Pentagon

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Pentagonul (dezambiguizarea) .

În geometrie , un pentagon este un poligon cu cinci laturi și cinci unghiuri, congruente sau nu, regulat sau neregulat, care poate fi concav sau convex, simplu sau complex (împletit). Un caz particular al pentagonului împletit este pentagrama , a cărei formă cea mai cunoscută poate fi obținută dintr-un pentagon regulat prin extinderea laturilor sale sau prin trasarea diagonalelor sale: este așa-numita stea cu cinci colțuri care poate fi repetată cu un număr infinit de ori în interiorul unui pentagon.

Suma unghiurilor interne este de 540 °.

Pentagon regulat

Fig. 1: Determinarea unghiurilor pentagonului regulat

Prin definiție, un pentagon regulat: este

  • un poligon convex format din cinci colțuri și cinci laturi ;
  • cele cinci laturi sunt congruente ;
  • cele cinci unghiuri sunt de asemenea congruente (în Fig. 1 unul dintre unghiurile interne este identificat cu litera γ).

Din aceste definiții se poate deduce că toate diagonalele pentagonului sunt congruente, ca laturi omoloage ale triunghiurilor ABC, BCD, CDE, DEA și EAB, care sunt la rândul lor congruente : de fapt au două laturi care coincid cu laturile ale pentagonului, care definesc unghiurile interne ale pentagonului însuși (laturile și unghiurile interne ale pentagonului regulat care, după cum sa menționat, sunt congruente prin definiție).

Circumferințe circumscrise și inscripționate

Definiția unui pentagon regulat nu implică automat faptul că acest poligon este circumscriptibil sau inscriptibil într-un cerc , dar acest fapt poate fi ușor demonstrat. Bisectând fiecare colț intern al pentagonului obținem seria triunghiurilor AOB, BOC, COD ... care sunt toate isosceli, deoarece unghiurile care stau pe bazele lor AB, BC, CD ... sunt fiecare jumătate a unghiurilor interne ale pentagonul. Segmentele AO și BO sunt deci congruente; dar la fel sunt și BO și CO, CO și DO ... în consecință:

  • vârfurile pentagonului sunt echidistante de punctul O, care este, prin urmare, centrul circumferinței circumscris pentagonului însuși;
  • triunghiurile care au ca bază laturile pentagonului și punctul O ca vârf sunt congruente;
  • unghiurile de la centrul pentagonului, adică unghiurile care subtend fiecare parte a pentagonului de la centrul circumferinței circumscrise, sunt congruente;
  • înălțimile trasate începând cu punctul O de pe laturile pentagonului (de exemplu, segmentul OF din Fig. 1) sunt congruente;
  • în pentagonul regulat se poate înscrie o circumferință (arc punctat în Fig. 1), tangentă la laturile pentagonului la punctele de bază ale înălțimilor trasate cu 0 și a căror rază coincide cu lungimea acestor înălțimi. Raza circumferinței inscripționate se numește apotemă .

Colțuri

Stabilit faptul că un pentagon regulat poate fi înscris într-un cerc, putem cuantifica amplitudinea unghiurilor din centru , adică a unghiurilor care din centrul O al circumferinței subtend fiecare dintre laturile pentagonului:

Punctul E se află pe circumferința circumscrisă a pentagonului, deci unghiurile AEB, BEC și CED, care respectiv subtend arcurile (și coardele / laturile relative) AB, BC și CD, fiecare au jumătate din amplitudinea unghiului din centru:

În consecință, colțul interior al pentagonului conține:

Să examinăm acum relația dintre laturi și diagonale. Fiecare diagonală a pentagonului este paralelă cu latura opusă (adică cea dintre laturile pentagonului care nu atinge unul dintre capetele diagonalei luate în considerare). Verificând un caz particular, se poate observa că unghiurile BEC și ECD sunt alternative interne ale liniilor BE și CD tăiate de CE transversală; deoarece aceste unghiuri sunt congruente (ambele cu amplitudine egală cu β), latura CD și diagonala BE se dovedesc a fi exact paralele. Același lucru este valabil pentru orice altă pereche laterală / diagonală a pentagonului.

O altă caracteristică a unghiului β este că apare în total de 5 ori în fiecare dintre triunghiurile formate din două diagonale și o latură a pentagonului (de exemplu, triunghiul BDE). Aceste triunghiuri sunt în mod evident isoscel, deoarece s-a demonstrat deja că diagonalele pentagonului sunt congruente; în plus, unghiul din B, inclus între cele două diagonale, este jumătate din fiecare dintre celelalte două unghiuri: acest tip de triunghi, în care două unghiuri sunt fiecare dublu al treilea, se numește Triunghiul de Aur și este fundamental pentru a continua la construirea pentagonului regulat conform metodei descrise de Euclid.

Lungimi laterale și diagonale

Fig. 2: Determinarea lungimilor laterale, diagonalei și apotemului pentagonului regulat

Observație preliminară: triunghiul ABG este isoscel deoarece unghiurile din A și B sunt congruente: rezultă că toate segmentele precum BG și CJ (care vor fi folosite în scurt timp) începând de la vârfurile pentagonului ABCDE pentru a uni vârfurile pentagon interior GHJKL, construit din diagonale.

Acum observați că triunghiurile BAE și CJD sunt similare, deoarece laturile omoloage sunt toate paralele între ele. Prin urmare, proporția este valabilă:

Să observăm acum diagonala BE, tăiată în G de diagonala AC. Segmentul GE are, evident, aceeași lungime atât a CD-ului (CDEG este un paralelogram), cât și a BA, în timp ce am arătat deja că BG și CJ sunt congruente. Deci, putem rescrie proporția anterioară cu următoarele segmente:

Proporția de mai sus are forma clasică , cea care definește secțiunea de aur . Rezultă că lungimea s a laturii pentagonului în raport cu diagonala sa este:

Invers:

În triunghiul BDE urmăriți înălțimea de la vârful B până la piciorul S și extindeți segmentul până când atinge circumferința circumscrisă a pentagonului din T. Prin construcție, unghiul ESB este drept, deci putem aplica teorema lui Pitagora pentru a calcula lungimea din segmentul BS:

În cele din urmă putem calcula lungimea segmentului BT, care este un diametru al circumferinței circumscrise și, prin urmare, merită de două ori raza r a aceluiași: având în vedere faptul că triunghiurile BSE și BTE sunt similare (ambele sunt dreptunghiuri, și aveți vârful B în comun), setați proporția:

de la care

Inversând această ultimă expresie putem obține lungimea diagonalei în raport cu raza:

Raportul deja calculat între lungimile diametrului și laturii ne permite să derivăm lungimea laturii în raport cu raza:

În cele din urmă, pentru completitudine, putem calcula lungimea segmentului ET, care este latura decagonului înscris în aceeași circumferință a pentagonului (aceste date vor fi utile pentru a descrie construcția pentagonului regulat conform lui Ptolemeu). După cum sa menționat deja, triunghiul BTE este unghi drept, deci putem aplica din nou teorema lui Pitagora:

Incomensurabilitatea laterală și diagonală

Fig. 3: Demonstrarea incomensurabilității între latura și diagonala pentagonului regulat

După cum s-a arătat deja, latura și diagonala pentagonului obișnuit stau împreună ca raportul auriu. Ceea ce urmează este demonstrația că această relație este incomensurabilă , adică relația dintre lungimile menționate nu poate fi exprimată printr-un număr rațional.

Următoarea dovadă începe din Propoziția 2 a cărții X a Elementelor lui Euclid: Dacă din două cantități inegale ajungem să scădem [...] mai mic din cel mai mare de câte ori este posibil, iar cel rămas nu măsoară niciodată magnitudinea acestuia anterior, cantitățile sunt incomensurabile .

Să examinăm deci (vezi figura 3) pentagonul ABCDE, diagonala lui BE și latura BA, mai mică decât BE. Este necesar să se obțină diferența dintre aceste două lungimi: apoi urmăriți arcul AH, centrat în B și cu raza BA, până când acesta intersectează BE în punctul H; și deoarece BH și BA sunt congruente, segmentul HE este diferența căutată.

H împarte segmentul BE în „rațiune medie și extremă”: aceasta înseamnă că BH și HE stau împreună ca diagonală și latură a unui pentagon regulat, care poate fi ușor construit. Urmărind arcul EAJ, centrat în H și cu raza HE, găsim punctul J pe segmentul BA. În acest moment BH este diagonala pentagonului BFGHJ, în care laturile BJ și JH sunt congruente cu HE (nu este necesar aici să descriem cum sunt determinate punctele F și G).

Să recapitulăm: având în vedere segmentele BE (diagonală) și BA = BH (latura pentagonului) găsim diferența lor HE = BJ; dar BH și BJ sunt diagonale și respectiv laterale ale noului pentagon BFGHJ. Pentru a continua conform propoziției mai sus menționate a lui Euclid, este acum necesar să găsim diferența dintre BH și BJ: prin repetarea mecanismului descris mai sus găsim punctul M, care face parte din pentagonul BKLMN. Prin repetarea procedurii din nou, se obține pentagonul BOPQR și așa mai departe: de câte ori se repetă construcția, se vor găsi întotdeauna perechi de segmente care stau împreună ca raportul auriu; atingând niciodată două segmente măsurabile (conform propunerii lui Euclid) va rezulta că latura și diagonala pentagonului regulat sunt incomensurabile.

Apotem

Apotema poate fi calculată scăzând lungimea unei raze din segmentul h (vezi pentru claritate în Fig. 2 segmentele BT și AF, congruente):

O ultimă valoare, care este utilizată pentru a calcula aria pentagonului obișnuit, este așa-numitul număr fix, definit ca raportul dintre apotemă și latură:

Determinarea lungimilor prin trigonometrie

Fig. 4: Determinarea lungimilor laterale, diagonalei și apotemelor prin trigonometrie

Utilizarea trigonometriei permite determinarea lungimilor semnificative ale pentagonului regulat într-un mod mai simplu decât cel descris mai sus, deși are unele contraindicații:

  • utilizarea tabelelor electronice sau a calculatoarelor permite doar determinarea aproximativă a lungimilor, nu expresiile algebrice bazate pe radicali care determină exact aceste lungimi;
  • nu toți cei interesați de geometria clasică cunosc trigonometria;
  • din punct de vedere istoric, trigonometria se dezvoltă odată cu Ptolemeu , la cel puțin patru secole după Euclid , care, la rândul său, urmează studiile de pionierat ale școlii pitagoreice de secole.

Din Fig. 4, cel mai simplu mod de a determina diversele lungimi poate fi obținut pe baza razei circumferinței circumscrise. Dat fiind unghiul α care coincide cu unghiul din centrul pentagonului; și β, jumătate din această valoare, este ușor de dedus că latura CD-ului pentagonului este:

Apotema:

Diagonala BE:

Zonă

Aria pentagonului este suma ariilor a 5 triunghiuri cu o bază egală cu latura și o înălțime egală cu apotema. Următoarele sunt formulele pentru calcularea ariei pe baza lungimilor laturii și a razei circumferinței circumscrise:

Relațiile dintre lungimi

Tabelul următor oferă valorile exacte și aproximative ale lungimilor razei r a circumferinței circumscrise, a laturii s, a diagonalei d, a apotemei a și a zonei A, pe baza fiecăreia din aceleași elemente liniare:

Raza (r) Partea (laturile) Diagonală (d) Apotem (a) Zona (A)
































Construcție regulată de pentagon

Fig. 5: Construcția pentagonului regulat conform lui Euclid

De-a lungul istoriei, au fost propuse diferite moduri de a desena un Pentagon regulat cu conducător și busolă . Câteva exemple notabile sunt prezentate mai jos.

Construcție conform lui Euclid

În Elementele sale, Euclid ia în considerare triunghiul auriu format din două diagonale și o latură a pentagonului regulat, din care exploatează următoarele caracteristici:

  • Unghiurile interioare ale celor două colțuri sunt de două ori unghiul rămas;
  • Raportul dintre fiecare dintre cele două laturi și bază este egal cu secțiunea aurie .

În Fig. 5 este prezentată o sinteză a propozițiilor descrise de Euclid, cu singura diferență că, pentru simplitate, în loc să înscrie pentagonul într-un cerc dat, se construiește pornind de la diagonala sa:

  • liniile verzi indică împărțirea segmentului BE în „rațiune medie și extremă”, adică determinarea punctului K care îl împarte astfel încât cea mai mare dintre părțile sale să fie o medie proporțională între cea mai mică și suma celor două [ 1] : pe partea BE este construit pătratul BFGE; punctul intermediar H este trasat la segmentul FB, iar segmentul FB este extins dincolo de B. Punctul J este determinat cu un arc centrat în H și raza HE, apoi cu arcul JAK centrat în B și raza BJ se determină punctul K, care este cel căutat;
  • liniile roșii indică construcția Triunghiului de Aur [2] : punctul C este intersecția dintre arcele centrate în B și E, cu o rază respectiv egală cu BK (latura pentagonului) și EB (diagonala aceluiași);
  • spre deosebire de Euclid, care înscrie triunghiul obținut într-un cerc dat [3] , aici, așa cum am menționat, vrem să trasăm un Pentagon regulat pornind de la diagonala acestuia. Cercul circumscris triunghiului BCE [4] este apoi trasat: este circumferința ABCDE a cărei etapă necesară determinării centrului său este omisă aici;
  • punctele B, C și D sunt deja puncte cunoscute ale pentagonului căutat; punctul A este intersecția dintre arcul JAK și circumferința ABCDE; punctul D se găsește cu un arc centrat în E și cu raza AE.

Construcție conform lui Ptolemeu

Fig. 6: construcția pentagonului regulat conform lui Ptolemeu
Fig. 7: animația construcției pentagonului regulat

Cea mai bună construcție cunoscută a pentagon regulat nu este cea propusă de Euclid, ci rezultă dintr - o schiță care apare în Ptolemeu lui Almagest [5] . De fapt, Ptolemeu nu propune să construiască un pentagon regulat, ci să determine lungimea coardei subtendută de un unghi la centrul de 72 °, exact lungimea laturii pentagonului (din această valoare va deriva scheletul din tabelul său de acorduri , inclusiv lungimea corzilor tuturor unghiurilor multipli de 12 °).

Deci, să vedem pasajele propuse de Ptolemeu, completate de cele care servesc construcției propriu-zise a pentagonului regulat (vezi Fig. 6):

  • Având în vedere o circumferință centrată în O, din care două axe ortogonale sunt OA și OP; găsiți punctul intermediar L între O și P. Folosind teorema lui Pitagora , lungimea segmentului AL este calculată în raport cu raza circumferinței:
  • Desenați arcul AM centrat în L cu raza AL. Lungimea segmentului OM, care coincide cu lungimea laturii decagonului regulat înscris în circumferință, este:
  • Urmărind arcul BME cu centrul în A și raza AM, se determină punctele B și E care, împreună cu A, constituie primele trei puncte ale pentagonului. De fapt, segmentul AM are exact lungimea laturii pentagonului (rețineți că segmentul OA este o rază a circumferinței circumscrise):
  • Determinarea punctelor rămase C și D se poate face prin reprezentarea lungimii laturii AB de mai multe ori pe circumferință, dar există un mod mult mai elegant. Prin extinderea arcului AM, centrat în L, până la punctul N de intersecție cu axa orizontală, se determină segmentul AN a cărui lungime coincide cu diagonala pentagonului, deci este suficient să se urmărească arcul NDC, centrat în A , pentru a găsi colonul lipsă. Intr-adevar:

Faptul că laturile decagonului regulat, hexagonului și pentagonului inscripționate în cercuri cu rază egală constituie laturile unui triunghi dreptunghiular a fost deja demonstrat de Euclid [6] . Cu toate acestea, el folosește această dovadă nu pentru construcția pentagonului regulat, ci a Icosahedronului înscris într-o sferă [7] .

Construcție cu cerc Carlyle

Fig. 8: Determinarea cercului Carlyle pentru construcția pentagonului regulat
Fig. 9: Construcția pentagonului regulat cu cercul lui Carlyle

Se știe că vârfurile unui pentagon regulat, inscripționate într-un cerc de rază unitară, pot fi determinate prin rezolvarea ecuației ciclotomice

ale cărei rădăcini sunt date de expresie

pentru n între 0 și 4. Deoarece ecuația ciclotomică nu are termeni de grad 1, adăugarea tuturor soluțiilor dă 0. Prin urmare, dacă eliminăm ξ 0 = 1 din total, suma rădăcinilor rămase este -1. Mai mult, din formula lui Euler rezultă că:

din care pot fi derivate următoarele relații:

Aceste expresii dau naștere unei ecuații de gradul doi, care poate fi ușor rezolvată folosind un cerc Carlyle :

  • Se găsesc punctele A și B cu coordonatele (0,1) și ( s , p ).
  • Se construiește circumferința al cărei diametru este segmentul AB. Centrul M al acestei circumferințe va avea coordonate (-1 / 2.0).

Intersecțiile circumferinței cu axa absciselor sunt punctele V și W. Bisecția segmentelor OV și OW determină punctele E și F, care sunt abscisele vârfurilor pentagonului.

Alte construcții începând din lateral

Primul scop este de a găsi vârful opus lateralului datorită formulei unde d este diagonala și l este latura.

Construcția unui pentagon regulat începând din lateral
Fig. 10: Construcția unui pentagon regulat începând din lateral

Cu referire la fig. 10, începeți din partea AB.

  • Extindeți latura AB de 5 ori pe extensia sa, până când aveți un segment AC = 6AB;
  • desenați un semicerc cu centrul D (punctul mediu al AC) și diametrul AC;
  • trasați perpendicularul AC care trece prin B. Prin a doua teoremă a lui Euclid , BE este proporționalul mediu între AB și BC, adică între 5l. Prin urmare ;
  • extindeți segmentul BE pentru o lungime suplimentară AB, găsind ;
  • împarte la două BF, obținând lungimea BG în raport auriu cu latura l;
  • desenați două cercuri de rază BG, unul centrat în B și unul în A;
  • intersecția lor este vârful H opus AB.

Al doilea obiectiv este de a găsi celelalte două vârfuri ale pentagonului regulat.

  • Desenați trei cercuri de rază AB; unul centrat în A, unul centrat în B și unul centrat în H;
  • intersecțiile dintre cercul centrat în A și cel centrat în H sunt echidistante de la cele două vârfuri. Alegeți cel mai îndepărtat spre stânga pentru punctul I;
  • intersecțiile dintre cercul centrat în B și cel centrat în H sunt echidistante de la cele două vârfuri. Alegeți cel mai îndepărtat spre dreapta pentru punctul J.

Alăturați vârfurile AB, BJ, JH, HI și IA, obținând pentagonul regulat ABJHI.

Notă

  1. ^ Euclid, Elemente, Cartea II, propoziția 11: Împărțiți un segment dat astfel încât dreptunghiul cuprins de întreaga linie și de una dintre părți să fie egal cu pătratul părții rămase.
  2. ^ Euclid, Elements, Book IV, proposition 11: Construiți un triunghi isoscel având fiecare dintre cele două unghiuri la bază, care este dublu față de unghiul rămas.
  3. ^ Euclid, Elements, Cartea IV, propoziția 11: Înscrieți un pentagon echilateral și echiangular într-un cerc dat
  4. ^ Euclid, Elements, Cartea IV, Propoziția 5: Pentru a circumscrie un cerc unui triunghi dat.
  5. ^ Ptolemeu, Almagest, Cartea I - 10: pe măsura corzilor
  6. ^ Euclid, Elements, Book XIII, Proposition 10: Dacă un pentagon echilateral este inscripționat într-un cerc, pătratul laturii pentagonului este egal cu suma pătratelor laturilor hexagonului regulat și ale decagonului care sunt înscrise în același cerc.
  7. ^ Euclid, Elements, Book XIII, Proposition 16: Construiește un icosaedru înscriindu-l într-o sferă cu un diametru dat

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica