Perturbare (astronomie)

În astronomie , perturbația se referă la modificări pe orbita unui corp cauzate de interacțiunile altor obiecte.

De exemplu, orbitele cometei sunt adesea perturbate de câmpurile gravitaționale ale planetelor uriașe (influența lui Jupiter a provocat o scădere a perioadei orbitale a cometei Hale-Bopp de la 4200 la 2500 de ani).

Pentru orbitele terestre , principalele perturbații sunt cauzate de non-sfericitatea Pământului : pentru orbitele polare aplatizarea polilor nu este neglijabilă, în timp ce pentru orbitele ecuatoriale este importantă necircularitatea ecuatorului . Sateliții artificiali , pentru a anula aceste perturbații, trebuie să recurgă la anumite manevre orbitale .

Bazele mecanicii orbitale

Problemă cu două corpuri

Resturile spațiale și sateliții care orbitează planeta Pământ se comportă ca orice corp ceresc care orbitează o masă semnificativ mai mare. Mișcarea lor poate fi descrisă într-o primă aproximare prin așa-numita problemă cu doi corpuri a lui Newton, în care un corp de masă M exercită o forță de atracție gravitațională asupra unui corp de masă m , ambele considerate a fi punctiforme:

${\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}{\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} = - {\ frac {GMm} {r ^ {3}}} { \ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} = - {\ frac {GMm} {r ^ {3}}} { \ vec {r}}}$

unde este $G=6,67\cdot 10^{-11}\,Nm^{2}/kg^{2}$ ${\ displaystyle G = 6.67 \ cdot 10 ^ {- 11} \, Nm ^ {2} / kg ^ {2}}$ ${\ displaystyle G = 6.67 \ cdot 10 ^ {- 11} \, Nm ^ {2} / kg ^ {2}}$ este constanta gravitațională universală e ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ vectorul care unește cele două mase. Produsul este apoi definit ca constantă gravitațională planetară $\mu =GM$ ${\ displaystyle \ mu = GM}$ ${\ displaystyle \ mu = GM}$ .

Mai mult, din a doua lege a dinamicii, știm că forța este egală cu produsul masei accelerate m prin accelerarea aceleiași: ${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ ddot {\ vec {r}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ ddot {\ vec {r}}}}$ . Prin inserarea acestor relații în expresia forței gravitaționale, obținem ecuația mișcării corpului de masă m pe orbită în jurul corpului de masă M :

${\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} {\ vec {r}}}$

${\dot {\vec {r}}}={\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} = {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} = {\ vec {v}}}$

Câmpul gravitațional creat este conservator și, prin urmare, este posibil să se definească un potențial gravitațional :

$U(r)=-{\frac {\mu m}{r}}\qquad \qquad \nabla U={\vec {F}}$ ${\ displaystyle U (r) = - {\ frac {\ mu m} {r}} \ qquad \ qquad \ nabla U = {\ vec {F}}}$ ${\ displaystyle U (r) = - {\ frac {\ mu m} {r}} \ qquad \ qquad \ nabla U = {\ vec {F}}}$

Normalizând față de masa orbitantă m , obținem din nou:

$V(r)=-{\frac {\mu }{r}}$ ${\ displaystyle V (r) = - {\ frac {\ mu} {r}}}$ ${\ displaystyle V (r) = - {\ frac {\ mu} {r}}}$

În sfârșit, o cantitate foarte importantă este impulsul unghiular ${\vec {h}}$ ${\ displaystyle {\ vec {h}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {h}}}$ , definit ca:

${\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {v}}}$

perpendicular pe planul orbitei. Deoarece această magnitudine este păstrată, pentru problema cu doi corpuri se poate deduce că și planul orbitei este constant.

Legile lui Kepler

Pornind de la ecuațiile de mișcare ale problemei cu doi corpuri, este posibil să se construiască modelul orbital descris de cele trei legi ale lui Kepler :

Orbita descrisă de un obiect care se rotește în jurul Pământului este o elipsă, din care Pământul ocupă unul dintre cele două focare.
Raza vectorială care unește centrul Pământului cu centrul obiectului mătură zone egale în timpi egali.
Pătratul timpului necesar obiectului pentru a-și parcurge orbita este proporțional cu cubul distanței sale medii față de Pământ.

Elipsa este locusul geometric al punctelor a căror sumă a distanțelor de la două puncte fixe, numite focare, este constantă. Având în vedere o elipsă centrată în originea axelor unei referințe carteziene, cu focarele pe axa x , prin intermediul geometriei analitice ajungem la următoarea ecuație a elipsei:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$

datorită cărora pot fi definite unele cantități fundamentale:

a : axa semi-majoră , distanța maximă de centrul elipsei, identifică două vârfuri
b : axa semi-minoră , distanța minimă de centrul elipsei, identifică celelalte două vârfuri
$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$ : jumătate distanță focală , distanță între focalizare și centru; focarele sunt dispuse simetric față de centru
$e=c/a$ ${\ displaystyle e = c / a}$ ${\ displaystyle e = c / a}$ : excentricitate , valoare care dă o măsură a deformării elipsei pornind de la o circumferință; pentru acesta din urmă, focarele coincid între ele și cu centrul și, prin urmare, distanța de focalitate este zero, la fel ca excentricitatea.

Datorită acestor cantități este posibil să se evidențieze două puncte fundamentale ale fiecărei orbite eliptice: perigeul și apogeul, respectiv punctul orbitei cel mai apropiat de Pământ, deci de focalizare și punctul cel mai îndepărtat. Aceste două puncte coincid, de asemenea, cu cele două vârfuri identificate de axa majoră:

$r_{pe}=a+c=a(1+e)$ ${\ displaystyle r_ {pe} = a + c = a (1 + e)}$ ${\ displaystyle r_ {pe} = a + c = a (1 + e)}$

$r_{ap}=a-c=a(1-e)$ ${\ displaystyle r_ {ap} = ac = a (1-e)}$ ${\ displaystyle r_ {ap} = a-c = a (1-e)}$

Din a doua lege a lui Kepler se poate deduce că viteza orbitală de-a lungul orbitei nu este constantă și putem defini apoi o mișcare medie n , care are dimensiunile unei viteze unghiulare:

$n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}$ ${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}}$ ${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}}$

unde este $\mu _{T}=398600.4415\,km^{3}/s^{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {T} = 398600.4415 \, km ^ {3} / s ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {T} = 398600.4415 \, km ^ {3} / s ^ {2}}$ este constanta gravitationala a Pamantului . Din mișcarea medie putem obține apoi perioada orbitală :

$T={\frac {2\pi }{n}}=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$ ${\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {n}} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}$ ${\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {n}} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}$

relație care corespunde perfect cu a treia lege a lui Kepler.

Parametrii orbitali

Parametrii care definesc o orbită sunt numiți parametri orbitali și, în special, cei care reprezintă unghiuri caracteristice pe planul orbitei se numesc anomalii :

$\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ : adevărată anomalie , măsoară unghiul dintre raza vectorială , care conectează satelitul și centrul Pământului și segmentul Pământ-perigeu

$\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ : anomalie excentrică ; prin reprezentarea perpendiculară pe axa semi-majoră pentru un punct dat al orbitei eliptice, este interceptată circumferința cu diametrul egal cu axa majoră și centrată în centrul elipsei. Anomalia excentrică măsoară unghiul dintre raza circumferinței în acel punct și raza care interceptează perigeul. Următoarele relații sunt valabile pentru aceasta:

\tan \left({\frac {\psi }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)

{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ psi} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {1-e} {1 + e}}} \ tan \ left ({\ frac { \ theta} {2}} \ right)}

{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ psi} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {1-e} {1 + e}}} \ tan \ left ({\ frac { \ theta} {2}} \ right)}

\cos \psi ={\frac {e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }}

{\ displaystyle \ cos \ psi = {\ frac {e + \ cos \ theta} {1 + e \ cos \ theta}}}

{\ displaystyle \ cos \ psi = {\ frac {e + \ cos \ theta} {1 + e \ cos \ theta}}}

M : anomalie medie , conectată la zona măturată de raza vectorială A , prin relația:

A={\frac {abM}{2}}

{\ displaystyle A = {\ frac {abM} {2}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {abM} {2}}}

unde a și b sunt arborii de antrenare. Cand

M=2\pi

{\ displaystyle M = 2 \ pi}

{\ displaystyle M = 2 \ pi}

zona măturată de raza vectorului coincide cu zona elipsei

\pi ab

{\ displaystyle \ pi ab}

{\ displaystyle \ pi ab}

. Prin a doua lege a lui Kepler, viteza areolară

{\dot {A}}

{\ displaystyle {\ dot {A}}}

{\ displaystyle {\ dot {A}}}

este constantă și, prin urmare, derivata în timp a anomaliei medii trebuie să fie constantă și precis egală cu mișcarea medie n :

{\dot {M}}=n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}

{\ displaystyle {\ dot {M}} = n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}}

{\ displaystyle {\ dot {M}} = n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}}

Anomalia medie poate fi definită în continuare ca:

M=n\Delta t_{pe}=\psi -e\sin \psi

{\ displaystyle M = n \ Delta t_ {pe} = \ psi -e \ sin \ psi}

{\ displaystyle M = n \ Delta t_ {pe} = \ psi -e \ sin \ psi}

unde este

\Delta t_{pe}

{\ displaystyle \ Delta t_ {pe}}

{\ displaystyle \ Delta t_ {pe}}

este timpul scurs de la trecerea la perigeu :

\Delta t_{pe}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left[2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)-{\frac {e{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{1+e\cos \theta }}\right]

{\ displaystyle \ Delta t_ {pe} = {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}} \ left [2 \ arctan \ left ({\ sqrt {\ frac {1-e} { 1 + e}}} \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right) - {\ frac {e {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin \ theta} {1 + e \ cos \ theta}} \ right]}

{\ displaystyle \ Delta t_ {pe} = {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}} \ left [2 \ arctan \ left ({\ sqrt {\ frac {1-e} { 1 + e}}} \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right) - {\ frac {e {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin \ theta} {1 + e \ cos \ theta}} \ right]}

Pentru a finaliza discuția despre cantitățile care definesc mișcarea în planul orbitei, putem introduce în continuare:

p : semilatus rectum , adică distanța de la focalizarea punctului orbitei identificat de la perpendiculară la axa semi-majoră care trece prin focalizarea însăși:

p=a(1-e^{2})

{\ displaystyle p = a (1-e ^ {2})}

{\ displaystyle p = a (1-e ^ {2})}

r : raza vectorială în punctul generic, din care am furnizat anterior numai valorile la perigeu și la apogeu:

r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}=a(1-e\cos \psi )

{\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos \ theta}} = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1 + e \ cos \ theta}} = a ( 1-e \ cos \ psi)}

{\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos \ theta}} = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1 + e \ cos \ theta}} = a ( 1-e \ cos \ psi)}

r_{pe}=a(1+e)

{\ displaystyle r_ {pe} = a (1 + e)}

{\ displaystyle r_ {pe} = a (1 + e)}

r_{ap}=a(1-e)

{\ displaystyle r_ {ap} = a (1-e)}

{\ displaystyle r_ {ap} = a (1-e)}

V : viteza orbitală la punctul generic:

V={\sqrt {{\frac {\mu }{a}}{\frac {1+e^{2}+2e\cos \theta }{1-e^{2}}}}}={\sqrt {{\frac {\mu }{a}}{\frac {1+e\cos \psi }{1-e\cos \psi }}}}

{\ displaystyle V = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a}} {\ frac {1 + e ^ {2} + 2e \ cos \ theta} {1-e ^ {2}}}}} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a}} {\ frac {1 + e \ cos \ psi} {1-e \ cos \ psi}}}}}

{\ displaystyle V = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a}} {\ frac {1 + e ^ {2} + 2e \ cos \ theta} {1-e ^ {2}}}}} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a}} {\ frac {1 + e \ cos \ psi} {1-e \ cos \ psi}}}}}

V_{pe}={\sqrt {{\frac {\mu }{a}}{\frac {1+e}{1-e}}}}

{\ displaystyle V_ {pe} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a}} {\ frac {1 + e} {1-e}}}}}

{\ displaystyle V_ {pe} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a}} {\ frac {1 + e} {1-e}}}}}

V_{ap}={\sqrt {{\frac {\mu }{a}}{\frac {1-e}{1+e}}}}

{\ displaystyle V_ {ap} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a}} {\ frac {1-e} {1 + e}}}}}

{\ displaystyle V_ {ap} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {a}} {\ frac {1-e} {1 + e}}}}}

$\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ xi}$ : energia orbitei , suma, constantă, a energiei cinetice și a energiei gravitaționale:

\xi ={\frac {V^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {\mu }{2a}}=f(a)<0

{\ displaystyle \ xi = {\ frac {V ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ mu} {r}} = - {\ frac {\ mu} {2a}} = f (a) <0}

{\ displaystyle \ xi = {\ frac {V ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ mu} {r}} = - {\ frac {\ mu} {2a}} = f (a) <0}

Până acum, discuția s-a referit doar la parametrii orbitali definiți pe planul orbitei bidimensionale, care totuși este inserat într-un sistem de referință inerțial tridimensional cu originea în centrul Pământului. Acesta constă dintr-un set de trei axe, în care axa X indică spre solstițiul de primăvară din est , axa Y este perpendiculară pe cea anterioară pe planul ecuatorial , în timp ce axa Z indică spre nordul Pământului. În acest sistem de referință, pot fi definite alte trei unghiuri fundamentale:

$\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ : ascensiunea dreaptă a nodului ascendent (RAAN), măsurată în planul XY începând de pe axa X; nodul ascendent este punctul în care satelitul traversează planul de referință XY, în timp ce segmentul nodului ascendent conectează Pământul la nodul ascendent
i : înclinația orbitei , adică unghiul pe care îl formează planul orbitei cu planul de referință
$\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ : argument al perigeului , care identifică poziția perigeului pe orbită; se măsoară în planul orbitei începând de la segmentul nodurilor ascendente

Clasificarea fenomenelor perturbative

Orbitele resturilor spațiale, ca și cele ale sateliților, sunt supuse unor fenomene perturbative care își modifică parametrii orbitali. Modelul eliptic descris de cele trei legi ale lui Kepler este valabil pentru problema a două corpuri în absența perturbațiilor; cu toate acestea, în cazuri reale, acestea nu pot fi neglijabile.

Toate fenomenele perturbative pot fi împărțite în patru categorii, în funcție de dependența lor de timp:

perturbări seculare : sunt în prima aproximare proporțională cu timpul și, prin urmare, determină o creștere continuă sau o reducere continuă a magnitudinii pe care acționează

perturbații periodice pe termen lung : provoacă variații armonice ale parametrilor orbitali în timpuri de ordinea perioadei de rotație a periastro, pentru perturbații geopotențiale sau de ordinul lunilor și anilor pentru perturbații datorate prezenței Soarelui sau Luna

perturbări periodice de scurtă durată : provoacă variații armonice ale parametrilor orbitali cu perioade de ordinul celei de revoluție a satelitului însuși în jurul Pământului

perturbații rezonante : provoacă variații ale parametrilor orbitali prin creșterea energiei într-un sistem altfel conservator, exploatând o rezonanță sau un sincronism, între fenomenul perturbației și mișcarea orbitală.

Perturbările seculare pot fi considerate liniare în timp dacă luăm în considerare un interval de timp finit. Mai mult decât atât, abia din anii 1950 a fost posibil să se distingă corect adevăratele tulburări seculare de cele ale unei perioade foarte lungi.

De exemplu, perturbațiile seculare sunt cele de origine non-gravitațională, cum ar fi presiunea solară și rezistența aerodinamică, care generează câmpuri neconservative. Perturbările legate de potențialul gravitațional, pe de altă parte, au o natură periodică și conservatoare, cum ar fi sfericitatea imperfectă a Pământului sau prezența unui al treilea corp, din care derivă problema celor trei corpuri, extensibilă la n- Cu toate acestea, nu putem cunoaște o soluție analitică pentru cazul general. Teoriile clasice arată că, printre parametrii orbitali, axa semi-majoră a , excentricitatea e și înclinația i sunt supuse exclusiv perturbațiilor periodice, în timp ce argumentul perigeului ω, ascensiunea dreaptă a nodului ascendent Ω și l înseamnă anomalia M este supusă atât fenomenelor periodice, cât și fenomenelor seculare.

Potențial deranjat

Fenomenul perturbativ de cel mai mare interes este dat de sfericitatea imperfectă a Pământului, a cărei formă reală este mai asemănătoare cu un sferoid oblat . Razele măsurate la ecuator și la poli diferă cu aproximativ 21 km: această umflare ecuatorială se datorează forței centrifuge care decurge din mișcarea de rotație a Pământului în jurul axei sale.

Plecând de la definiția potențialului gravitațional exprimat în coordonate polare $(r,\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$ în cazul specific al unui corp aximetric:

$V(r)=-{\frac {\mu }{r}}$ ${\ displaystyle V (r) = - {\ frac {\ mu} {r}}}$ ${\ displaystyle V (r) = - {\ frac {\ mu} {r}}}$

se adaugă o contribuție perturbativă sub forma extinderii seriei:

$V(r,\phi )=-{\frac {\mu }{r}}\left[1+\sum _{k=2}^{\infty }J_{k}\left({\frac {r_{E}}{r}}\right)^{k}P_{k}(\sin \phi )\right]$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) = - {\ frac {\ mu} {r}} \ left [1+ \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} J_ {k} \ left ({\ frac {r_ {E}} {r}} \ right) ^ {k} P_ {k} (\ sin \ phi) \ right]}$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) = - {\ frac {\ mu} {r}} \ left [1+ \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} J_ {k} \ left ({\ frac {r_ {E}} {r}} \ right) ^ {k} P_ {k} (\ sin \ phi) \ right]}$

Coeficienții $J_{k}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ reprezintă armonicele expansiunii, în timp ce $P_{k}(\sin \phi )$ ${\ displaystyle P_ {k} (\ sin \ phi)}$ ${\ displaystyle P_ {k} (\ sin \ phi)}$ este polinomul Legendre al k-lea al $\sin \phi$ ${\ displaystyle \ sin \ phi}$ ${\ displaystyle \ sin \ phi}$ :

$P_{k}(x)=(2^{k}k!)^{-1}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\left[(x^{2}-1)^{k}\right]$ ${\ displaystyle P_ {k} (x) = (2 ^ {k} k!) ^ {- 1} {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} \ left [(x ^ { 2} -1) ^ {k} \ dreapta]}$ ${\ displaystyle P_ {k} (x) = (2 ^ {k} k!) ^ {- 1} {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} \ left [(x ^ { 2} -1) ^ {k} \ dreapta]}$

Dintre toate armonicile care definesc expansiunea seriei în cazul unui sferoid oblat , termenul dominant este $J_{2}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ :

$J_{2}=1.082629\cdot 10^{-3}$ ${\ displaystyle J_ {2} = 1.082629 \ cdot 10 ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle J_ {2} = 1.082629 \ cdot 10 ^ {- 3}}$

în timp ce toți ceilalți coeficienți $J_{k}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ sunt de ordinul $10^{-6}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 6}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 6}}$ . Explicând termenul pentru $k=2$ ${\ displaystyle k = 2}$ ${\ displaystyle k = 2}$ primești contribuția de $J_{2}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ la potențialul gravitațional:

$P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)$ ${\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} (3x ^ {2} -1)}$ ${\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} (3x ^ {2} -1)}$

$V(r,\phi )_{J_{2}}=-{\frac {\mu J_{2}r_{E}^{2}}{2r^{3}}}\left(3\sin ^{2}\phi -1\right)$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) _ {J_ {2}} = - {\ frac {\ mu J_ {2} r_ {E} ^ {2}} {2r ^ {3}}} \ left (3 \ sin ^ {2} \ phi -1 \ right)}$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) _ {J_ {2}} = - {\ frac {\ mu J_ {2} r_ {E} ^ {2}} {2r ^ {3}}} \ left (3 \ sin ^ {2} \ phi -1 \ right)}$

Ecuațiile perturbate ale lui Newton

Ecuația lui Newton pentru problema cu doi corpuri netulburată poate fi modificată prin adăugarea unei accelerații ${\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ , exprimat în același sistem de referință ca ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ :

${\dot {\vec {v}}}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\vec {r}}+{\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {v}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} {\ vec {r}} + {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {v}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} {\ vec {r}} + {\ vec {p}}}$

care poate fi rescris și ca:

${\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\vec {r}}+{\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} {\ vec {r}} + {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} {\ vec {r}} + {\ vec {p}}}$

${\dot {\vec {r}}}={\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} = {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} = {\ vec {v}}}$

Prin integrarea numerică, este posibil să se obțină vectorul de poziție și vectorul de viteză care definesc în întregime orbita perturbată: în fiecare moment va fi obținută o orbită Kepleriană diferită, definită ca o orbită osculantă . Cu toate acestea, aceste ecuații diferențiale sunt utilizate numai în cazurile în care este necesară o precizie ridicată în propagarea orbitei, cum ar fi în faza de reintrare în atmosferă atunci când perturbațiile sunt considerabile.

Ecuații Gauss perturbate

Pentru accelerare generală ${\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ Pot fi obținute ecuațiile perturbate ale lui Gauss , valabile și în cazul perturbațiilor neconservative, cum ar fi presiunea solară și rezistența aerodinamică. În primul rând, accelerația este descompusă în conformitate cu un sistem de referință local:

${\vec {p}}=R{\hat {R}}+S{\hat {S}}+W{\hat {W}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = R {\ hat {R}} + S {\ hat {S}} + W {\ hat {W}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = R {\ hat {R}} + S {\ hat {S}} + W {\ hat {W}}}$

unde se pot distinge cele trei componente:

$R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ : component radial
$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ : componentă în direcția mișcării satelitului, perpendiculară pe ${\vec {R}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$ , pe planul orbitei osculante
$W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ : componentă în direcția impulsului unghiular ${\hat {R}}\times {\hat {S}}$ ${\ displaystyle {\ hat {R}} \ times {\ hat {S}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {R}} \ times {\ hat {S}}}$

Apoi, sunt raportate derivatele în timp ale parametrilor orbitali:

${\begin{aligned}{\frac {da}{dt}}&={\frac {2}{n{\sqrt {1-e^{2}}}}}\{e\sin(\theta )R+[1+e\cos(\theta )]S\}\\{\frac {de}{dt}}&={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na}}\left\{\sin(\theta )R+\left[{\frac {e+cos(\theta )}{1+e\cos(\theta )}}+\cos(\theta )\right]S\right\}\\{\frac {di}{dt}}&={\frac {1}{na{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {r}{a}}\cos(\theta +\omega )W\\{\frac {d\Omega }{dt}}&={\frac {1}{na{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {r}{a}}{\frac {\sin(\theta +\omega )}{\sin(i)}}W\\{\frac {d\omega }{dt}}&={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{nae}}\left\{-R\cos(\theta )+\left[1+{\frac {1}{1+e\cos(\theta )}}\right]\sin(\theta )S-{\frac {d\Omega }{dt}}\cos(i)\right\}\\{\frac {dM}{dt}}&=n+{\frac {1-e^{2}}{nae}}\left\{\left[{\frac {-2e}{1+e\cos(\theta )}}+\cos(\theta )\right]R-\left[1+{\frac {1}{1+e\cos(\theta )}}\right]\sin(\theta )S\right\}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {da} {dt}} & = {\ frac {2} {n {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} \ {e \ sin ( \ theta) R + [1 + e \ cos (\ theta)] S \} \\ {\ frac {de} {dt}} & = {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2}}} { na}} \ left \ {\ sin (\ theta) R + \ left [{\ frac {e + cos (\ theta)} {1 + e \ cos (\ theta)}} + \ cos (\ theta) \ dreapta] S \ right \} \\ {\ frac {di} {dt}} & = {\ frac {1} {na {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} {\ frac {r} {a}} \ cos (\ theta + \ omega) W \\ {\ frac {d \ Omega} {dt}} & = {\ frac {1} {na {\ sqrt {1-e ^ {2}} }}} {\ frac {r} {a}} {\ frac {\ sin (\ theta + \ omega)} {\ sin (i)}} W \\ {\ frac {d \ omega} {dt}} & = {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2}}} {nae}} \ left \ {- R \ cos (\ theta) + \ left [1 + {\ frac {1} {1 + e \ cos (\ theta)}} \ right] \ sin (\ theta) S - {\ frac {d \ Omega} {dt}} \ cos (i) \ right \} \\ {\ frac {dM} {dt }} & = n + {\ frac {1-e ^ {2}} {nae}} \ left \ {\ left [{\ frac {-2e} {1 + e \ cos (\ theta)}} + \ cos (\ theta) \ right] R- \ left [1 + {\ frac {1} {1 + e \ cos (\ theta)}} \ right] \ sin (\ theta) S \ right \} \ end { aliniat}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {da} {dt}} & = {\ frac {2} {n {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} \ {e \ sin ( \ theta) R + [1 + e \ cos (\ theta)] S \} \\ {\ frac {de} {dt}} & = {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2}}} { na}} \ left \ {\ sin (\ theta) R + \ left [{\ frac {e + cos (\ theta)} {1 + e \ cos (\ theta)}} + \ cos (\ theta) \ dreapta] S \ right \} \\ {\ frac {di} {dt}} & = {\ frac {1} {na {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} {\ frac {r} {a}} \ cos (\ theta + \ omega) W \\ {\ frac {d \ Omega} {dt}} & = {\ frac {1} {na {\ sqrt {1-e ^ {2}} }}} {\ frac {r} {a}} {\ frac {\ sin (\ theta + \ omega)} {\ sin (i)}} W \\ {\ frac {d \ omega} {dt}} & = {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2}}} {nae}} \ left \ {- R \ cos (\ theta) + \ left [1 + {\ frac {1} {1 + e \ cos (\ theta)}} \ right] \ sin (\ theta) S - {\ frac {d \ Omega} {dt}} \ cos (i) \ right \} \\ {\ frac {dM} {dt }} & = n + {\ frac {1-e ^ {2}} {nae}} \ left \ {\ left [{\ frac {-2e} {1 + e \ cos (\ theta)}} + \ cos (\ theta) \ right] R- \ left [1 + {\ frac {1} {1 + e \ cos (\ theta)}} \ right] \ sin (\ theta) S \ right \} \ end { aliniat}}}$

unde modulul razei vectorului în funcție de parametrii orbitali ne amintim să fie:

$r={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos (\ theta)}} = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1 + e \ cos (\ theta)} }}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos (\ theta)}} = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1 + e \ cos (\ theta)} }}$

Ecuații Lagrange perturbate

Dacă acționează doar forțe conservatoare, cum ar fi cele gravitaționale, ecuațiile Gauss pot fi simplificate prin obținerea ecuațiilor Lagrange . Prin urmare, acestea sunt potrivite pentru studiul perturbațiilor gravitaționale cauzate de atracția altor corpuri cerești și de forma oblată a Pământului. Amintind expresia potențialului gravitațional în cazul orbitelor perturbate:

$V(r,\phi )=-{\frac {\mu }{r}}\left[1+\sum _{k=2}^{\infty }J_{k}\left({\frac {r_{E}}{r}}\right)^{k}P_{k}(\sin \phi )\right]$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) = - {\ frac {\ mu} {r}} \ left [1+ \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} J_ {k} \ left ({\ frac {r_ {E}} {r}} \ right) ^ {k} P_ {k} (\ sin \ phi) \ right]}$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) = - {\ frac {\ mu} {r}} \ left [1+ \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} J_ {k} \ left ({\ frac {r_ {E}} {r}} \ right) ^ {k} P_ {k} (\ sin \ phi) \ right]}$

se obțin următoarele ecuații:

${\begin{aligned}{\frac {da}{dt}}&={\frac {2}{na}}{\frac {\partial V}{\partial M}}\\{\frac {de}{dt}}&={\frac {1-e^{2}}{na^{2}e}}{\frac {\partial V}{\partial M}}-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}{\frac {\partial V}{\partial \omega }}\\{\frac {di}{dt}}&={\frac {-1}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(i)}}\left[{\frac {\partial V}{\partial \Omega }}+\cos(i){\frac {\partial V}{\partial \omega }}\right]\\{\frac {d\Omega }{dt}}&={\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(i)}}{\frac {\partial V}{\partial i}}\\{\frac {d\omega }{dt}}&={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}{\frac {\partial V}{\partial e}}-{\frac {\cos(i)}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(i)}}{\frac {\partial V}{\partial i}}\\{\frac {dM}{dt}}&=n-{\frac {2}{na}}{\frac {\partial V}{\partial a}}-{\frac {1-e^{2}}{na^{2}e}}{\frac {\partial V}{\partial e}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {da} {dt}} & = {\ frac {2} {na}} {\ frac {\ partial V} {\ partial M}} \\ {\ frac {de} {dt}} & = {\ frac {1-e ^ {2}} {na ^ {2} e}} {\ frac {\ partial V} {\ partial M}} - {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2}}} {na ^ {2} e}} {\ frac {\ partial V} {\ partial \ omega}} \\ {\ frac {di} {dt}} & = { \ frac {-1} {na ^ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (i)}} \ left [{\ frac {\ partial V} {\ partial \ Omega}} + \ cos (i) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ omega}} \ right] \\ {\ frac {d \ Omega} {dt}} & = {\ frac {1} {na ^ { 2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (i)}} {\ frac {\ partial V} {\ partial i}} \\ {\ frac {d \ omega} {dt}} & = {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2}}} {na ^ {2} e}} {\ frac {\ partial V} {\ partial e}} - {\ frac {\ cos (i )} {na ^ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (i)}} {\ frac {\ partial V} {\ partial i}} \\ {\ frac {dM} {dt}} & = n - {\ frac {2} {na}} {\ frac {\ partial V} {\ partial a}} - {\ frac {1-e ^ {2}} {na ^ {2 } e}} {\ frac {\ partial V} {\ partial e}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {da} {dt}} & = {\ frac {2} {na}} {\ frac {\ partial V} {\ partial M}} \\ {\ frac {de} {dt}} & = {\ frac {1-e ^ {2}} {na ^ {2} e}} {\ frac {\ partial V} {\ partial M}} - {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2}}} {na ^ {2} e}} {\ frac {\ partial V} {\ partial \ omega}} \\ {\ frac {di} {dt}} & = { \ frac {-1} {na ^ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (i)}} \ left [{\ frac {\ partial V} {\ partial \ Omega}} + \ cos (i) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ omega}} \ right] \\ {\ frac {d \ Omega} {dt}} & = {\ frac {1} {na ^ { 2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (i)}} {\ frac {\ partial V} {\ partial i}} \\ {\ frac {d \ omega} {dt}} & = {\ frac {\ sqrt {1-e ^ {2}}} {na ^ {2} e}} {\ frac {\ partial V} {\ partial e}} - {\ frac {\ cos (i )} {na ^ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (i)}} {\ frac {\ partial V} {\ partial i}} \\ {\ frac {dM} {dt}} & = n - {\ frac {2} {na}} {\ frac {\ partial V} {\ partial a}} - {\ frac {1-e ^ {2}} {na ^ {2 } e}} {\ frac {\ partial V} {\ partial e}} \ end {align}}}$

Anterior, contribuția $J_{2}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ la potențialul perturbat în coordonate sferice $(r,\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$ :

$V(r,\phi )_{J_{2}}=-{\frac {\mu J_{2}r_{E}^{2}}{2r^{3}}}\left(3\sin ^{2}\phi -1\right)$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) _ {J_ {2}} = - {\ frac {\ mu J_ {2} r_ {E} ^ {2}} {2r ^ {3}}} \ left (3 \ sin ^ {2} \ phi -1 \ right)}$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) _ {J_ {2}} = - {\ frac {\ mu J_ {2} r_ {E} ^ {2}} {2r ^ {3}}} \ left (3 \ sin ^ {2} \ phi -1 \ right)}$

unde parametrii orbitali pot fi introduși prin intermediul relației $\sin \phi =\sin i\sin \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ phi = \ sin i \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ phi = \ sin i \ sin \ theta}$ :

$V(r,\phi )_{J_{2}}=-{\frac {\mu J_{2}r_{E}^{2}}{2r^{3}}}\left(3\sin ^{2}i\sin ^{2}\theta -1\right)$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) _ {J_ {2}} = - {\ frac {\ mu J_ {2} r_ {E} ^ {2}} {2r ^ {3}}} \ left (3 \ sin ^ {2} i \ sin ^ {2} \ theta -1 \ right)}$ ${\ displaystyle V (r, \ phi) _ {J_ {2}} = - {\ frac {\ mu J_ {2} r_ {E} ^ {2}} {2r ^ {3}}} \ left (3 \ sin ^ {2} i \ sin ^ {2} \ theta -1 \ right)}$

Model dinamic simplificat

Modelele utilizate în mod obișnuit pentru propagarea orbitelor obiectelor din jurul Pământului sunt modelele Perturbări simplificate , adică cinci modele matematice (SGP, SGP4, SDP4, SGP8, SDP8) care permit calcularea vectorilor de stare orbitală a sateliților și a resturilor spațiale din un cadru de referință inerțial originar din centrul Pământului. Vectorii orbitali de stare , numiți și simplu stat, sunt vectorul de poziție și vectorul de viteză, care constituie un set de șase parametri alternativi față de parametrii orbitali capabili să determine complet orbita satelitului.

Aceste modele matematice se bazează pe așa - numitul set de elemente cu două linii , un format de date dezvoltat de NORAD și NASA care furnizează toate informațiile utile despre un satelit în două linii, inclusiv parametrii orbitali. Soluțiile obținute iau în considerare diverse perturbări:

forma Pământului
rezistența aerodinamică a atmosferei
radiatie solara
forțele gravitaționale ale altor corpuri cerești, precum Soarele și Luna

Cu toate acestea, ei posedă deja în momentul inițial, numit epocă , o eroare de aprox $1\,km$ ${\ displaystyle 1 \, km}$ ${\ displaystyle 1 \, km}$ , destinat să crească cu încă 1-3 km pe zi; din acest motiv nu sunt foarte exacte pe termen lung și după câteva zile sunt deja necesare unele corecții. Mai mult, categoria modelelor de Perturbații Generale Simplificate , căreia îi aparține cel mai exploatat model (SGP4), este limitată la obiecte apropiate de Pământ și cu o perioadă de revoluție mai mică de 225 de minute. Aceste cerințe fac ca aceste modele să fie aplicabile exclusiv orbitelor LEO, care se caracterizează prin perioade de aproximativ 90 de minute.

Modelul dinamic utilizat aici introduce câteva simplificări importante:

rezistența aerodinamică a atmosferei este neglijabilă, date fiind valorile relativ ridicate ale punților semi-majore și deci ale altitudinilor

radiațiile și forțele gravitaționale din alte corpuri cerești sunt neglijate, deoarece, deși altitudinile sunt ridicate pentru rezistența atmosferică, acestea sunt încă clasificate ca Orbită Pământească Scăzută

singura perturbare luată în considerare este cea care derivă din non-sfericitatea Pământului $(J_{2})$ ${\ displaystyle (J_ {2})}$ ${\ displaystyle (J_ {2})}$

semiaxa a , înclinația i și excentricitatea e se presupun că sunt constante

$\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ variază liniar în timp

Singurele cantități care suferă variații în timp sunt deci $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ conform următoarelor legi, obținute din relațiile mai generale ale Lagrange:

${\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dt}}&=-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r_{E}}{p}}\right)^{2}nJ_{2}\cos i\\{\frac {d\omega }{dt}}&={\frac {3}{4}}\left({\frac {r_{E}}{p}}\right)^{2}nJ_{2}\left(5\cos ^{2}i-1\right)\\{\frac {dM}{dt}}&=n+{\frac {3}{4}}\left({\frac {r_{E}}{p}}\right)^{2}nJ_{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\left(3\cos ^{2}i-1\right)\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ Omega} {dt}} & = - {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {r_ {E}} {p}} \ right) ^ {2} nJ_ {2} \ cos i \\ {\ frac {d \ omega} {dt}} & = {\ frac {3} {4}} \ left ({\ frac {r_ {E }} {p}} \ right) ^ {2} nJ_ {2} \ left (5 \ cos ^ {2} i-1 \ right) \\ {\ frac {dM} {dt}} & = n + { \ frac {3} {4}} \ left ({\ frac {r_ {E}} {p}} \ right) ^ {2} nJ_ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ stânga (3 \ cos ^ {2} i-1 \ dreapta) \ end {aliniat}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d \ Omega} {dt}} & = - {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {r_ {E}} {p}} \ right) ^ {2} nJ_ {2} \ cos i \\ {\ frac {d \ omega} {dt}} & = {\ frac {3} {4}} \ left ({\ frac {r_ {E }} {p}} \ right) ^ {2} nJ_ {2} \ left (5 \ cos ^ {2} i-1 \ right) \\ {\ frac {dM} {dt}} & = n + { \ frac {3} {4}} \ left ({\ frac {r_ {E}} {p}} \ right) ^ {2} nJ_ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ stânga (3 \ cos ^ {2} i-1 \ dreapta) \ end {aliniat}}}$

unde este $n={\sqrt {\mu /a^{3}}}$ ${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ mu / a ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle n = {\ sqrt {\ mu / a ^ {3}}}}$ este mișcarea medie , $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ constanta gravitațională a Pământului , $r_{E}$ ${\ displaystyle r_ {E}}$ ${\ displaystyle r_ {E}}$ raza pământului la ecuator , $p=a(1-e^{2})$ ${\ displaystyle p = a (1-e ^ {2})}$ ${\ displaystyle p = a (1-e ^ {2})}$ rectul semilatus e $J_{2}=1.082629\cdot 10^{-3}$ ${\ displaystyle J_ {2} = 1.082629 \ cdot 10 ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle J_ {2} = 1.082629 \ cdot 10 ^ {- 3}}$ perturbarea geopotențială .

Având în vedere valorile inițiale ale parametrilor orbitali, valorile perturbate ulterioare și, în consecință, și vectorii de poziție și viteză pot fi calculate în orice moment t . Se remarcă imediat că derivatul anomaliei medii este singurul care are un termen care nu depinde de $J_{2}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ : acest lucru se întâmplă deoarece chiar și în absența perturbațiilor, variația sa este egală cu mișcarea medie n . Mai mult, fiind o, e, constantele în timp, derivații ${\dot {\Omega }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ Omega}}}$ , ${\dot {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}}}$ , ${\dot {M}}$ ${\ displaystyle {\ dot {M}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {M}}}$ acești parametri sunt, de asemenea, constante fixe.

I risultati ottenuti con questo modello dinamico, se confrontati con la propagazione SGP4, mostrano un accordo fino a 200 giorni di propagazione per la maggior parte dei parametri orbitali.

Condizioni di complanarità

Si possono sfruttare le perturbazioni sopra descritte, ed in particolare la perturbazione $J_{2}$ $J_{2}$ $J_{2}$ , per attendere che si verifichi complanarità fra due satelliti o detriti spaziali. In tale circostanza il costo di trasferimento in termini di $\Delta V$ $\Delta V$ $\Delta V$ viene minimizzato. Dati i valori iniziali al tempo $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ delle RAAN dei due oggetti $\Omega _{i}(t_{0})$ $\Omega _{i}(t_{0})$ $\Omega _{i}(t_{0})$ e $\Omega _{j}(t_{0})$ $\Omega _{j}(t_{0})$ $\Omega _{j}(t_{0})$ e le rispettive derivate temporali ${\dot {\Omega }}_{i}$ ${\dot {\Omega }}_{i}$ ${\dot {\Omega }}_{i}$ e ${\dot {\Omega }}_{j}$ ${\dot {\Omega }}_{j}$ ${\dot {\Omega }}_{j}$ , si può facilmente determinare il tempo di incontro $t^{*}$ $t^{*}$ $t^{*}$ , calcolato a partire da $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ , per il quale $\Delta \Omega =0$ $\Delta \Omega =0$ $\Delta \Omega =0$ :

$\Omega _{i}(t_{0})+t^{*}{\dot {\Omega }}_{i}=\Omega _{j}(t_{0})+t^{*}{\dot {\Omega }}_{j}+K2\pi$ $\Omega _{i}(t_{0})+t^{*}{\dot {\Omega }}_{i}=\Omega _{j}(t_{0})+t^{*}{\dot {\Omega }}_{j}+K2\pi$ $\Omega _{i}(t_{0})+t^{*}{\dot {\Omega }}_{i}=\Omega _{j}(t_{0})+t^{*}{\dot {\Omega }}_{j}+K2\pi$

$t^{*}={\frac {\Omega _{j}(t_{0})-\Omega _{i}(t_{0})+K2\pi }{{\dot {\Omega }}_{i}-{\dot {\Omega }}_{j}}}$ $t^{*}={\frac {\Omega _{j}(t_{0})-\Omega _{i}(t_{0})+K2\pi }{{\dot {\Omega }}_{i}-{\dot {\Omega }}_{j}}}$ $t^{*}={\frac {\Omega _{j}(t_{0})-\Omega _{i}(t_{0})+K2\pi }{{\dot {\Omega }}_{i}-{\dot {\Omega }}_{j}}}$

dove la costante intera arbitraria K è scelta in modo da ottenere il minimo tempo positivo di trasferimento. Il tempo $t^{*}$ $t^{*}$ $t^{*}$ corrisponde al tempo di attesa, a partire dall'istante iniziale $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ , necessario affinché si verifichi la complanarità fra i due oggetti iej; inoltre esso è valido in entrambe le direzioni di trasferimento. Infine, si può ancora valutare l'intervallo di tempo dopo cui si ripete una data configurazione, ad esempio la complanarità:

$\Delta t=\left|{\frac {2\pi }{{\dot {\Omega }}_{i}-{\dot {\Omega }}_{j}}}\right|$ $\Delta t=\left|{\frac {2\pi }{{\dot {\Omega }}_{i}-{\dot {\Omega }}_{j}}}\right|$ $\Delta t=\left|{\frac {2\pi }{{\dot {\Omega }}_{i}-{\dot {\Omega }}_{j}}}\right|$

Legame fra ${\dot {\Omega }}$ ${\dot {\Omega }}$ ${\dot {\Omega }}$ e semiasse maggiore

Per evidenziare il legame fra la derivata temporale dell'ascensione retta del nodo ascendente e il semiasse maggiore si riscrive la relazione presentata nel modello dinamico semplificato:

${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r_{E}}{p}}\right)^{2}nJ_{2}\cos i$ ${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r_{E}}{p}}\right)^{2}nJ_{2}\cos i$ ${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r_{E}}{p}}\right)^{2}nJ_{2}\cos i$

Si esplicita poi il semilatus rectum e il moto medio :

${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r_{E}}{a(1-e^{2})}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}J_{2}\cos i$ ${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r_{E}}{a(1-e^{2})}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}J_{2}\cos i$ ${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r_{E}}{a(1-e^{2})}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}J_{2}\cos i$

Approssimando $e\simeq 0$ $e\simeq 0$ $e\simeq 0$ e quindi $p\simeq a$ $p\simeq a$ $p\simeq a$ si ottiene:

${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}r_{E}^{2}{\sqrt {\mu }}J_{2}a^{-7/2}\cos i$ ${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}r_{E}^{2}{\sqrt {\mu }}J_{2}a^{-7/2}\cos i$ ${\dot {\Omega }}=-{\frac {3}{2}}r_{E}^{2}{\sqrt {\mu }}J_{2}a^{-7/2}\cos i$

Si deriva infine rispetto al semiasse maggiore:

${\frac {d{\dot {\Omega }}}{da}}=-{\frac {7}{2}}{\frac {\dot {\Omega }}{a}}$ ${\frac {d{\dot {\Omega }}}{da}}=-{\frac {7}{2}}{\frac {\dot {\Omega }}{a}}$ ${\frac {d{\dot {\Omega }}}{da}}=-{\frac {7}{2}}{\frac {\dot {\Omega }}{a}}$

Bibliografia

Marcel J. Sidi, Spacecraft Dynamics and Control , Cambridge, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-55072-6 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Perturbazione , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portale Astronomia : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di astronomia e astrofisica