fi cauzată de pierderea inerentă în DUT și / sau decuplare. În cazul pierderii suplimentare, pierderea de inserție este definită ca fiind pozitivă. Opusul pierderii de inserție exprimat în decibeli p a definit câștigul de inserție și este câștigul scalar logaritmic (a se vedea definiția anterioară).

Pierderea de returnare la intrare

Pierderea de returnare a intrării („pierderea reflectării la intrare”) ( $RL_{\mathrm {in} }\,$ ${\ displaystyle RL _ {\ mathrm {in}} \,}$ ${\ displaystyle RL _ {\ mathrm {in}} \,}$ ) poate fi considerat ca o măsură a proximității dintre impedanța reală la intrarea în rețea și valoarea nominală a impedanței sistemului. Exprimat în termeni de lățime logaritmică, este dat de:

RL_{\mathrm {in} }=10\log _{10}\left|{1 \over S_{11}^{2}}\right|=-20\log _{10}|S_{11}|

{\ displaystyle RL _ {\ mathrm {in}} = 10 \ log _ {10} \ left | {1 \ over S_ {11} ^ {2}} \ right | = -20 \ log _ {10} | S_ {11} |}

{\ displaystyle RL _ {\ mathrm {in}} = 10 \ log _ {10} \ left | {1 \ over S_ {11} ^ {2}} \ right | = -20 \ log _ {10} | S_ {11} |}

dB.

Pentru rețelele pasive cu două porturi, în care se află $|S_{11}|\leq 1$ ${\ displaystyle | S_ {11} | \ leq 1}$ ${\ displaystyle | S_ {11} | \ leq 1}$ , rezultă că pierderea de rentabilitate este o cantitate non-negativă: $RL_{in}\geq 0$ ${\ displaystyle RL_ {în} \ geq 0}$ ${\ displaystyle RL_ {în} \ geq 0}$ .

Pierderea înapoi la ieșire

Pierderea de întoarcere la ieșire, ( $RL_{\mathrm {out} }\,$ ${\ displaystyle RL _ {\ mathrm {out}} \,}$ ${\ displaystyle RL _ {\ mathrm {out}} \,}$ ), are o definiție similară cu pierderea de returnare, dar se aplică portului de ieșire (portului 2) mai degrabă decât portului de intrare. Expresia sa este:

RL_{\mathrm {out} }=-20\log _{10}\left|S_{22}\right|\,

{\ displaystyle RL _ {\ mathrm {out}} = - 20 \ log _ {10} \ left | S_ {22} \ right | \,}

{\ displaystyle RL _ {\ mathrm {out}} = - 20 \ log _ {10} \ left | S_ {22} \ right | \,}

dB.

Câștig invers și izolare inversă

Expresia logaritmică scalară (decibeli sau dB) pentru câștigul invers ( $g_{\mathrm {rev} }\,$ ${\ displaystyle g _ {\ mathrm {rev}} \,}$ ${\ displaystyle g _ {\ mathrm {rev}} \,}$ ) este dat de:

g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|\,

{\ displaystyle g _ {\ mathrm {rev}} = 20 \ log _ {10} \ left | S_ {12} \ right | \,}

{\ displaystyle g _ {\ mathrm {rev}} = 20 \ log _ {10} \ left | S_ {12} \ right | \,}

dB.

Adesea acest lucru va fi exprimat ca izolare inversă ( $I_{\mathrm {rev} }\,$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {rev}} \,}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {rev}} \,}$ ), caz în care devine o cantitate pozitivă egală cu amplitudinea lui $g_{\mathrm {rev} }\,$ ${\ displaystyle g _ {\ mathrm {rev}} \,}$ ${\ displaystyle g _ {\ mathrm {rev}} \,}$ iar expresia devine:

I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|\,

{\ displaystyle I _ {\ mathrm {rev}} = \ left | g _ {\ mathrm {rev}} \ right | = \ left | 20 \ log _ {10} \ left | S_ {12} \ right | \ dreapta | \,}

{\ displaystyle I _ {\ mathrm {rev}} = \ left | g _ {\ mathrm {rev}} \ right | = \ left | 20 \ log _ {10} \ left | S_ {12} \ right | \ dreapta | \,}

dB.

Coeficient de reflecție în tensiune

Coeficientul de reflecție în tensiune la portul de intrare ( $\Gamma _{\mathrm {in} }\,$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {in}} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {in}} \,}$ ) sau cel de la ușa de ieșire ( $\Gamma _{\mathrm {out} }\,$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {out}} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {out}} \,}$ ) sunt echivalente cu respectiv $S_{11}\,$ ${\ displaystyle S_ {11} \,}$ ${\ displaystyle S_ {11} \,}$ și $S_{22}\,$ ${\ displaystyle S_ {22} \,}$ ${\ displaystyle S_ {22} \,}$ , asa de:

\Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}\,

{\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {in}} = S_ {11} \,}

{\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {in}} = S_ {11} \,}

Și

\Gamma _{\mathrm {out} }=S_{22}\,

{\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {out}} = S_ {22} \,}

{\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {out}} = S_ {22} \,}

.

Atâta timp cât $S_{11}\,$ ${\ displaystyle S_ {11} \,}$ ${\ displaystyle S_ {11} \,}$ Și $S_{22}\,$ ${\ displaystyle S_ {22} \,}$ ${\ displaystyle S_ {22} \,}$ sunt cantități complexe, sunt și ele $\Gamma _{\mathrm {in} }\,$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {in}} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {in}} \,}$ Și $\Gamma _{\mathrm {out} }\,$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {out}} \,}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mathrm {out}} \,}$ .

Coeficienții de reflecție în tensiune sunt mărimi complexe și pot fi reprezentați grafic folosind diagrame polare sau diagrame Smith.

Vezi și articolul Coeficientul de reflecție .

Raportul undei staționare de tensiune

Raportul undei staționare (VSWR) în tensiune (raportul undei staționare de tensiune, VSWR) într-o ușă, indicat cu minuscule s, este o măsură a cuplării pierderii de retur similar cu ușa, dar este o cantitate scalară liniară, datează de la raportul dintre tensiunea maximă și tensiunea minimă a undei staționare. Prin urmare, este legat de amplitudinea coeficientului de reflecție în tensiune și, prin urmare, de amplitudinea $S_{11}\,$ ${\ displaystyle S_ {11} \,}$ ${\ displaystyle S_ {11} \,}$ pentru ușa de intrare sau $S_{22}\,$ ${\ displaystyle S_ {22} \,}$ ${\ displaystyle S_ {22} \,}$ pentru ușa de ieșire.

La ușa de intrare, VSWR ( $s_{\mathrm {in} }\,$ ${\ displaystyle s _ {\ mathrm {in}} \,}$ ${\ displaystyle s _ {\ mathrm {in}} \,}$ ) este dat de:

s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}\,

{\ displaystyle s _ {\ mathrm {in}} = {\ frac {1+ \ left | S_ {11} \ right |} {1- \ left | S_ {11} \ right |}} \,}

{\ displaystyle s _ {\ mathrm {in}} = {\ frac {1+ \ left | S_ {11} \ right |} {1- \ left | S_ {11} \ right |}} \,}

.

La portul de ieșire, VSWR ( $s_{\mathrm {out} }\,$ ${\ displaystyle s _ {\ mathrm {out}} \,}$ ${\ displaystyle s _ {\ mathrm {out}} \,}$ ) este dat de:

s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}\,

{\ displaystyle s _ {\ mathrm {out}} = {\ frac {1+ \ left | S_ {22} \ right |} {1- \ left | S_ {22} \ right |}} \,}

{\ displaystyle s _ {\ mathrm {out}} = {\ frac {1+ \ left | S_ {22} \ right |} {1- \ left | S_ {22} \ right |}} \,}

.

Acest lucru este corect pentru coeficienții de reflexie cu amplitudine nu mai mare decât unitatea, așa cum se întâmplă de obicei. Un coeficient de reflecție cu o amplitudine mai mare decât unitatea, cum ar fi într-un amplificator cu diodă tunel , va avea ca rezultat o valoare negativă pentru această expresie. Cu toate acestea, VSWR, pe baza definiției sale, este întotdeauna pozitiv. O expresie mai corectă pentru portul k al unui multipol este:

s_{k}={\frac {1+\left|S_{kk}\right|}{|1-\left|S_{kk}\right||}}\,

{\ displaystyle s_ {k} = {\ frac {1+ \ left | S_ {kk} \ right |} {| 1- \ left | S_ {kk} \ right ||}} \,}

{\ displaystyle s_ {k} = {\ frac {1+ \ left | S_ {kk} \ right |} {| 1- \ left | S_ {kk} \ right ||}} \,}

.

Parametrii S în quadripole

Parametrii S din quadripoli sunt utilizați pentru a caracteriza rețelele cu patru poli (4 porturi). Acestea includ informații privind undele de putere reflectate și incidente între cele 4 porturi ale rețelei.

{\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}&S_{24}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}&S_{34}\\S_{41}&S_{42}&S_{43}&S_{44}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} & S_ {13} & S_ {14} \\ S_ {21} & S_ {22} & S_ {23} & S_ {24} \ \ S_ {31} & S_ {32} & S_ {33} & S_ {34} \\ S_ {41} & S_ {42} & S_ {43} & S_ {44} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} & S_ {13} & S_ {14} \\ S_ {21} & S_ {22} & S_ {23} & S_ {24} \ \ S_ {31} & S_ {32} & S_ {33} & S_ {34} \\ S_ {41} & S_ {42} & S_ {43} & S_ {44} \ end {pmatrix}}}

Acestea sunt utilizate în mod obișnuit pentru a analiza o pereche de linii de transmisie cuplate, pentru a determina cantitatea de diafragme dintre ele, dacă sunt conduse de două semnale distincte dezechilibrate sau puterea reflectată și incidentă a unui semnal diferențial efectuat prin ele. Multe specificații ale semnalului diferențial de mare viteză definesc un canal de comunicație în funcție de parametrii S quadripol, de exemplu 10 Gigabit Attachment Unit Interface (XAUI), SATA, PCI-X și sistemele InfiniBand.

Parametrii modului mixt S în quadripole

Parametrii S de mod mixt din quadripole caracterizează rețelele quadripole în ceea ce privește răspunsul rețelei la semnalele de ritm comun și diferențiale. Acești parametri sunt prezentați în tabelul următor.

Parametrii modului mixt S în quadripole
			Stimulare
			Diferenţial		Mod comun
			Portul 1	Portul 2	Portul 1	Portul 2
Răspuns	Diferenţial	Portul 1	SDD11	SDD12	SDC11	SDC12
	Diferenţial	Portul 2	SDD21	SDD22	SDC21	SDC22
	Mod comun	Portul 1	SCD11	SCD12	SCC11	SCC12
	Mod comun	Portul 2	SCD21	SCD22	SCC21	SCC22

Rețineți formatul notației parametrice SXYab, unde „S” reprezintă parametrul de împrăștiere sau parametrul S, „X” este modul de răspuns (diferențial sau comun), „Y” este modul de stimulare (diferențial sau comun), „a” este portul de răspuns (ieșire) și "b" este portul de stimulare (intrare). Aceasta este nomenclatura tipică a parametrilor de împrăștiere.

Primul cadran include cei 4 parametri din stânga sus, care descriu caracteristicile stimulării diferențiale și ale răspunsului diferențial al dispozitivului testat. Acesta este modul real de funcționare care caracterizează cele mai multe interconectări diferențiale de mare viteză și este cadranul care primește cea mai mare atenție. Include pierderea de revenire diferențială de intrare (SDD11), pierderea de intrare de intrare (SDD21), pierderea de revenire de ieșire (SDD22) și pierderea de intrare de ieșire (SDD12). Unele beneficii ale procesării diferențiale a semnalului sunt:

sensibilitate redusă la interferențele electromagnetice
reducerea radiației electromagnetice provenite din circuitul diferențial echilibrat
produse de distorsiuni diferențiale de ordin egal transformate în semnale de mod comun
creșterea cu doi factori a nivelului de tensiune în raport cu semnalele dezechilibrate
respingerea sursei de alimentare în modul comun și codarea zgomotului de fond în semnal diferențial.

Al doilea și al treilea cadran sunt cei dintre cei 4 parametri, respectiv în dreapta sus și în stânga jos. Ele sunt, de asemenea, numite cadrane cross-mode, deoarece caracterizează complet orice conversie de mod care apare în dispozitivul supus testului, indiferent dacă este vorba de conversia SDCab comun-diferențială (sensibilitate EMI pentru o aplicație cu transmisie de semnal SDD deliberată. Diferențial) sau conversie diferențială la comună SCDab (radiație EMI pentru o aplicație diferențială). Înțelegerea conversiei modului este foarte utilă atunci când încercăm să optimizăm designul interconectării pentru capacitatea de transport a datelor gigabit.

Al patrulea cadran include cei 4 parametri din dreapta jos și descrie caracteristicile de funcționare ale semnalului de mod comun SCCab care se propagă prin dispozitivul testat. Pentru un dispozitiv diferențial SDDab proiectat corect, ar trebui să existe o ieșire SCCab în mod comun minim. Cu toate acestea, datele de răspuns al celui de-al patrulea cadran al modului comun oferă o măsură a răspunsului de transmisie al modului comun și este utilizat în raport cu răspunsul de transmisie diferențiat pentru a determina respingerea modului comun al rețelei. Această respingere a modului comun este un avantaj important al procesării diferențiale a semnalului și poate fi redusă la una în unele implementări ale circuitului diferențial. ^[11] ^[12]

Parametrii S în proiectarea amplificatorului

Parametrul de izolare inversă $S_{12}\,$ ${\ displaystyle S_ {12} \,}$ ${\ displaystyle S_ {12} \,}$ determină nivelul de feedback (feedback) de la ieșirea unei intrări a amplificatorului și astfel influențează stabilitatea acestuia (tendința sa de a restrânge oscilația) împreună cu câștigul direct $S_{21}\,$ ${\ displaystyle S_ {21} \,}$ ${\ displaystyle S_ {21} \,}$ . Un amplificator cu porturile de intrare și ieșire perfect izolate unele de altele ar avea izolarea amplitudinii logaritmice scalare infinite, adică a amplitudinii liniare a $S_{12}\,$ ${\ displaystyle S_ {12} \,}$ ${\ displaystyle S_ {12} \,}$ ar fi zero. Un astfel de amplificator se numește unilateral. La maggior parte degli amplificatori concreti avranno però un qualche isolamento finito che permette al coefficiente di riflessione "visto" alla porta di essere influenzato in qualche misura dal carico connesso sull'uscita. Un amplificatore che sia deliberatamente progettato per avere il più piccolo valore possibile di $\left|S_{12}\right|\,$ $\left|S_{12}\right|\,$ $\left|S_{12}\right|\,$ è spesso chiamato amplificatore separatore .

Si supponga che la porta di uscita di un amplificatore reale (non unilaterale o bilaterale) sia connessa ad un carico arbitrario con un coefficiente di riflessione $\rho _{L}\,$ $\rho _{L}\,$ $\rho _{L}\,$ . L'effettivo coefficiente di riflessione "visto" alla porta d'ingresso $\rho _{\mathrm {in} }\,$ $\rho _{\mathrm {in} }\,$ $\rho _{\mathrm {in} }\,$ sarà dato da ^[13] :

\rho _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\rho _{L}}{1-S_{22}\rho _{L}}}\,

\rho _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\rho _{L}}{1-S_{22}\rho _{L}}}\,

\rho _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\rho _{L}}{1-S_{22}\rho _{L}}}\,

.

Se l'amplificatore è unilaterale allora $S_{12}=0\,$ $S_{12}=0\,$ $S_{12}=0\,$ e $\rho _{\mathrm {in} }=S_{11}\,$ $\rho _{\mathrm {in} }=S_{11}\,$ $\rho _{\mathrm {in} }=S_{11}\,$ o, per esprimerla in un altro modo, il carico in uscita non ha alcun effetto sull'ingresso.

Una proprietà simile esiste nella direzione opposta, in questo caso se $\rho _{\mathrm {out} }\,$ $\rho _{\mathrm {out} }\,$ $\rho _{\mathrm {out} }\,$ è il coefficiente di riflessione visto alla porta di uscita e $\rho _{s}\,$ $\rho _{s}\,$ $\rho _{s}\,$ è il coefficiente della sorgente connessa alla porta di ingresso, si ha:

\rho _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\rho _{s}}{1-S_{11}\rho _{s}}}\,

\rho _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\rho _{s}}{1-S_{11}\rho _{s}}}\,

\rho _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\rho _{s}}{1-S_{11}\rho _{s}}}\,

.

Condizioni di carico della porta per la stabilità incondizionata di un amplificatore

Un amplificatore è incondizionatamente stabile se il carico o la sorgente di qualsiasi coefficiente di riflessione possono essere connessi senza causare instabilità. Questa condizione si verifica se le ampiezze dei coefficienti di riflessione alla sorgente, al carico e alle porte di ingresso e di uscita dell'amplificatore sono simultaneamente minori dell'unità. Un importante requisito che è l'amplificatore sia una rete lineare senza poli nel semipiano destro ^[14] . L'instabilità può causare una grave distorsione della risposta di frequenza del guadagno dell'amplificatore o, persino, una grave oscillazione. Per essere incondizionatamente stabile alla frequenza d'interesse, un amplificatore deve soddisfare simultaneamente le seguenti 4 equazioni ^[15] :

\left|\rho _{S}\right|<1\,

\left|\rho _{S}\right|<1\,

\left|\rho _{S}\right|<1\,

\left|\rho _{L}\right|<1\,

\left|\rho _{L}\right|<1\,

\left|\rho _{L}\right|<1\,

\left|\rho _{\mathrm {in} }\right|<1\,

\left|\rho _{\mathrm {in} }\right|<1\,

\left|\rho _{\mathrm {in} }\right|<1\,

\left|\rho _{\mathrm {out} }\right|<1\,

\left|\rho _{\mathrm {out} }\right|<1\,

\left|\rho _{\mathrm {out} }\right|<1\,

.

La condizione al contorno perché ciascuno di questi valori sia uguale all'unità può essere rappresentata da un cerchio tracciato sul diagramma polare che rappresenta il coefficiente di riflessione (complesso), uno per la porta di ingresso e l'altro per la porta di uscita. Spesso questi diagrammi saranno ridimensionati come carte di Smith. In ciascun caso le coordinate del centro del cerchio ed il raggio associato sono date dalle seguenti equazioni:

Valori di $\rho _{L}\,$ $\rho _{L}\,$ $\rho _{L}\,$ per $\left|\rho _{in}\right|=1\,$ $\left|\rho _{in}\right|=1\,$ $\left|\rho _{in}\right|=1\,$ (cerchio di stabilità dell'uscita)

Raggio $r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|\,$ $r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|\,$ $r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|\,$

Centro $c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\,$ $c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\,$ $c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\,$

Valori di $\rho _{S}\,$ $\rho _{S}\,$ $\rho _{S}\,$ per $\left|\rho _{out}\right|=1\,$ $\left|\rho _{out}\right|=1\,$ $\left|\rho _{out}\right|=1\,$ (cerchio di stabilità dell'ingresso)

Raggio $r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{11}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|\,$ $r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{11}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|\,$ $r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{11}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|\,$

Centro $c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{\left|S_{11}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\,$ $c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{\left|S_{11}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\,$ $c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{\left|S_{11}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\,$

dove, in entrambi i casi,

\Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}\,

\Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}\,

\Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}\,

e l'asterisco in posizione di apice (*) indica il complesso coniugato .

I cerchi sono in unità complesse del coefficiente di riflessione, perciò possono essere tracciati su carte di Smith di impedenza o ammettenza normalizzate all'impedenza del sistema. Questo serve a visualizzare rapidamente le regioni dell'impedenza (o ammettenza) normalizzata relative alla stabilità incondizionata prevista. Un altro modo di dimostrare la stabilità incondizionata fa ricorso al fattore di stabilità di Rollet ( $K\,$ $K\,$ $K\,$ ), definito come:

K={\frac {1-\left|S_{11}\right|^{2}-\left|S_{22}\right|^{2}+\left|\Delta \right|^{2}}{2\left|S_{12}S_{21}\right|}}\,

K={\frac {1-\left|S_{11}\right|^{2}-\left|S_{22}\right|^{2}+\left|\Delta \right|^{2}}{2\left|S_{12}S_{21}\right|}}\,

K={\frac {1-\left|S_{11}\right|^{2}-\left|S_{22}\right|^{2}+\left|\Delta \right|^{2}}{2\left|S_{12}S_{21}\right|}}\,

.

Parametri di trasferimento di scattering

I parametri di trasferimento di scattering o parametri T di una rete bipolare sono espressi dalla matrice dei parametri T e sono strettamente legati alla corrispondente matrice dei parametri S. La matrice dei parametri T è legata alle onde normalizzate incidente e riflessa per ciascuna delle porte nel modo seguente:

{\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,

{\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,

{\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}\,

.

Tuttavia, essi potrebbero essere definiti diversamente, come segue:

{\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,

{\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,

{\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}\,

Il componente aggiuntivo RF Toolbox per MATLAB ^[16] e vari libri (ad esempio Network scattering parameters ^[17] ) usano quest'ultima definizione, perciò la cautela è necessaria. I paragrafi "Da S a T" e "Da T ad S" in questa sezione dell'articolo sono basati sulla prima definizione. L'adattamento alla seconda definizione è banale (scambiando T 11 con T 22 , e T 12 con T21 ). Il vantaggio dei parametri T in confronto ai parametri S è che possono essere usati per determinare rapidamente l'effetto di collegare a cascata reti bipolari o multipolari semplicemente moltiplicando le matrici individuali associate dei parametri T. Se i parametri T di, poniamo, tre diverse reti bipolari 1, 2 e 3 sono rispettivamente ${\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}\,$ , ${\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}\,$ e ${\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,$ , allora la matrice dei parametri T per il collegamento a cascata di tutte e tre le reti ( ${\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}\,$ ) in ordine seriale è data da:

{\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,

{\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,

{\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}\,

.

Poiché il prodotto matriciale non è commutativo, l'ordine delle matrici è importante. Come nel caso dei parametri S, i parametri T sono valori complessi e c'è una conversione diretta fra i due tipi. Sebbene i parametri T a cascata siano una semplice moltiplicazione matriciale dei parametri T individuali, la conversione dei parametri S di ciascuna porta nei corrispondenti parametri T e la conversione dei parametri T a cascata di nuovo negli equivalenti parametri S a cascata, che sono solitamente richiesti, non è banale. Tuttavia una volta che l'operazione è completata, si terrà conto delle complesse interazioni delle onde intere fra tutte le porte in entrambe le direzioni. Le equazioni seguenti forniranno la conversione tra i parametri S e T per le reti a due porte ^[18] .

Da S a T:

T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}\,

T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}\,

T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}\,

T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}\,

T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}\,

T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}\,

T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}\,

T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}\,

T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}\,

T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}\,

T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}\,

T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}\,

.

Da T ad S

S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}\,

S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}\,

S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}\,

S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}\,

S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}\,

S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}\,

S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}\,

S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}\,

S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}\,

S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}}\,

S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}}\,

S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}}\,

dove $\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,$ $\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,$ $\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,$ indica il determinante della matrice ${\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,$ ${\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\,$ .

Parametri S per gli unipoli

Il parametro S per una rete unipolare è dato da una semplice matrice 1 x 1 della forma $(s_{nn})\,$ $(s_{nn})\,$ $(s_{nn})\,$ dove n è il numero della porta allocata. Per soddisfare la definizione di linearità del parametro S, vi sarebbe normalmente un carico passivo di qualche tipo.

Matrici dei parametri S di ordine superiore

I parametri S di ordine superiore per le coppie di porte dissimili ( $S_{mn}\,$ $S_{mn}\,$ $S_{mn}\,$ ), dove $m\neq \;n\,$ $m\neq \;n\,$ $m\neq \;n\,$ , possono essere dedotti in maniera simile a quelli per le reti bipolari considerando coppie di porte a rotazione, in ogni caso garantendo che tutte le porte rimanenti (inutilizzate) siano cariche con un'impedenza identica all'impedenza del sistema. In questo modo l'onda di potenza incidente per ciascuna delle porte inutilizzate si azzera generando espressioni simili a quelle ottenute nel caso dei bipoli. I parametri S relativi soltanto alle porte singole ( $S_{mm}\,$ $S_{mm}\,$ $S_{mm}\,$ ) richiedono che tutte le porte rimanenti siano cariche con un'impedenza identica all'impedenza del sistema, azzerando pertanto tutte le onde di potenza incidente eccetto quella per la porta in considerazione. In generale, pertanto, abbiamo:

S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}\,

S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}\,

S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}\,

e

S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}\,

S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}\,

S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}\,

.

Ad esempio, una rete tripolare come uno splitter a 2 uscite avrebbe le seguenti definizioni dei parametri S:

S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,

S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,

S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}\,

S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,

S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,

S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,

S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,

S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,

S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}\,

S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,

S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,

S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}\,

.

Misurazione dei parametri S

Le parti fondamentali di un analizzatore di reti vettoriale

Analizzatore di reti vettoriale

Il diagramma mostra le parti essenziali di un tipico analizzatore di reti vettoriale ( Vector Network Analyzer, VNA ) a due porte. Le due porte del dispositivo sotto collaudo (DUT) sono indicate come porta 1 (P1) e porta 2 (P2). I connettori delle porte di collaudo forniti sullo stesso VNA sono elementi di precisione che normalmente dovranno essere allungati e connessi a P1 e P2 usando rispettivamente i cavi di precisione PC1 e PC2 e gli idonei adattatori dei connettori rispettivamente A1 e A2.

La frequenza di test è generata da una sorgente di onde portanti ( carrier waves , CW) a frequenza variabile, mentre il suo livello di potenza è fissato usando un attenuatore variabile. La posizione dell'interruttore SW1 fissa la direzione lungo la quale il segnale di test passa attraverso il DUT. Inizialmente si consideri SW1 in posizione 1 così che il segnale di test è incidente sul DUT in P1, il che è appropriato per misurare $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ e $S_{21}\,$ $S_{21}\,$ $S_{21}\,$ . Il segnale di test viene inviato da SW1 alla porta comune dello splitter 1; un braccio (il canale di riferimento) alimenta un ricevitore di riferimento per P1 (RX REF1) e l'altro (il canale di test) alimenta P1, attraverso la catena formata da accoppiatore direzionale DC1, PC1 e A1. La terza porta di DC1 disaccoppia la potenza riflessa da P1 attraverso A1 e PC1, inviandola poi al ricevitore di test 1 (RX TEST1). Similmente, i segnali in uscita da P2 passano attraverso A2, PC2 e DC2 arrivando in RX TEST2. RX REF1, RX TEST1, RX REF2 e RXTEST2 sono conosciuti come ricevitori coerenti in quanto condividono lo stesso oscillatore di riferimento, e sono capaci di misurare ampiezza e fase del segnale di test alla frequenza del segnale di test. Tutti i segnali complessi in uscita dal ricevitore sono inviati a un processore che effettua l'elaborazione matematica e mostra i parametri prescelti e il formato sul display della fase e dell'ampiezza. Il valore istantaneo della fase comprende sia parti temporali che spaziali , ma le prime sono rimosse in virtù dell'uso di 2 canali di test, uno come riferimento e l'altro per la misurazione. Quando SW1 è fissato in posizione 2, i segnali di test sono applicati a P2, il riferimento è misurato da RX REF2, i segnali riflessi da P2 sono disaccoppiati da DC2 e misurati da RX TEST2 ei segnali in uscita da P1 sono disaccoppiati da DC1 e misurati da RX TEST1. Questa posizione è idonea a misurare $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ e $S_{12}\,$ $S_{12}\,$ $S_{12}\,$ .

Calibrazione

Prima di fare una misurazione dei parametri S del VNA, il primo passo essenziale è di eseguire un'accurata calibrazione appropriata alle misurazioni volute. Parecchi tipi di calibrazione sono normalmente disponibili sul VNA. È solo negli ultimi anni che i VNA hanno avuto la capacità di elaborazione sufficientemente avanzata, a costi realistici, richiesta per compiere i tipi più avanzati di calibrazione, comprese le correzioni per errori sistematici . ^[19] I tipi più basilari, spesso chiamati calibrazioni di "risposta", possono essere eseguiti più rapidamente, ma forniranno un risultato solo con moderata incertezza . Per ottenere un livello di incertezza e un intervallo dinamico migliori della misurazione è richiesta una calibrazione completa dei bipoli prima della misurazione del DUT. Questo eliminerà efficacemente tutte le sorgenti di errori sistematici intrinseci nel sistema di misurazione del VNA.

Minimizzazione degli errori sistematici

Gli errori sistematici sono quelli che non variano con il tempo durante una calibrazione. Per un insieme di misurazioni dei parametri S dei bipoli ci sono un totale di 12 tipi di errori sistematici che sono misurati e rimossi matematicamente come parte della procedura di calibrazione dei bipoli. Essi sono, per ciascuna porta:

1. direttività e diafonia
2. sorgente ed accoppiamenti errati del carico
3. errori della risposta in frequenza causati dal tracciamento della riflessione e della trasmissione all'interno dei ricevitori di collaudo.

La procedura di calibrazione richiede inizialmente di installare il VNA con tutti i cavi, gli adattatori ei connettori necessari a connettere al DUT, ma non di connetterlo a questo stadio. Si usa un kit di calibrazione secondo i tipi di connettori adattati al DUT. Questo comprenderà normalmente adattatori, cortocircuiti (CC) (SCs), circuiti aperti (CA) e standard delle terminazioni di carico (TERM) di connettori di entrambi i sessi appropriati ai connettori del VNA e del DUT. Perfino con standard di alta qualità, quando si eseguono collaudi alle frequanze superiori nell'intervallo delle microonde varie capacitanze e induttanze parassite diventeranno evidenti e causeranno incertezza durante la calibrazione. I dati relativi alle onde parassite del particolare kit di calibrazione utilizzato sono misurati in fabbrica conformemente a standard nazionali ei risultati sono programmati nella memoria del VNA anteriormente all'esecuzione della calibrazione.

La procedura di calibrazione normalmente è controllata da un software, ed istruisce l'operatore ad adattare i vari standard di calibrazione alle estremità dei cavi di connessione del DUT nonché a fare una connessione diretta. Ad ogni stadio il processore del VNA cattura i dati attraverso l'intervallo delle frequenze di collaudo e li memorizza. Alla fine della procedura di calibrazione, il processore usa i dati memorizzati così ottenuti per applicare le correzioni degli errori sistematici a tutte le successive misurazioni fatte, che sono conosciute come "misurazioni corrette". A questo punto il DUT è connesso e una misurazione corretta dei suoi parametri S è stata fatta.

Formato di uscita dei dati sui parametri S misurati e corretti

I dati di collaudo sui parametri S possono essere forniti in vari formati alternativi, per esempio: lista, grafico ( carta di Smith o diagramma polare ).

Formato lista

In formato lista i parametri S misurati e corretti sono tabulati rispetto alla frequenza. Il formato lista più comune è noto come Touchstone o SNP, dove N è il numero delle porte. Comunemente i file di testo contenenti questa informazione avrebbero l'estensione del file ".s2p". Un esempio di listato in un file Touchstone per i dati completi dei parametri S di un bipolo ottenuti per un dispositivo è mostrato sotto:

Creato Ven Lug 21 14:28:50 2005

 # MHZ S DB R 50
! SP1.SP
50 -15.4 100.2 10.2 173.5 -30.1 9.6 -13.4 57.2
51 -15.8 103.2 10.7 177.4 -33.1 9.6 -12.4 63.4
52 -15.9 105.5 11.2 179.1 -35.7 9.6 -14.4 66.9
53 -16.4 107.0 10.5 183.1 -36.6 9.6 -14.7 70.3
54 -16.6 109.3 10.6 187.8 -38.1 9.6 -15.3 71.4

Le righe che iniziano con un punto esclamativo contengono solo commenti. La riga che inizia con il simbolo del cancelletto indica che in questo caso le frequenze sono in megahertz (MHZ), che sono elencati parametri S (S), che le ampiezze sono nella scala logaritmica dei dB (DB) e che l'impedenza del sistema è di 50 Ohm (R 50). Ci sono 9 colonne di dati. La colonna 1 è la frequenza di collaudo, in questo casoin megahertz. Le colonne 2, 4, 6 e 8 sono le ampiezze rispettivamente di $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ , $S_{21}\,$ $S_{21}\,$ $S_{21}\,$ , $S_{12}\,$ $S_{12}\,$ $S_{12}\,$ e $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ in dB. Le colonne 3, 5, 7 e 9 sono gli angoli rispettivamente di $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ , $S_{21}\,$ $S_{21}\,$ $S_{21}\,$ , $S_{12}\,$ $S_{12}\,$ $S_{12}\,$ e $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ in gradi.

Grafico (carta di Smith)

Qualsiasi parametro S di un bipolo (ossia di un circuito a 2 porte) può essere mostrato su una carta di Smith usando coordinate polari, ma i parametri più significativi sarebbero $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ e $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ , dal momento che entrambi possono essere convertiti direttamente in un'impedenza (o ammettenza) normalizzata equivalente utilizzando il dimensionamento caratteristico dell'impedenza (o ammettenza) sulla carta di Smith appropriato all'impedenza del sistema.

Grafico (diagramma polare)

Qualsiasi parametro S di un bipolo può essere mostrato su un diagramma polare usando coordinate polari.

Nell'uno o nell'altro formato grafico ciascun parametro S per una particolare frequenza di collaudo è mostrato come un punto. Se la misurazione è una scansione attraverso varie frequenze apparirà un punto per ognuna. Molti VNA connettono punti successivi con linee rette per una più agevole visibilità.

Misurare i parametri S di una rete unipolare

La matrice dei parametri S di una rete unipolare (cioè con una sola porta) avrà soltanto un unico elemento rappresentato nella forma $S_{nn}\,$ $S_{nn}\,$ $S_{nn}\,$ , dove n è il hnumero allocato alla porta. La maggior parte dei VNA forniscono una semplice calibrazione unipolare per la misurazione di una porta per risparmiare tempo laddove quest'ultima sia il solo adempimento richiesto.

Misurare i parametri S di reti multipolari (con più di 2 porte)

Gli analizzatori di rete vettoriali (VNA) progettati per la misurazione simultanea dei parametri S di reti multipolari (con più di 2 porte) sono possibili, ma diventano rapidamente complessi e costosi in modo proibitivo. Di solito il loro acquisto non è giustificato poiché le misure richieste possono essere ottenute usando un VNA standard calibrato per 2 porte con le misurazioni supplementari seguite dalla corretta interpretazione dei risultati ottenuti. La matrice richiesta dei parametri S può essere assemblata da misurazioni successive di bipoli condotte in maniera graduale, due porte alla volta: in ogni occasione le porte inutilizzate vengono terminate con carichi di alta qualità uguali all'impedenza del sistema. Un rischio di questo approccio è che il return loss o VSWR dei carichi stessi debba essere adeguatamente specificato per essere il più possibile vicino a un perfetto 50 Ohm, o qualunque sia l'impedenza nominale del sistema. Per una rete con molte porte potrebbe esserci la tentazione, per motivi di costo, di specificare indadeguatamente il VSWR dei carichi. Sarà necessaria qualche analisi per determinare quale sia il VSWR dei carichi meno accettabile.

Assumendo che i carichi supplementari siano adeguatamente specificati, se necessario, due o più dei pedici dei parametri S si modificano da quelli relativi al VNA (1 e 2 nel caso considerato sopra) in quelli relativi alla rete sotto collaudo (da 1 a N , se N è il numero totale dell porte del DUT). Ad esempio, se il DUT ha 5 porte e un VNA a due porte è connesso con la sua porta 1 alla porta 3 del DUT e con la sua porta 2 alla porta 5 del DUT, i risultati misurati nel VNA ( $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ $S_{11}\,$ , $S_{12}\,$ $S_{12}\,$ $S_{12}\,$ , $S_{21}\,$ $S_{21}\,$ $S_{21}\,$ e $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ $S_{22}\,$ ) sarebbero equivalenti rispettivamente a $S_{33}\,$ $S_{33}\,$ $S_{33}\,$ , $S_{35}\,$ $S_{35}\,$ $S_{35}\,$ , $S_{53}\,$ $S_{53}\,$ $S_{53}\,$ e $S_{55}\,$ $S_{55}\,$ $S_{55}\,$ rispettivamente, assumendo che le porte 1, 2 e 4 del DUT fossero terminate con adeguati carichi da 50 Ohm. Questo fornirebbe 4 dei 25 parametri S necessari.

Note

^ Pozar, David M. (2005); Microwave Engineering, Third Edition (Intl. Ed.); John Wiley & Sons, Inc.; pp. 170-174. ISBN 0-471-44878-8 .
^ Pozar, David M. (2005) (op. cit.); pp. 170-174.
^ Pozar, David M. (2005) (op. cit.); pp. 183-186.
^ Morton, AH (1985); Advanced Electrical Engineering ; Pitman Publishing Ltd.; pp. 33-72. ISBN 0-273-40172-6 .
^ Pozar, David M. (2005) (op. cit.); p. 170.
^ Morton, AH (1985) (op. cit.); p. 33.
^ Kurokawa, K., "Power Waves and the Scattering Matrix", IEEE Trans. Micr. Theory & Tech., Mar. 1965, pp. 194-202.
^ Pozar, David M. (2005) (op. cit.); p. 173.
^ Choma J. & Chen WK, Feedback networks: theory and circuit applications , Singapore, World Scientific, 2007, capitolo 3, pp. 225 ss., ISBN 981-02-2770-1 .
^ Collin, Robert E.; Foundations For Microwave Engineering, Second Edition
^ Backplane Channels and Correlation Between Their Frequency and Time Domain Performance Archiviato il 17 luglio 2011 in Internet Archive ..
^ Bockelman, DE ed Eisenstadt, WR, "Combined differential and common-mode scattering parameteres: theory and simulation'", MTT, IEEE transactions, volume 43, numero 7, parte 1, 2 luglio 1995, pp. 1530-1539.
^ Gonzalez, Guillermo (1997); Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design, Second Edition ; Prentice Hall NJ; pp. 212-216. ISBN 0-13-254335-4 .
^ JM Rollett, "Stability and Power-Gain Invariants of Linear Two-Ports", IRE Trans. on Circuit Theory, volume. CT-9, marzo 1962, pp. 29-32.
^ Gonzalez, Guillermo (op. cit.); pp. 217-222.
^ RF Toolbox documentation , su mathworks.com .
^ Mavaddat R., Network scattering parameter , Singapore, World Scientific, 1996, ISBN 978-981-02-2305-2 .
^ S-Parameter Design ; Application Note AN 154; Agilent Technologies; p. 14 .
^ Applying Error Correction to Network Analyzer Measurements ; Agilent Application Note AN 1287-3, Agilent Technologies; p. 6

Voci correlate

[1] Pozar, David M. (2005); Microwave Engineering, Third Edition (Intl. Ed.); John Wiley & Sons, Inc.; pp. 170-174. ISBN 0-471-44878-8 .

[2] Pozar, David M. (2005) (op. cit.); pp. 170-174.

[3] Pozar, David M. (2005) (op. cit.); pp. 183-186.

[4] Morton, AH (1985); Advanced Electrical Engineering ; Pitman Publishing Ltd.; pp. 33-72. ISBN 0-273-40172-6 .

[5] Pozar, David M. (2005) (op. cit.); p. 170.

[6] Morton, AH (1985) (op. cit.); p. 33.

[7] Kurokawa, K., "Power Waves and the Scattering Matrix", IEEE Trans. Micr. Theory & Tech., Mar. 1965, pp. 194-202.

[8] Pozar, David M. (2005) (op. cit.); p. 173.

[Chen-9] Choma J. & Chen WK, Feedback networks: theory and circuit applications , Singapore, World Scientific, 2007, capitolo 3, pp. 225 ss., ISBN 981-02-2770-1 .

[10] Collin, Robert E.; Foundations For Microwave Engineering, Second Edition

[11] Backplane Channels and Correlation Between Their Frequency and Time Domain Performance Archiviato il 17 luglio 2011 in Internet Archive ..

[12] Bockelman, DE ed Eisenstadt, WR, "Combined differential and common-mode scattering parameteres: theory and simulation'", MTT, IEEE transactions, volume 43, numero 7, parte 1, 2 luglio 1995, pp. 1530-1539.

[13] Gonzalez, Guillermo (1997); Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design, Second Edition ; Prentice Hall NJ; pp. 212-216. ISBN 0-13-254335-4 .

[14] JM Rollett, "Stability and Power-Gain Invariants of Linear Two-Ports", IRE Trans. on Circuit Theory, volume. CT-9, marzo 1962, pp. 29-32.

[15] Gonzalez, Guillermo (op. cit.); pp. 217-222.

[16] RF Toolbox documentation , su mathworks.com .

[17] Mavaddat R., Network scattering parameter , Singapore, World Scientific, 1996, ISBN 978-981-02-2305-2 .

[18] S-Parameter Design ; Application Note AN 154; Agilent Technologies; p. 14 .

[19] Applying Error Correction to Network Analyzer Measurements ; Agilent Application Note AN 1287-3, Agilent Technologies; p. 6

[1]

[2]

[ 3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]