Pentagramă miraculoasă

Exemple de configurații de pentagramă mirificum

Relațiile dintre unghiurile și laturile a cinci triunghiuri dreptunghiulare adiacente pentagonului interior. Cercurile lor Napier conțin schimbări circulare de părți

(a,

{\ displaystyle (a,}

{\ displaystyle (a,}

\pi /2-B,

{\ displaystyle \ pi / 2-B,}

{\ displaystyle \ pi / 2-B,}

\pi /2-c,

{\ displaystyle \ pi / 2-c,}

{\ displaystyle \ pi / 2-c,}

\pi /2-A,

{\ displaystyle \ pi / 2-A,}

{\ displaystyle \ pi / 2-A,}

b)

{\ displaystyle b)}

{\ displaystyle b)}

Pentagrama miraculoasă (din latinescul Pentagramma mirificum ) este un poligon înstelat pe o sferă , compus din cinci arce mari de cercuri , ale căror unghiuri interne sunt toate unghiuri drepte . Această formă a fost descrisă de Napier în 1614 în cartea Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrierea tabelului de logaritmi Ammirabile) împreună cu regulile care leagă valorile funcțiilor trigonometrice ale cinci părți ale unui dreptunghi triunghi sferic (două colțuri și trei laturi) ). Proprietățile pentagramei miraculoase au fost studiate, printre altele, de Carl Friedrich Gauss . ^[1]

Proprietăți geometrice

Pe o sferă, atât unghiurile, cât și laturile unui triunghi (arcuri de cercuri mari) sunt măsurate ca unghiuri.

Există cinci unghiuri drepte, fiecare măsurând $\pi /2,$ ${\ displaystyle \ pi / 2,}$ ${\ displaystyle \ pi / 2,}$ la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , Și $ȘI .$ ${\ displaystyle E.}$ ${\ displaystyle E.}$

Există zece arcade, fiecare măsurând $\pi /2:$ ${\ displaystyle \ pi / 2:}$ ${\ displaystyle \ pi / 2:}$ $P. C.$ ${\ displaystyle PC}$ ${\ displaystyle PC}$ , $P. ȘI$ ${\ displaystyle PE}$ ${\ displaystyle PE}$ , $Î D.$ ${\ displaystyle QD}$ ${\ displaystyle QD}$ , $Î LA$ ${\ displaystyle QA}$ ${\ displaystyle QA}$ , $R. ȘI$ ${\ displaystyle RE}$ ${\ displaystyle RE}$ , $R. B.$ ${\ displaystyle RB}$ ${\ displaystyle RB}$ , $S. LA$ ${\ displaystyle SA}$ ${\ displaystyle SA}$ , $S. C.$ ${\ displaystyle SC}$ $SC$ , $T. B.$ ${\ displaystyle TB}$ ${\ displaystyle TB}$ , Și $T. D. .$ ${\ displaystyle TD.}$ ${\ displaystyle TD.}$

În pentagonul sferic $P. Î R. S. T.$ ${\ displaystyle PQRST}$ ${\ displaystyle PQRST}$ , fiecare vârf este polul părții opuse. De exemplu, punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este polul ecuatorului $R. S.$ ${\ displaystyle RS}$ ${\ displaystyle RS}$ , punct $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ - polul ecuatorului $S. T.$ ${\ displaystyle ST}$ ${\ displaystyle ST}$ , etc.

La fiecare vârf al pentagonului $P. Î R. S. T.$ ${\ displaystyle PQRST}$ ${\ displaystyle PQRST}$ , colțul exterior este egal în măsură cu partea opusă. De exemplu, $\angle APT=\angle BPQ=RS,\;\angle BQP=\angle CQR=ST,$ ${\ displaystyle \ angle APT = \ angle BPQ = RS, \; \ angle BQP = \ angle CQR = ST,}$ ${\ displaystyle \ angle APT = \ angle BPQ = RS, \; \ angle BQP = \ angle CQR = ST,}$ etc.

Triunghiurile sferice ale lui Napier $LA P. T.$ ${\ displaystyle APT}$ ${\ displaystyle APT}$ , $B. Î P.$ ${\ displaystyle BQP}$ ${\ displaystyle BQP}$ , $C. R. Î$ ${\ displaystyle CRQ}$ ${\ displaystyle CRQ}$ , $D. S. R.$ ${\ displaystyle DSR}$ ${\ displaystyle DSR}$ , Și $ȘI T. S.$ ${\ displaystyle ETS}$ ${\ displaystyle ETS}$ sunt rotații reciproce.

Formulele lui Gauss

Gauss a introdus notația

(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2}RS,\tan ^{2}ST).

{\ displaystyle (\ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon) = (\ tan ^ {2} TP, \ tan ^ {2} PQ, \ tan ^ {2} QR, \ tan ^ {2 } RS, \ tan ^ {2} ST).}

{\ displaystyle (\ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon) = (\ tan ^ {2} TP, \ tan ^ {2} PQ, \ tan ^ {2} QR, \ tan ^ {2 } RS, \ tan ^ {2} ST).}

Următoarele identități sunt valabile, permițând ca oricare dintre cantitățile de mai sus să fie determinate din restul de două: ^[2]

{\begin{aligned}1+\alpha &=\gamma \delta &1+\beta &=\delta \varepsilon &1+\gamma &=\alpha \varepsilon \\1+\delta &=\alpha \beta &1+\varepsilon &=\beta \gamma .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1+ \ alpha & = \ gamma \ delta & 1 + \ beta & = \ delta \ varepsilon & 1 + \ gamma & = \ alpha \ varepsilon \\ 1+ \ delta & = \ alpha \ beta & 1 + \ varepsilon & = \ beta \ gamma. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1+ \ alpha & = \ gamma \ delta & 1 + \ beta & = \ delta \ varepsilon & 1 + \ gamma & = \ alpha \ varepsilon \\ 1+ \ delta & = \ alpha \ beta & 1 + \ varepsilon & = \ beta \ gamma. \ end {align}}}

Gauss a dovedit următoarea „frumoasă egalitate” ( schöne Gleichung ): ^[2]

{\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\;3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \\&=\;{\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon & = \; 3+ \ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon \\ & = \; {\ sqrt {( 1+ \ alpha) (1+ \ beta) (1+ \ gamma) (1+ \ delta) (1+ \ varepsilon)}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon & = \; 3+ \ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon \\ & = \; {\ sqrt {( 1+ \ alpha) (1+ \ beta) (1+ \ gamma) (1+ \ delta) (1+ \ varepsilon)}}. \ End {align}}}

Ecuația este satisfăcută, de exemplu, prin numere $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon) = (9,2 / 3,2,5,1 / 3)}$ ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon) = (9,2 / 3,2,5,1 / 3)}$ , al cărui produs $\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon$ ${\ displaystyle \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon}$ Este egal cu $20$ ${\ displaystyle 20}$ $20$ .

Dovada primei părți a egalității:

{\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\alpha \beta \gamma \left({\frac {1+\alpha }{\gamma }}\right)\left({\frac {1+\gamma }{\alpha }}\right)=\beta (1+\alpha )(1+\gamma )\\&=\beta +\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \beta \gamma =\beta +(1+\delta )+(1+\varepsilon )+\alpha (1+\varepsilon )\\&=2+\alpha +\beta +\delta +\varepsilon +1+\gamma \\&=3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon & = \ alpha \ beta \ gamma \ left ({\ frac {1+ \ alpha} {\ gamma}} \ right) \ left ( {\ frac {1+ \ gamma} {\ alpha}} \ right) = \ beta (1+ \ alpha) (1+ \ gamma) \\ & = \ beta + \ alpha \ beta + \ beta \ gamma + \ alpha \ beta \ gamma = \ beta + (1+ \ delta) + (1+ \ varepsilon) + \ alpha (1+ \ varepsilon) \\ & = 2+ \ alpha + \ beta + \ delta + \ varepsilon +1 + \ gamma \\ & = 3+ \ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon & = \ alpha \ beta \ gamma \ left ({\ frac {1+ \ alpha} {\ gamma}} \ right) \ left ( {\ frac {1+ \ gamma} {\ alpha}} \ right) = \ beta (1+ \ alpha) (1+ \ gamma) \\ & = \ beta + \ alpha \ beta + \ beta \ gamma + \ alpha \ beta \ gamma = \ beta + (1+ \ delta) + (1+ \ varepsilon) + \ alpha (1+ \ varepsilon) \\ & = 2+ \ alpha + \ beta + \ delta + \ varepsilon +1 + \ gamma \\ & = 3+ \ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon \ end {align}}}

Dovada celei de-a doua părți a egalității:

{\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &={\sqrt {\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}\varepsilon ^{2}}}\\&={\sqrt {\gamma \delta \cdot \delta \varepsilon \cdot \varepsilon \alpha \cdot \alpha \beta \cdot \beta \gamma }}\\&={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon & = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} \ beta ^ {2} \ gamma ^ {2} \ delta ^ {2} \ varepsilon ^ {2}}} \\ & = {\ sqrt {\ gamma \ delta \ cdot \ delta \ varepsilon \ cdot \ varepsilon \ alpha \ cdot \ alpha \ beta \ cdot \ beta \ gamma}} \\ & = { \ sqrt {(1+ \ alpha) (1+ \ beta) (1+ \ gamma) (1+ \ delta) (1+ \ varepsilon)}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon & = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} \ beta ^ {2} \ gamma ^ {2} \ delta ^ {2} \ varepsilon ^ {2}}} \\ & = {\ sqrt {\ gamma \ delta \ cdot \ delta \ varepsilon \ cdot \ varepsilon \ alpha \ cdot \ alpha \ beta \ cdot \ beta \ gamma}} \\ & = { \ sqrt {(1+ \ alpha) (1+ \ beta) (1+ \ gamma) (1+ \ delta) (1+ \ varepsilon)}} \ end {align}}}

Gauss a obținut și formula ^[2]

(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\varepsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon e^{iA_{PQRST}},

{\ displaystyle (1 + i {\ sqrt {^ {^ {\!}} \ alpha}}) (1 + i {\ sqrt {\ beta}}) (1 + i {\ sqrt {^ {^ {\ !}} \ gamma}}) (1 + i {\ sqrt {\ delta}}) (1 + i {\ sqrt {^ {^ {\!}} \ varepsilon}}) = \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon și ^ {iA_ {PQRST}},}

{\ displaystyle (1 + i {\ sqrt {^ {^ {\!}} \ alpha}}) (1 + i {\ sqrt {\ beta}}) (1 + i {\ sqrt {^ {^ {\ !}} \ gamma}}) (1 + i {\ sqrt {\ delta}}) (1 + i {\ sqrt {^ {^ {\!}} \ varepsilon}}) = \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon și ^ {iA_ {PQRST}},}

unde este $A_{PQRST}=2\pi -(|{\overset {\frown }{PQ}}|+|{\overset {\frown }{QR}}|+|{\overset {\frown }{RS}}|+|{\overset {\frown }{ST}}|+|{\overset {\frown }{TP}}|)$ ${\ displaystyle A_ {PQRST} = 2 \ pi - (| {\ overset {\ frown} {PQ}} | + | {\ overset {\ frown} {QR}} | + | {\ overset {\ frown} { RS}} | + | {\ overset {\ frown} {ST}} | + | {\ overset {\ frown} {TP}} |)}$ ${\ displaystyle A_ {PQRST} = 2 \ pi - (| {\ overset {\ frown} {PQ}} | + | {\ overset {\ frown} {QR}} | + | {\ overset {\ frown} { RS}} | + | {\ overset {\ frown} {ST}} | + | {\ overset {\ frown} {TP}} |)}$ este aria pentagonului $P. Î R. S. T.$ ${\ displaystyle PQRST}$ ${\ displaystyle PQRST}$ .

Proiecție gnomonică

Imaginea pentagonului sferic $P. Î R. S. T.$ ${\ displaystyle PQRST}$ ${\ displaystyle PQRST}$ în proiecția gnomonică (o proiecție din centrul sferei) pe orice plan tangent la sferă formează un pentagon drept. Cele cinci vârfuri ale sale ${P.}^{'} Î^{'} {R.}^{'} {S.}^{'} {T.}^{'}$ ${\ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ ${\ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ determină în mod unic o secțiune conică ; în acest caz - o elipsă . Gauss a arătat că înălțimile pentagramei ${P.}^{'} Î^{'} {R.}^{'} {S.}^{'} {T.}^{'}$ ${\ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ ${\ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ (liniile care trec prin vârfuri și perpendiculare pe laturile opuse) traversează la un punct ${SAU}^{'}$ ${\ displaystyle O '}$ ${\ displaystyle O '}$ , care este imaginea punctului de tangență al planului la sferă.

Arthur Cayley a observat că dacă stabilim originea unui sistem de coordonate cartezian la punctul respectiv ${SAU}^{'}$ ${\ displaystyle O '}$ ${\ displaystyle O '}$ , și indicând astfel coordonatele vârfurilor ${P.}^{'} Î^{'} {R.}^{'} {S.}^{'} {T.}^{'}$ ${\ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ ${\ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ : $(x_{1},y_{1}),\ldots ,$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots,}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots,}$ $(x_{5},y_{5})$ ${\ displaystyle (x_ {5}, y_ {5})}$ ${\ displaystyle (x_ {5}, y_ {5})}$ satisface egalitățile $x_{1}x_{4}+y_{1}y_{4}=$ ${\ displaystyle x_ {1} x_ {4} + y_ {1} y_ {4} =}$ ${\ displaystyle x_ {1} x_ {4} + y_ {1} y_ {4} =}$ $x_{2}x_{5}+y_{2}y_{5}=$ ${\ displaystyle x_ {2} x_ {5} + y_ {2} y_ {5} =}$ ${\ displaystyle x_ {2} x_ {5} + y_ {2} y_ {5} =}$ $x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}=$ ${\ displaystyle x_ {3} x_ {1} + y_ {3} y_ {1} =}$ ${\ displaystyle x_ {3} x_ {1} + y_ {3} y_ {1} =}$ $x_{4}x_{2}+y_{4}y_{2}=$ ${\ displaystyle x_ {4} x_ {2} + y_ {4} y_ {2} =}$ ${\ displaystyle x_ {4} x_ {2} + y_ {4} y_ {2} =}$ $x_{5}x_{3}+y_{5}y_{3}=-\rho ^{2}$ ${\ displaystyle x_ {5} x_ {3} + y_ {5} y_ {3} = - \ rho ^ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {5} x_ {3} + y_ {5} y_ {3} = - \ rho ^ {2}}$ , unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este lungimea razei sferei. ^[3]

Notă

^ Carl Friedrich Gauss , Pentagramma mirificum , în Werke, Band III: Analysis , Göttingen, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, 1866, pp. 481–490.
^ ^a ^b ^c HSM Coxeter ,Frieze pattern ( PDF ), în Acta Arithmetica , vol. 18, 1971, pp. 297-310, DOI : 10.4064 / aa-18-1-297-310 .
^ Arthur Cayley , Pe pentagramma mirificum a lui Gauss , în The London, Edinburgh și Dublin Philosophical Magazine și Journal of Science , vol. 42, n. 280, 1871, pp. 311-312, DOI : 10.1080 / 14786447108640572 .