Pendul

Pendulul simplu (sau pendulul matematic ) este un sistem fizic format dintr-un fir inextensibil și o masă punctuală ( m) fixată la capătul său și supusă atracției gravitaționale (pe care o presupunem uniformă în spațiu și constantă în timp ). Acest sistem aparent banal a fost renumit prin angajamentul experimental și teoretic al cărturarului Galileo Galilei , care a descris corect principala sa proprietate, și anume izocronismul . ^[1]

Definiția ecuațiilor de mișcare și soluția lor

Pendulul simplu

Dacă accelerația gravitațională $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , viteza inițială și direcția inițială a firului sunt coplanare pendulul se leagănă într-un plan vertical, descriind în special o traiectorie circulară , datorită inextensibilității firului. Dacă alegeți coordonatele polare (așa cum se arată în desen), puteți scrie ecuațiile mișcării, care iau următoarea formă:

m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=mg\cos \theta -T_{f}

{\ displaystyle m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) = mg \ cos \ theta -T_ {f}}

m ({\ ddot r} -r {\ dot \ theta} ^ {2}) = mg \ cos \ theta -T_ {f}

m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }})=-mg\sin \theta

{\ displaystyle m (r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}}) = - mg \ sin \ theta}

m (r {\ ddot \ theta} +2 {\ dot r} {\ dot \ theta}) = - mg \ sin \ theta

Prima ecuație corespunde componentei radiale a $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ${\ mathbf {F}} = m {\ mathbf {a}}$ iar al doilea la componenta tangențială. $T_{f}$ ${\ displaystyle T_ {f}}$ $T_f$ este tensiunea firului. Acum fiind lungimea firului $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ constantă în timp prin ipoteză, trebuie să avem:

{\ddot {r}}={\dot {r}}=0

{\ displaystyle {\ ddot {r}} = {\ dot {r}} = 0}

{\ ddot r} = {\ dot r} = 0

și, în plus, masele, care apar ambilor membri, sunt simplificate. Se obțin apoi cele mai simple ecuații:

T_{f}=m\left(g\cos \theta +l{\dot {\theta }}^{2}\right)

{\ displaystyle T_ {f} = m \ left (g \ cos \ theta + l {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ right)}

T_ {f} = m \ left (g \ cos \ theta + l {\ dot \ theta} ^ {2} \ right)

l{\ddot {\theta }}=-g\sin \theta

{\ displaystyle l {\ ddot {\ theta}} = - g \ sin \ theta}

l {\ ddot \ theta} = - g \ sin \ theta

unde lungimea constantă a firului a fost indicată, după cum se obișnuiește, cu litera $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ în loc de, ca înainte, cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Acum observăm că ecuația care ne interesează, deoarece determină mișcarea unghiulară a pendulului (singura non-trivială, deoarece mișcarea radială este zero), este doar a doua, în timp ce prima ar fi utilă doar pentru a determina, mai târziu, tensiunea firului. Alegem să aproximăm a doua ecuație pentru unghiuri mici, adică luând în considerare numai termenul liniar în expansiunea sinusului din seria Taylor:

l{\ddot {\theta }}=-g\theta

{\ displaystyle l {\ ddot {\ theta}} = - g \ theta}

l {\ ddot \ theta} = - g \ theta

care este ecuația diferențială a oscilatorului armonic al pulsației ${\sqrt {g/l}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {g / l}}}$ ${\ sqrt {g / l}}$ . Devine astfel posibilă determinarea perioadei unei oscilații complete, adică timpul necesar pendulului pentru a merge de la o extremă la alta și a reveni la extrema inițială. Este situat

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}

T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {l} {g}}}}

Prin urmare, legea oscilației este independentă de masă și, în ipoteza unghiurilor mici, este redusă la un oscilator armonic, deci independent și de amplitudinea oscilației.

Cu toate acestea, dacă amplitudinea oscilației $\theta _{\mathrm {max} }$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {max}}}$ $\ theta _ {{\ mathrm {max}}}$ nu este mic, se poate arăta că perioada pendulului depinde de ea conform formulei

T=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}K\left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right)

{\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} K \ left (\ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {\ mathrm {max}}} {2}} \ dreapta)}

{\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} K \ left (\ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {\ mathrm {max}}} {2}} \ dreapta)}

unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este integralul eliptic complet de primul fel, evaluat în $\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {\ mathrm {max}}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta _ {\ mathrm {max}}} {2}}}$ . Primii doi termeni ai expansiunii integralei din seria de putere oferă expresia

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\frac {{\theta _{\mathrm {max} }}^{2}}{16}}\right)

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} \ left (1 + {\ frac {{\ theta _ {\ mathrm {max}}} ^ {2}} {16 }} \ dreapta)}

T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {l} {g}}}} \ left (1 + {\ frac {{\ theta _ {{\ mathrm {max}}}} ^ {{2}} } {16}} \ dreapta)

aproximativ la mai puțin de un infinitesimal de ordinul lui ${\theta _{\mathrm {max} }}^{4}$ ${\ displaystyle {\ theta _ {\ mathrm {max}}} ^ {4}}$ ${\ theta _ {{\ mathrm {max}}}} ^ {{4}}$ .

Aproximarea unghiului mic este bună pentru a obține o formulare simplă a integrării ecuației diferențiale.

Chiar și pentru unghiuri foarte mici, corecția de mai sus ar trebui făcută pentru calcularea perioadei exacte, doar că diferența ar putea fi imperceptibilă.

Această diferență nu este imperceptibilă dacă pendulul este utilizat pentru ceasuri care trebuie să numere ori foarte lungi (a se vedea mai jos „Pendul cicloid”).

Bilanțul energetic

Înmulțind una lângă alta a doua ecuație a mișcării cu ${\dot {\theta }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}$ ${\ dot \ theta}$ primesti:

l{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}=-g{\dot {\theta }}\sin \theta

{\ displaystyle l {\ dot {\ theta}} {\ ddot {\ theta}} = - g {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta}

l {\ dot \ theta} {\ ddot \ theta} = - g {\ dot \ theta} \ sin \ theta

că, recunoașterea unui derivat în ceea ce privește timpul și înmulțirea membru cu membru cu $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , duce înapoi la:

{\frac {d}{dt}}\left(l^{2}{\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-gl\cos \theta \right)=0

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (l ^ {2} {\ frac {{\ dot {\ theta}} ^ {2}} {2}} - gl \ cos \ theta \ right ) = 0}

{\ frac {d} {dt}} \ left (l ^ {2} {\ frac {{\ dot \ theta} ^ {2}} {2}} - gl \ cos \ theta \ right) = 0

adică cantitatea dintre paranteze se păstrează în timp. Această sumă, mai puțin de un factor $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și a unei posibile constante aditive este energia pendulului: primul aditiv constituie energia cinetică și al doilea energia potențială gravitațională .

Prin urmare, se poate verifica că, la extremele oscilației, în care ${\dot {\theta }}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 0}$ ${\ dot \ theta} = 0$ prin definiție, există doar energie potențială, adică particula are doar energie de poziție și nu de mișcare; în timp ce, alegând egal cu $+mgl$ ${\ displaystyle + mgl}$ $+ mgl$ constanta aditivă de energie menționată mai sus, se poate spune că în punctul minim există doar energie cinetică , adică numai energie de mișcare și nu de poziție.

Pendul fizic

Același subiect în detaliu: Pendul fizic .

Pendulul simplu este doar un caz particular: orice obiect fixat într-un punct de suspensie și supus gravitației constituie un pendul, uneori numit pendul fizic . În acest caz, forța de greutate acționează asupra centrului de masă al obiectului și componenta acestei forțe perpendiculare pe joncțiunea cu punctul de suspensie este:

F=-mg\sin \vartheta

{\ displaystyle F = -mg \ sin \ vartheta}

F = -mg \ sin \ vartheta

Momentul mecanic rezultat pe pendul, luat în considerare în raport cu punctul de suspensie este, prin urmare:

M=-mgd\sin \vartheta

{\ displaystyle M = -mgd \ sin \ vartheta}

M = -mgd \ sin \ vartheta

unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ reprezintă distanța dintre punctul de suspensie și centrul de masă. Aplicând a doua ecuație cardinală constatăm că

I{\ddot {\theta }}=-mgd\sin \vartheta

{\ displaystyle I {\ ddot {\ theta}} = - mgd \ sin \ vartheta}

I {\ ddot \ theta} = - mgd \ sin \ vartheta

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ reprezintă momentul de inerție al pendulului față de centrul de rotație , care în acest caz este punctul de suspendare. Ecuația este redusă la o formă similară cu cea a oscilatorului armonic și în acest caz, atâta timp cât sunt luate în considerare mici oscilații. Prin urmare, găsim:

T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {I} {mgd}}}}

T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {I} {mgd}}}}

Comparând această formulă cu cea corespunzătoare a pendulului simplu, se poate concluziona că pendulul fizic se leagănă cu aceeași perioadă ca un pendul simplu de lungime

l={\frac {I}{md}}

{\ displaystyle l = {\ frac {I} {md}}}

l = {\ frac {I} {md}}

Această lungime se numește lungime redusă sau lungime echivalentă a pendulului fizic.

Pendul de torsiune

Un pendul de torsiune constă dintr-un fir inextensibil de masă neglijabilă la capătul căruia este atașat un corp rigid. Dacă corpul este rotit în jurul axei care trece prin fir, acesta din urmă se răsucește producând un cuplu dat de ${\vec {\tau }}=-\chi \vartheta {\hat {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ tau}} = - \ who \ vartheta {\ hat {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ tau}} = - \ who \ vartheta {\ hat {k}}}$ , unde este $\chi ={\frac {\pi }{2}}G{\frac {R^{4}}{l}}$ ${\ displaystyle \ chi = {\ frac {\ pi} {2}} G {\ frac {R ^ {4}} {l}}}$ ${\ displaystyle \ chi = {\ frac {\ pi} {2}} G {\ frac {R ^ {4}} {l}}}$ (în cazul în care corpul rigid este un disc) se numește constantă de torsiune . Are un semn minus, deoarece tinde să facă corpul să se rotească în direcția opusă mișcării. Luând centrul de rotație ca pol și aplicând a doua ecuație cardinală a dinamicii ${\vec {M}}^{(e)}\!\!=-\chi \vartheta {\hat {k}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d(I{\dot {\vartheta }}{\hat {k}})}{dt}}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(e)} \! \! = - \ chi \ vartheta {\ hat {k}} = {\ frac {d {\ vec {L}}} {dt} } = {\ frac {d (I {\ dot {\ vartheta}} {\ hat {k}})} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(e)} \! \! = - \ chi \ vartheta {\ hat {k}} = {\ frac {d {\ vec {L}}} {dt} } = {\ frac {d (I {\ dot {\ vartheta}} {\ hat {k}})} {dt}}}$ , obținem următoarea ecuație diferențială:

{\ddot {\vartheta }}+{\frac {\chi }{I}}\vartheta =0

{\ displaystyle {\ ddot {\ vartheta}} + {\ frac {\ chi} {I}} \ vartheta = 0}

{\ displaystyle {\ ddot {\ vartheta}} + {\ frac {\ chi} {I}} \ vartheta = 0}

,

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este momentul de inerție al corpului rigid față de axa de rotație, având soluție

\vartheta =\vartheta _{max}\cos {(\omega t+\varphi )}

{\ displaystyle \ vartheta = \ vartheta _ {max} \ cos {(\ omega t + \ varphi)}}

{\ displaystyle \ vartheta = \ vartheta _ {max} \ cos {(\ omega t + \ varphi)}}

.

Reprezintă ecuația unei mișcări armonice simple a pulsației

\omega ={\sqrt {\frac {\chi }{I}}}

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {\ chi} {I}}}}

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {\ chi} {I}}}}

.

Aplicând teorema conservării energiei mecanice (deoarece nu există forțe disipative), obținem că energia potențială de torsiune datorată momentului firului este:

U(\vartheta )={\frac {1}{2}}\chi \vartheta ^{2}

{\ displaystyle U (\ vartheta) = {\ frac {1} {2}} \ chi \ vartheta ^ {2}}

{\ displaystyle U (\ vartheta) = {\ frac {1} {2}} \ chi \ vartheta ^ {2}}

.

Pendul ciclic

Pendulul cicloidal este un tip de mișcare periodică inventat de Christiaan Huygens în jurul anului 1659 cu o proprietate particulară: oscilațiile sale sunt izocrone indiferent de amplitudinea lor. De fapt, s-a văzut că acest lucru este adevărat în cazul pendulului simplu doar pentru amplitudini destul de mici. Huygens a arătat în schimb că un punct material care oscilează după o traiectorie cicloidală sub acțiunea gravitației are o perioadă constantă care depinde numai de mărimea cicloidei.

Ecuația cicloidă în formă parametrică este

x=a(\theta -\sin {\theta })\;;\;y=a(1+\cos {\theta })

{\ displaystyle x = a (\ theta - \ sin {\ theta}) \ ;; \; y = a (1+ \ cos {\ theta})}

x = a (\ theta - \ sin {\ theta}) \ ;; \; y = a (1+ \ cos {\ theta})

unde a este lungimea razei circumferinței care generează cicloida. Fie deci x și y coordonatele punctului de masă m care oscilează sub acțiunea gravitației. Energia potențială a punctului este

U=mgy

{\ displaystyle U = mgy}

U = mgy

în timp ce energia cinetică este

K={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2})}

K = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ {{2}} + {\ dot {y}} ^ {{2}})

.

Atâta timp cât

{\dot {x}}=a{\dot {\theta }}(1-\cos {\theta })\;;\;{\dot {y}}=-a{\dot {\theta }}\sin {\theta }

{\ displaystyle {\ dot {x}} = a {\ dot {\ theta}} (1- \ cos {\ theta}) \ ;; \; {\ dot {y}} = - a {\ dot {\ theta}} \ sin {\ theta}}

{\ dot {x}} = a {\ dot {\ theta}} (1- \ cos {\ theta}) \ ;; \; {\ dot {y}} = - a {\ dot {\ theta}} \ sin {\ theta}

da ai

{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}=2a^{2}{\dot {\theta }}^{2}(1-\cos {\theta })

{\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} = 2a ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} (1- \ cos { \ theta})}

{\ dot {x}} ^ {{2}} + {\ dot {y}} ^ {{2}} = 2nd ^ {{2}} {\ dot {\ theta}} ^ {{2}} ( 1- \ cos {\ theta})

și amintirea transformărilor

\cos {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {\theta }}{2}}}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos {\ theta}} {2}}}}

\ cos {{\ frac {\ theta} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {1+ \ cos {\ theta}} {2}}}}

\sin {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {\theta }}{2}}}

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {1- \ cos {\ theta}} {2}}}}

\ sin {{\ frac {\ theta} {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {1- \ cos {\ theta}} {2}}}}

primesti

U=2mga\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right)^{2}\;;\;K=2ma^{2}{\dot {\theta }}^{2}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right)^{2}

{\ displaystyle U = 2mga \ left (\ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ right) ^ {2} \ ;; \; K = 2ma ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} \ left (\ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ right) ^ {2}}

U = 2mga \ left (\ cos {{\ frac {\ theta} {2}}} \ right) ^ {{2}} \ ;; \; K = 2ma ^ {{2}} {\ dot {\ theta }} ^ {{2}} \ left (\ sin {{\ frac {\ theta} {2}}} \ right) ^ {{2}}

.

Introducand

q=\cos {\frac {\theta }{2}}

{\ displaystyle q = \ cos {\ frac {\ theta} {2}}}

q = \ cos {{\ frac {\ theta} {2}}}

,

primesti

{\dot {q}}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\theta }}\sin {\frac {\theta }{2}}

{\ displaystyle {\ dot {q}} = - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ theta}} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}

{\ dot {q}} = - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ theta}} \ sin {{\ frac {\ theta} {2}}}

.

Cantitatea q poate fi considerată coordonata generalizată a punctului oscilant și derivata sa ${\dot {q}}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}}}$ ${\ dot {q}}$ ca viteză generalizată. Atunci

$U=2mgaq^{2}\;;\;K=8ma^{2}{\dot {q}}^{2}$ ${\ displaystyle U = 2mgaq ^ {2} \ ;; \; K = 8ma ^ {2} {\ dot {q}} ^ {2}}$ $U = 2mgaq ^ {{2}} \ ;; \; K = 8ma ^ {{2}} {\ dot {q}} ^ {{2}}$ .

Energia potențială este o funcție pătratică a coordonatei q , iar energia cinetică este o funcție pătratică a derivatei sale (iar coeficienții sunt constanți). Din aceasta rezultă că oscilațiile pendulului sunt armonice izocrone și de perioadă

$T=2\pi {\sqrt {\frac {4a}{g}}}$ ${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {4a} {g}}}}$ $T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {4a} {g}}}}$ .

Huygens și-a folosit descoperirea pentru a realiza ceasuri cu pendul foarte precise. Pentru a construi pendulul cicloidal, este necesar să suspendați pendulul de la o sârmă plasată între două arcuri cicloide, în așa fel încât să urmeze profilul lor făcând greutatea atașată să parcurgă o traiectorie cicloidală.

Notă

^ În urma unei interpretări eronate a descrierii în tratatele arabe medievale a unor sisteme cu linie plumbă pentru determinarea planului orizontal în instrumentele astronomice, în unele texte moderne descoperirea pendulului ca sistem de măsurare a timpului este atribuită marelui astronom egiptean Ibn Yunus ( 950 - 1009 ) (cf. Adolf Müller, Elemente de astronomie pentru utilizare în școli și pentru învățământ privat , volumul 1, ed. Desclée Lefebure și c., P. 106). Această atribuire a fost infirmată în King, DA (1979). „Ibn Yunus și pendulul: o istorie a erorilor”. Archives Internationales d'Histoire des Sciences 29 (104): 35–52.