Pendulul lui Foucault

Animația pendulului Foucault, situat în acest caz în emisfera sudică, evidențiază direcția de rotație în sens invers acelor de ceasornic. Viteza de rotație este mult exagerată în comparație cu realitatea. Mai mult, un adevărat pendul Foucault, eliberat din punctul de repaus, nu trece direct prin poziția sa de echilibru (adică centrul trandafirului vântului, diagrama prezentată în figură) spre deosebire de ceea ce se întâmplă în animație.

Pendulul lui Foucault ( IPA : [fuˈko] ), numit în onoarea fizicianului francez Jean Bernard Léon Foucault , a fost conceput ca un experiment pentru a demonstra rotația Pământului datorită efectului forței Coriolis .

Descriere

Pendulul din Pantheonul din Paris.

Este un pendul liber să se balanseze în orice direcție timp de aproximativ 24 de ore. Primul pendul al lui Foucault a fost prezentat publicului în 1851 și consta dintr-o sferă de 28 kg suspendată de cupola Panteonului din Paris cu un fir lung de 67 m. Într-un sistem inerțial, ar fi întotdeauna trasat linii în aceeași direcție, dar nu a făcut-o.

La orice latitudine a Pământului, cu excepția liniei ecuatorului , se observă că planul de oscilație al pendulului se rotește încet. La Polul Nord și Polul Sud , rotația are loc într-o zi siderală : planul oscilației rămâne staționar în timp ce Pământul se rotește, în conformitate cu legea mișcării lui Newton .

La alte latitudini planul de oscilație se rotește cu o perioadă R invers proporțională cu sinusul aceleiași latitudini ( α ); la 45 ° rotația are loc la fiecare 1,4 zile, la 30 ° la fiecare 2 zile și așa mai departe:

R={\frac {24\ \mathrm {h} }{\sin \alpha }}

{\ displaystyle R = {\ frac {24 \ \ mathrm {h}} {\ sin \ alpha}}}

{\ displaystyle R = {\ frac {24 \ \ mathrm {h}} {\ sin \ alpha}}}

Rotația are loc în sensul acelor de ceasornic în emisfera nordică și în sens invers acelor de ceasornic în emisfera sudică . Ideea poate fi dificil de înțeles, dar l-a determinat pe Foucault să concepă giroscopul în 1852 . Axa rotorului giroscopului urmează întotdeauna stelele fixe; axa sa de rotație pare întotdeauna să se rotească o dată pe zi la orice latitudine.

Pendulul lui Foucault este dificil de construit deoarece mici inexactități pot provoca erori de oscilație care maschează efectul rotației pământului. Rezistența la aer încetinește și oscilația; din acest motiv, în muzee , pendulele încorporează un electromagnet sau alt dispozitiv pentru a menține sistemul în mișcare.

Pendula lui Foucault instalată în Panteonul din Paris
Pendul instalat la Conservatorul Național de Arte și Meserii din Paris
Pendul la Institutul Franklin din Philadelphia (Pennsylvania)
Pendulul lui Foucault la Muzeul de Științe din Ciudad de las Artes y las Ciencias din Valencia
Pendula lui Foucault în Palazzo della Ragione din Padova
Pendulul lui Foucault construit în interiorul Liceo Scientifico Galileo Galilei din Siena

Legea orară

Luați în considerare un sistem rotativ în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ . Energia cinetică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a sistemului este dat de formular

$T={\frac {m}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )^{2}={\frac {m}{2}}\mathbf {v} ^{2}+m\mathbf {v} \cdot (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {m}{2}}(\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )^{2}$ ${\ displaystyle T = {\ frac {m} {2}} (\ mathbf {v} + \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x}) ^ {2} = {\ frac {m} {2} } \ mathbf {v} ^ {2} + m \ mathbf {v} \ cdot (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x}) + {\ frac {m} {2}} (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle T = {\ frac {m} {2}} (\ mathbf {v} + \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x}) ^ {2} = {\ frac {m} {2} } \ mathbf {v} ^ {2} + m \ mathbf {v} \ cdot (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x}) + {\ frac {m} {2}} (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x}) ^ {2}}$

unde este $\mathbf {\Omega }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$ ${\ mathbf {\ Omega}}$ este viteza unghiulară a întregului sistem direcționată de-a lungul axei instantanee de rotație. Reprezintă suma unui termen cinetic real, unul care provine din forța Coriolis și unul centrifugal. Având în vedere acum o viteză unghiulară mică, ultimul termen al ecuației anterioare poate fi ușor trecut cu vederea. Mai mult, pentru comoditate, masa sistemului va fi setată egală cu una.

Deoarece mișcarea pendulului are loc pe un plan perpendicular pe suprafața pământului la un punct de latitudine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , viteza unghiulară a Pământului ( $\mathbf {\Omega }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$ ${\ mathbf {\ Omega}}$ ) poate fi scris pur și simplu în componente (luând axele carteziene integrale planului în care are loc mișcarea) în acest fel:

$\mathbf {\Omega } =(\Omega \cos \alpha ,0,\Omega \sin \alpha )$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = (\ Omega \ cos \ alpha, 0, \ Omega \ sin \ alpha)}$ ${\ mathbf {\ Omega}} = (\ Omega \ cos \ alpha, 0, \ Omega \ sin \ alpha)$

În aproximarea micilor oscilații, pendulul poate fi asimilat unui oscilator armonic bidimensional, al cărui potențial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , spus $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ pulsația, are expresia

$V={\frac {\omega ^{2}}{2}}\mathbf {x} ^{2}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}$ $V = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} {\ mathbf {x}} ^ {2}$

și, prin urmare, Lagrangianul sistemului deține

${\mathcal {L}}=T-V={\frac {\mathbf {v} ^{2}}{2}}+\mathbf {v} \cdot (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )-{\frac {\omega ^{2}}{2}}\mathbf {x} ^{2}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {2}} {2}} + \ mathbf {v} \ cdot (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x}) - {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}$ ${\ mathcal {L}} = TV = {\ frac {{\ mathbf {v}} ^ {2}} {2}} + {\ mathbf {v}} \ cdot ({\ mathbf \ Omega} \ times { \ mathbf {x}}) - {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} {\ mathbf {x}} ^ {2}$

Prin inserarea acestei cantități în ecuațiile Euler-Lagrange obținem, amintind de antisimetria produsului vector ,

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf {v} }}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf {x} }}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {v} +(\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} ))-(\mathbf {v} \times \mathbf {\Omega } )+\omega ^{2}\mathbf {x} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+2(\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} )+\omega ^{2}\mathbf {x} =0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ mathbf {v}}}} - { \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ mathbf {x}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathbf {v } + (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x})) - (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {\ Omega}) + \ omega ^ {2} \ mathbf {x} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} + 2 (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {v}) + \ omega ^ {2} \ mathbf {x} = 0}$ ${\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ mathbf {v}}}} } - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {{\ mathbf {x}}}}} = {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d} } t}} ({\ mathbf {v}} + ({\ mathbf {\ Omega}} \ times {\ mathbf {x}})) - ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {\ Omega }}) + \ omega ^ {2} {\ mathbf {x}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ mathbf {v}}} {{\ mathrm {d}} t}} + 2 ({\ mathbf \ Omega} \ times {\ mathbf {v}}) + \ omega ^ {2} {\ mathbf {x}} = 0$

În acest moment puteți scrie produsul $\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf \ Omega} \ times {\ mathbf {v}}$ pentru componente. Cu toate acestea, rețineți modul în care componenta $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ a acestui produs este total irelevant pentru dinamica sistemului: mișcarea este de fapt limitată la plan și această componentă ar fi în orice caz anulată de reacția de constrângere . Rezultatul este deci dat de vectorul bidimensional $(-\Omega v_{y}\sin \alpha ,\Omega v_{x}\sin \alpha )$ ${\ displaystyle (- \ Omega v_ {y} \ sin \ alpha, \ Omega v_ {x} \ sin \ alpha)}$ $(- \ Omega v_ {y} \ sin \ alpha, \ Omega v_ {x} \ sin \ alpha)$ .

Astfel ecuațiile diferențiale obținute din cele ale lui Euler-Lagrange sunt reduse la sistemul liniar

${\begin{cases}{\ddot {x}}=2\Omega \sin \alpha {\dot {y}}-\omega ^{2}{x}\\{\ddot {y}}=-2\Omega \sin \alpha {\dot {x}}-\omega ^{2}{y}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ ddot {x}} = 2 \ Omega \ sin \ alpha {\ dot {y}} - \ omega ^ {2} {x} \\ {\ ddot {y}} = -2 \ Omega \ sin \ alpha {\ dot {x}} - \ omega ^ {2} {y} \ end {cases}}}$ ${\ begin {cases} {\ ddot {x}} = 2 \ Omega \ sin \ alpha {\ dot {y}} - \ omega ^ {2} {x} \\ {\ ddot {y}} = - 2 \ Omega \ sin \ alpha {\ dot {x}} - \ omega ^ {2} {y} \ end {cases}}$

a cărei soluție este considerabil simplificată recurgând la variabila complexă $z=x+iy$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ $z = x + iy$ .

Intr-adevar ${\ddot {z}}={\ddot {x}}+i{\ddot {y}}=2\Omega \sin \alpha ({\dot {y}}-i{\dot {x}})-\omega ^{2}z=-2i\Omega \sin \alpha {\dot {z}}-\omega ^{2}z=0$ ${\ displaystyle {\ ddot {z}} = {\ ddot {x}} + i {\ ddot {y}} = 2 \ Omega \ sin \ alpha ({\ dot {y}} - i {\ dot {x }}) - \ omega ^ {2} z = -2i \ Omega \ sin \ alpha {\ dot {z}} - \ omega ^ {2} z = 0}$ ${\ ddot {z}} = {\ ddot {x}} + i {\ ddot {y}} = 2 \ Omega \ sin \ alpha ({\ dot {y}} - i {\ dot {x}}) - \ omega ^ {2} z = -2i \ Omega \ sin \ alpha {\ dot {z}} - \ omega ^ {2} z = 0$ .

În acest moment nu mai rămâne decât rezolvarea ecuației diferențiale de ordinul doi. Presupunând o soluție precum $z=z_{0}e^{\lambda t}$ ${\ displaystyle z = z_ {0} e ^ {\ lambda t}}$ $z = z_ {0} e ^ {{\ lambda t}}$ este situat

$\lambda ^{2}+2i\Omega \sin \alpha \lambda +\omega ^{2}=0$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + 2i \ Omega \ sin \ alpha \ lambda + \ omega ^ {2} = 0}$ $\ lambda ^ {2} + 2i \ Omega \ sin \ alpha \ lambda + \ omega ^ {2} = 0$

de la care $\lambda =-i\Omega \sin \alpha \pm i\omega$ ${\ displaystyle \ lambda = -i \ Omega \ sin \ alpha \ pm i \ omega}$ $\ lambda = -i \ Omega \ sin \ alpha \ pm i \ omega$

Soluția finală a problemei va avea apoi forma

$z(t)=e^{-i\Omega \sin \alpha t}\left(z_{0}^{+}e^{i\omega t}+z_{0}^{-}e^{-i\omega t}\right)$ ${\ displaystyle z (t) = e ^ {- i \ Omega \ sin \ alpha t} \ left (z_ {0} ^ {+} e ^ {i \ omega t} + z_ {0} ^ {-} e ^ {- i \ omega t} \ dreapta)}$ $z (t) = e ^ {{- i \ Omega \ sin \ alpha t}} \ left (z_ {0} ^ {+} e ^ {{i \ omega t}} + z_ {0} ^ {-} e ^ {{- i \ omega t}} \ right)$

unde constantele $z_{0}^{+}$ ${\ displaystyle z_ {0} ^ {+}}$ $z_ {0} ^ {+}$ Și $z_{0}^{-}$ ${\ displaystyle z_ {0} ^ {-}}$ $z_ {0} ^ {-}$ sunt deduse din condițiile inițiale.

În orice caz, soluția prezintă un produs între doi termeni: o rotație a vitezei unghiulare $\Omega \sin \alpha$ ${\ displaystyle \ Omega \ sin \ alpha}$ $\ Omega \ sin \ alpha$ și mișcarea unui oscilator armonic bidimensional. Perioada de rotație este ${\frac {2\pi }{\Omega \sin \alpha }}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ Omega \ sin \ alpha}}}$ ${\ frac {2 \ pi} {\ Omega \ sin \ alpha}}$ ceea ce, pe Pământ, este adevărat ${\frac {24\,\mathrm {h} }{\sin \alpha }}$ ${\ displaystyle {\ frac {24 \, \ mathrm {h}} {\ sin \ alpha}}}$ ${\ frac {24 \, {\ mathrm {h}}} {\ sin \ alpha}}$ .

Bibliografie

( FR ) Jean Bernard Léon Foucault . Demonstration physique du movement de rotation de la Terre au moyen du pendule. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 1851, volumul 32, pp. 135-138.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe pendulul Foucault

linkuri externe

( EN )Pendulul lui Foucault , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Pendulul Foucault al Departamentului de Fizică - Universitatea din Cagliari , pe foucaultpendulum.it . Adus la 17 ianuarie 2020 .
Pendulul Foucault al planetariului Modena , pe planetariodimodena.it . Adus la 20 noiembrie 2012 (depus de „Adresa URL originală la 25 noiembrie 2012).
Pendula lui Foucault în Palazzo della Ragione din Padova (fișier pdf care descrie aspectul și funcționarea acestuia)
Descrierea Pendulului lui Foucault , pe tuttidentro.wordpress.com .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 38132 · LCCN (EN) sh85051038 · GND (DE) 4279789-5 · BNF (FR) cb11944442p (data)

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică