Partiția unui număr întreg

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o partiție a unui întreg pozitiv este un mod de a scrie ca suma numerelor întregi pozitive, indiferent de ordinea adunărilor . În mod formal, o partiție a este o succesiune de numere întregi pozitive astfel încât

De multe ori se cere asta este un număr întreg pozitiv; uneori, totuși, este de asemenea recomandabil să considerați secvența goală ca singura partiție a secvenței.

Exemple

Partițiile din Acestea sunt următoarele:

Partițiile din în schimb sunt următoarele:

Funcția de partiție

Funcția de partiție indică, pentru orice număr întreg pozitiv , numărul de partiții existente pentru . De exemplu, așa cum se arată în exemple,

in timp ce

Funcția de partiție nu este nici multiplicativă, nici aditivă și crește mai repede decât orice polinom din dupa cum (vezi formulele asimptotice de mai jos). De obicei este indicat cu . Primele valori ale , începând de la , Sunt:

[1]

Congruențe

Ramanujan a găsit următoarele congruențe:

Rețineți că 4, 5, 6 sunt numere consecutive și 5, 7 și 11 sunt numere prime consecutive. Atunci s-ar putea să te gândești la asta

Acest lucru este fals. Într-adevăr, se poate arăta că nu există alte congruențe de acest tip .

În anii 1960, AOL Atkin de la Universitatea Illinois din Chicago a descoperit alte congruențe, de exemplu:

Istorie

Până la începutul secolului XX se credea că nu era posibil să se găsească o formulă pentru funcția de partiție, dar în 1918 Ramanujan și Hardy au publicat o formulă asimptotică pentru funcția de partiție:

JV Uspensky a găsit aceeași formulă independent în 1920 .

Hardy și Ramanujan au găsit o expansiune asimptotică cu această aproximare ca primul termen:

În 1937 , Hans Rademacher s-a îmbunătățit pe formula lui Hardy și Ramanujan, elaborând o serie convergentă care tinde să :

unde, în ambele cazuri

cu suma efectuată asupra numerelor naturale dintre și care sunt relativ prime cu si cu indicând suma Dedekind .

În ianuarie 2011 , matematicianul american Ken Ono , de la Universitatea Emory din Atlanta , Georgia , și colaboratorii săi au făcut mari progrese în înțelegerea comportamentului funcției de partiție. Prin extinderea unor formule ale lui Ramanujan, el a reușit să arate că numerele partițiilor au un comportament asemănător fractalului : aparent sunt dezordonate, fără nicio legătură logică sau congruență, dar dacă sunt analizate amănunțit, acestea sunt descoperite prin modele ordonate cu o ordine de repetare precisă. . Mai mult, Ken Ono, împreună cu colaboratorii săi, au reușit să obțină o formulă explicită care să permită calcularea partițiilor a oricărui număr întreg printr-o sumă a unui număr finit de termeni. [2] [3]

Notă

Bibliografie

  • George E. Andrews, Teoria partițiilor (1976), Cambridge University Press. ISBN 052163766X .
  • Tom M. Apostol , Funcții modulare și seria Dirichlet în teoria numerelor (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0387971270 ( vezi capitolul 5 pentru o introducere pedagogică modernă la formula lui Rademacher )
  • Sautoy, Marcus Du. Muzica primelor . New York: Perennial-HarperCollins, 2003.
  • DH Lehmer, În restul și convergența seriei pentru funcția de partiție Trans. Amer. Matematica. Soc. 46 (1939) pp 362-373.
  • Gupta, Gwyther, Miller, Roy. Soc. Math. Mese, vol. 4, Mese de partiții, (1962)
  • Ian G. Macdonald, Funcții simetrice și polinoame Hall , Oxford University Press , 1979, ISBN 0198535309 ( vezi secțiunea l.1 )
  • Ken Ono , Distribuirea funcției de partiție modulo m , Annals of Mathematics 151 (2000) pp 293-307.
  • Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volumele 1 și 2 . Cambridge University Press, 1999 ISBN 0521560691 .
  • AL Whiteman, O sumă legată de seria pentru funcția de partiție , Pacific Journal of Math. 6: 1 (1956) 159–176. (Conține formula lui Selberg. La forme Oferă formula Selberg)
  • Hans Rademacher, Collected Papers of Hans Rademacher , (1974) MIT Press; v II, p 100–107, 108–122, 460–475.
  • Miklós Bóna (2002). O plimbare prin combinatorie: o introducere în enumerare și teoria graficelor . Editura Științifică Mondială. ISBN 981-02-4900-4 .
  • George E. Andrews, Kimmo Eriksson (2004). Partiții întregi . Cambridge University Press. ISBN 0-521-60090-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică