Întreaga parte

Funcția parte întreagă

În matematică , funcția parte întreagă , cunoscută și sub numele de funcție etaj (din cuvântul englez floor care înseamnă „etaj”), este funcția care asociază orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cel mai mare întreg mai mic sau egal cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Funcția de parte întreagă este de obicei indicată cu $\lfloor x\rfloor$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\ lfloor x \ rfloor$ sau $[x]$ ${\ displaystyle [x]}$ $[X]$ .

Funcția mantissa , definită ca $x-\lfloor x\rfloor$ ${\ displaystyle x- \ lfloor x \ rfloor}$ $x- \ lfloor x \ rfloor$ , scris și ca $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ mod 1 sau $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ , se numește partea fracționată a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Fiecare fracțiune $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ poate fi scris ca un număr mixt, adică suma unui număr întreg și a unei fracții proprii . Funcția etaj și funcția fracțională extind această descompunere la toate numerele reale.

Proprietate

Unele proprietăți ale funcției părții întregi

Da, da

\lfloor x\rfloor =\max \,\{k\in \mathbb {Z} :k\leq x\}

{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = \ max \, \ {k \ in \ mathbb {Z}: k \ leq x \}}

\ lfloor x \ rfloor = \ max \, \ {k \ in {\ mathbb {Z}}: k \ leq x \}

\lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1

{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leq x <\ lfloor x \ rfloor +1}

\ lfloor x \ rfloor \ leq x <\ lfloor x \ rfloor +1

cu egalitate pe partea stângă care ține dacă și numai dacă

X

{\ displaystyle x}

X

este un întreg.

Funcția de parte întreagă este idempotentă :

\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor

{\ displaystyle \ lfloor \ lfloor x \ rfloor \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor}

\ lfloor \ lfloor x \ rfloor \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor

.

Pentru fiecare întreg $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ și orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ,

\lfloor k+x\rfloor =k+\lfloor x\rfloor .

{\ displaystyle \ lfloor k + x \ rfloor = k + \ lfloor x \ rfloor.}

\ lfloor k + x \ rfloor = k + \ lfloor x \ rfloor.

Pentru orice număr real care nu este întreg $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem:

\lfloor -x\rfloor =-\lfloor x\rfloor -1,

{\ displaystyle \ lfloor -x \ rfloor = - \ lfloor x \ rfloor -1,}

\ lfloor -x \ rfloor = - \ lfloor x \ rfloor -1,

Rotunjirea obișnuită a unui număr $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ până la cel mai apropiat număr întreg poate fi exprimat ca $\lfloor x+0,5\rfloor$ ${\ displaystyle \ lfloor x + 0,5 \ rfloor}$ ${\ displaystyle \ lfloor x + 0,5 \ rfloor}$ .
Funcția de parte întreagă nu este continuă , dar este semi-continuă . Fiind o funcție constantă în bucăți , derivata sa este zero atunci când există, adică pentru toate valorile care nu sunt întregi.
De sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un număr real și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ un întreg, unul are $n\leq x$ ${\ displaystyle n \ leq x}$ ${\ displaystyle n \ leq x}$ dacă și numai dacă $n\leq \lfloor x\rfloor .$ ${\ displaystyle n \ leq \ lfloor x \ rfloor.}$ ${\ displaystyle n \ leq \ lfloor x \ rfloor.}$ În limbaj sofisticat, întreaga funcție parte face parte dintr-o conexiune Galois ; este adăugarea superioară a funcției care scufundă numerele întregi în reali.
Folosind funcția etaj, puteți produce mai multe formule pentru calcularea numerelor prime care sunt explicite, dar care nu pot fi utilizate în practică.
Teorema lui Beatty afirmă că fiecare număr irațional împarte numerele naturale în două secvențe folosind funcția etaj.

Întreaga parte superioară

Funcția de tavan

O funcție strâns legată este numărul întreg superior , cunoscut și sub numele de funcție plafon (din cuvântul englez plafon care înseamnă „plafon”, spre deosebire de etaj , „etaj”), definit astfel: pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , tavan ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) este cel mai mic întreg nu mai puțin de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . De exemplu, plafonul (2,3) = 3, plafonul (2) = 2 și plafonul (−2,3) = −2. Funcția de tavan este, de asemenea, indicată cu $\lceil x\rceil$ ${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$ $\ lceil x \ rceil$ . Este ușor să demonstrezi asta

\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor

{\ displaystyle \ lceil x \ rceil = - \ lfloor -x \ rfloor}

\ lceil x \ rceil = - \ lfloor -x \ rfloor

este asta

x\leq \lceil x\rceil <x+1

{\ displaystyle x \ leq \ lceil x \ rceil <x + 1}

x \ leq \ lceil x \ rceil <x + 1

Dacă x nu este un număr întreg, atunci avem

\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =1

{\ displaystyle \ lceil x \ rceil - \ lfloor x \ rfloor = 1}

\ lceil x \ rceil - \ lfloor x \ rfloor = 1

Pentru orice număr întreg k , avem, de asemenea, că:

\lfloor k/2\rfloor +\lceil k/2\rceil =k

{\ displaystyle \ lfloor k / 2 \ rfloor + \ lceil k / 2 \ rceil = k}

\ lfloor k / 2 \ rfloor + \ lceil k / 2 \ rceil = k

.

Dacă m și n sunt numere întregi prime pozitive, atunci

\sum _{i=1}^{n-1}\lfloor im/n\rfloor =(m-1)(n-1)/2

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ lfloor im / n \ rfloor = (m-1) (n-1) / 2}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {{n-1}} \ lfloor im / n \ rfloor = (m-1) (n-1) / 2

În programare

Operatorul (int)

În C

Practic toate limbajele de programare oferă programatorului posibilitatea de a converti o valoare a unui anumit tip de date într-o valoare de alt tip. În mod specific, acest lucru face posibilă conversia valorilor zecimale (care sunt de obicei reprezentate în virgulă mobilă ) la numere întregi (de obicei reprezentate ca complement al celor doi ).

În limbajul de programare C , acest lucru este posibil de către operatorul de turnare (int) . Această operație este un amestec de funcții de podea și tavan: pentru x pozitiv sau nul, returnează etaj ( x ), iar pentru negativ x returnează plafon ( x ).

Aceeași sintaxă funcționează cu numeroase alte limbaje, în special cu cele derivate din C, cum ar fi Java și Perl , precum și cu funcția POSIX floor ().

Probleme de rotunjire

Același subiect în detaliu: Rotunjire .

Utilizarea rotunjirii poate genera efecte neașteptate, care vin împotriva a ceea ce ar sugera intuiția. De exemplu, (int)(0,6/0,2) returnează valoarea 2 în majoritatea implementărilor lui C, chiar dacă matematic este 0,6 / 0,2 = 3.

Această problemă se datorează faptului că computerele funcționează intern cu sistemul de numere binare și nu este posibil să se reprezinte numerele 0,6 și 0,2 cu șiruri binare de lungime finită. Mai general: computerele nu funcționează niciodată direct cu un anumit număr zecimal, ci doar cu o aproximare a acestuia. În exemplu, rezultatul este calculat ca 2.999999999999999555910790149937, pe care operatorul (int) convertește ușor la valoarea 2.

Din cauza acestor probleme, majoritatea calculatoarelor moderne folosesc sistemul de numere zecimale codate binar intern.

Modul de distribuție uniformă 1

De sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un număr irațional, apoi părțile fracționare $nx{\bmod {1}}$ ${\ displaystyle nx {\ bmod {1}}}$ ${\ displaystyle nx {\ bmod {1}}}$ , unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variază între numerele întregi pozitive, acestea sunt distribuite uniform în intervalul deschis $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ . Această afirmație poate fi redată mai precis în multe moduri, dintre care una afirmă:

\int _{0}^{1}f(t)\;dt=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(nx{\bmod {1}}),

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (t) \; dt = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f (nx {\ bmod {1}}),}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (t) \; dt = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f (nx {\ bmod {1}}),}

pentru fiecare funcție continuă la valori reale $f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [0,1] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [0,1] \ to \ mathbb {R}}$ (vezi teorema limită , integrală și echidistribuție ).

Urmând principiul general al aproximării diofantine descoperit de Hermann Weyl , această proprietate este echivalentă cu ceva mult mai ușor de controlat și anume că sumele

\sum \limits _{n=0}^{N}e^{2\pi iknx},

{\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {N} e ^ {2 \ pi iknx},}

{\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {N} e ^ {2 \ pi iknx},}

pentru $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in {\ mathbb {N}}$ sunt O (N) . Deoarece sunt progresii geometrice , acest lucru poate fi dovedit destul de direct. Condiția care $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este irațional implică faptul că

\sin \pi kx\neq 0.

{\ displaystyle \ sin \ pi kx \ neq 0.}

\ sin \ pi kx \ neq 0.

Trunchierea

Același subiect în detaliu: Trunchiere (matematică) .

În timp ce funcția de parte întreagă generează numai numere întregi, trunchierea , adică „tăierea cifrelor”, se poate face în orice poziție specificată, nu doar după cifra unităților.

Notaţie

Funcțiile întregi superioare și inferioare sunt în mod normal indicate cu paranteze pătrate, închise și deschise, unde lipsesc liniile orizontale superioare (pentru întregul inferior, funcția etaj) sau inferioare (pentru întregul superior, funcția tavan). De exemplu, în sistemul de compoziție editorial LaTeX aceste simboluri pot fi create cu comenzile \ lfloor, \ rfloor, \ lceil și \ rceil.

Alte proiecte

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică