PI greacă

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PI greacă
Simbol Pi-symbol.svg
Valoare PI (paragraful) .svg
Fracție continuă [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...]
(secvența A001203 a OEIS)
Împreună numere transcendente
Constantele corelate Constantele lui Gelfond, constante zeta
Pi-unrolled-720.gif
Raportul dintre lungimea circumferinței unei roți și diametrul acesteia este π

Pi este o constantă matematică , notată cu litera greacă ( pi ), ales ca inițială a περιφέρεια (perifereia), circumferință în greacă.

În geometria plană este definit ca raportul dintre lungimea circumferinței și cea a diametrului acesteia sau, de asemenea, ca aria unui cerc de rază . Multe cărți moderne de analiză matematică definesc folosind funcții trigonometrice : de exemplu ca cel mai mic număr strict pozitiv pentru care sau cel mai mic număr împărțit la Anulare . Toate aceste definiții sunt echivalente.

The este, de asemenea, cunoscut sub numele de constantă Arhimede (nu trebuie confundat cu numărul Arhimede ) și constantă Ludolph sau număr Ludolph . The nu este o constantă fizică sau naturală , ci o constantă matematică definită într-un mod abstract, independent de măsurile fizice.

Aceasta este valoarea trunchiat la a 100-a zecimală [1] [2] :

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

Proprietate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: definiția strictă a Pi în geometria euclidiană .
Deoarece π este un număr transcendent , pătratul cercului nu este posibil într-un număr finit de pași folosind drepte și busole .

The este un număr irațional , deci nu poate fi scris ca un coeficient de două numere întregi , așa cum a fost demonstrat în 1761 de Johann Heinrich Lambert . Mai mult, este un număr transcendent (adică nu este un număr algebric ): acest fapt a fost dovedit de Ferdinand von Lindemann în 1882 . Aceasta înseamnă că nu există polinoame cu coeficienți raționali din care este rădăcină, deci este imposibil să se exprime folosind un număr finit de numere întregi, fracții și rădăcinile lor.

Acest rezultat stabilește imposibilitatea de a pătrat cercul , adică construcția cu rigla și busola unui pătrat din aceeași zonă a unui cerc dat.

Aplicații

Geometrie analitică

  • Aria unui cerc de rază :
  • Aria unei elipse de semi-axe Și :
  • Suprafața unei sfere de rază :
  • Volumul unui cilindru de înălțime și raza :
  • Suprafața unui cilindru de înălțime și raza :

Analize

ceea ce arată că:
O serie foarte elegantă, care oferă direct zecimale .
unde în numărător sunt toate numerele prime impare și în numitor multiplul a patru cel mai apropiat de numărător.
O formulă remarcabilă care demonstrează, la fel ca produsul lui Euler , relația surprinzătoare dintre pi și numerele prime. Cu toate acestea, are o convergență foarte lentă și, prin urmare, nepotrivită pentru calcularea zecimalelor . [3]
unde semnele sunt determinate astfel: numărul are un semn pozitiv; numerele prime ale formei au un semn pozitiv; numerele prime ale formei au semn negativ; pentru numerele compuse semnul este produsul semnelor factorilor unici. [4]
Chiar și această serie, deși este foarte remarcabilă și elegantă, are o convergență extrem de lentă. De fapt, este necesar să adăugați mai mult de 2 milioane de termeni pentru a obține două zecimale exacte. [5]
  • Formula derivată din cea a lui Taylor , de asemenea a lui Euler :
unde n = 3. Cu cât se adaugă mai multe fracții, cu atât rezultatul este mai precis.
unde este este raportul auriu ( ).
  • Fracția continuă generalizată (sau fracția fractală) a lui Ramanujan
  • Dat fiind un semicerc de rază cu centrul în originea planului cartezian, poate fi definit ca o lungime carteziană explicită pe întregul domeniu al funcției care descrie semicercul:

Teoria numerelor

  • Probabilitatea ca două numere întregi alese la întâmplare să fie prime între ele este: (≈60,8%)
  • Numărul mediu de moduri în care un număr întreg pozitiv poate fi scris ca suma a două pătrate perfecte este: .

Sisteme dinamice, teoria ergodică

  • pentru aproape toate regalitățile în unde sunt iterații ale hărții logistice pentru .

Probabilitate și statistici

Aerodinamica

Fizică

Prezenta lui în aceste ultime două formule este însă o consecință a definiției adoptate pentru constantele fizice Și .

Fracții continuate

Ca orice număr irațional, π nu poate fi exprimat ca o fracție de două numere întregi, dar admite o reprezentare ca o fracție continuă [7]

Prin trunchierea fracției continue în orice punct, se obțin aproximările raționale ale lui π, dintre care primele sunt 3, 22/7, 333/106 și 355/113, cele mai cunoscute și utilizate în mod istoric aproximări ale lui π. Fracția continuată a lui π nu este periodică (deoarece π nu este un număr irațional pătratic ) și nici nu are o structură evidentă, [7] totuși diverși matematicieni au descoperit reprezentări ca fracții continue generalizate care urmează un model clar: [8]

obținut prin formula fracției Euler continuate aplicată funcției pentru ;

Aproximări numerice

Primele 10 000 de zecimale ale pi .

Datorită naturii sale transcendente, nu există expresii finite simple pe care să le reprezinte . În consecință, calculele numerice trebuie să utilizeze aproximări ale numărului. În multe cazuri, 3.14 este suficient, dar mulți ingineri folosesc adesea 3.1416 (cinci cifre semnificative) sau 3.14159 (6 cifre semnificative).

Un scrib egiptean pe nume Ahmes este scriitorul celui mai vechi text cunoscut care conține o aproximare a , papirusul Rhind , datat în secolul al XVII-lea î.Hr. și descrie valoarea ca 256/81 sau 3.160.

Arhimede a conceput o metodă prin care este posibil să se obțină aproximări oricât de bune ale și l-a folosit pentru a arăta că este între 223/71 și 22/7 (media celor două valori este de aproximativ 3,1419).

Calculat matematicianul chinez Liu Hui ca 3.141014 (incorect de la a patra zecimală) în 263 și a sugerat 3.14 ca o bună aproximare.

Matematicianul și astronomul chinez Zu Chongzhi a calculat în secolul al V-lea ca între 3.1415926 și 3.1415927 și a dat două aproximări ale : 355/113 și 22/7.

Matematicianul și astronomul iranian Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi , 1350-1439, a calculat primele 9 cifre din baza 60 a , care sunt echivalente în bază zecimală cu cele 16 cifre:

Matematicianul german Ludolph van Ceulen (aproximativ 1600) a calculat primele 35 de zecimale. Era atât de mândru de realizările sale, încât a scris-o pe piatra de mormânt.

Matematicianul și iezuitul polonez Adam Adamandy Kochański a prezentat în tratatul său din 1685 o construcție geometrică care permite calcularea unei valori aproximative a corectează până la a patra zecimală.

Matematicianul sloven Jurij Vega a calculat în 1789 primele 140 de zecimale ale , dintre care primele 137 au fost corecte și au deținut recordul mondial timp de 52 de ani, până în 1841 , când William Rutherford a calculat 208 zecimale dintre care primele 152 au fost corecte. Vega a îmbunătățit formula propusă de John Machin în 1706 .

Alte aproximări posibile ale :

Cu toate acestea, niciuna dintre formulele de mai sus nu poate oferi o metodă eficientă de aproximare . Pentru calcule rapide, se poate utiliza o formulă precum cea a lui Machin:

Odată cu extinderea seriei Taylor pentru funcție . Această formulă poate fi ușor verificată folosind coordonatele polare ale numerelor complexe , începând de la:

Formulele de acest fel sunt cunoscute sub numele de formule de tip Machin .

Extensii zecimale foarte lungi de sunt de obicei calculate cu algoritmul Gauss-Legendre și cu algoritmul Borwein; în trecut, s-a folosit și algoritmul Salamin-Brent, inventat în 1976 .

Lista primelor milioane de cifre ale și de poate fi găsit în Proiectul Gutenberg (vezi linkul extern din partea de jos a paginii).

În decembrie 2002 , calculul a atins 1 241 100 000 000 de cifre ( 1.2411 × 10 12 ), calculat în septembrie 2002 de Yasumasa Kanada pe un supercomputer Hitachi cu 64 de noduri cu un terabyte de memorie principală, capabil să efectueze 2 miliarde de operații pe secundă, aproape dublu față de computerul utilizat pentru înregistrarea anterioară (206 miliarde cifre) .

Au fost utilizate următoarele formule de tip Machin:

K. Takano ( 1982 ).
FCW Störmer ( 1896 ).

Astfel de aproximări precise nu sunt de fapt utilizate în niciun scop practic, altul decât pentru a testa performanța noilor supercalculatoare sau pentru analiza statistică a .

În 1996 David H. Bailey, împreună cu Peter Borwein și Simon Plouffe, au descoperit o nouă formulă de calcul ca o serie infinită:

Această formulă vă permite să calculați cu ușurință -a cifra binară sau hexazecimală a fără a fi nevoie să calculați toate cifrele anterioare. Site-ul web Bailey conține implementarea sa în diferite limbaje de programare .

Câteva alte formule utilizate pentru calcularea estimărilor Sunt:

din Newton ( indică semifactorialul ).
nota come prodotto infinito di Wallis .
nota come formula di Viète .
da Ramanujan .
da David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky .
da Eulero .
nota come Formula simmetrica
daChebyshev

Altre formule d'approssimazione sono contenute nella tabella sottostante: [9] [10]

Storia

I popoli antichi spesso utilizzavano modi indiretti per esprimere approssimativamente il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio . I babilonesi usavano per il valore di 258 =3,125 (usato anche da Vitruvio [11] ): una tavoletta cuneiforme del XX secolo aC, infatti, osserva che il rapporto fra la circonferenza e il perimetro di un esagono iscritto è 3600/3456, cioè 25/24. Nel Papiro di Rhind , invece, si dice che un cerchio con diametro 9 unità è equivalente a un quadrato di lato 8. In questo modo gli Egizi assumevano il valore di ( 169 )²=3,160.

Nell' Antico Testamento viene apparentemente affermato in modo non esplicito che = 3. Si trova infatti scritto:

«Egli fece il mare come una gran vasca di bronzo fuso, dieci cubiti da una sponda all'altra: era perfettamente circolare. La sua altezza era cinque cubiti e una linea di trenta cubiti misurava la sua circonferenza»

( Secondo libro delle Cronache , 4:2 )

Il testo, però spiega poco dopo che il bordo si apriva "come il calice di un giglio" (presentava cioè quello che un moderno ingegnere chiamerebbe un "anello di irrigidimento" del bordo superiore), perciò il diametro misurato al bordo era ovviamente maggiore di quello della circonferenza esterna della vasca cilindrica, rendendo inaccurati questi dati per desumere un valore di pi greco "biblico". [12]

Il primo ad approssimare scientificamente pi greco fu Archimede di Siracusa che nel III secolo aC utilizzò poligoni regolari inscritti e circoscritti a una circonferenza . Aumentando il numero di lati il rapporto tra il perimetro e l'area limita superiormente e inferiormente (vedi anche metodo di esaustione ).

Utilizzando poligoni di 96 lati lo scienziato siracusano scoprì che 22371 < π < 227 . [13]

Nel medioevo in India Brahmagupta utilizza il valore [14] mentre in Cina Zu Chongzhi utilizza 355113 valore che si discosta meno di 0,3 milionesimi dal valore corretto. [15]

Il metodo di Archimede verrà applicato fino all'epoca moderna. Nel 1610 Ludolph van Ceulen calcola le prime 35 cifre decimali di utilizzando poligoni con più di 2 miliardi di lati. Ceulen, fiero di questo risultato, lo farà scrivere sulla sua tomba.

Sempre nell' epoca moderna vengono trovate importanti espressioni infinite:

formula di Viète :

formula di Leibniz :

prodotto di Wallis :

Nel XVIII secolo Eulero , risolvendo il problema di Basilea trovò un'altra elegante serie:

Sempre al matematico svizzero è dovuta l' identità di Eulero , talvolta considerata la formula più bella di tutta la matematica,[16] che collega ad altre importanti costanti matematiche tra cui il numero di Nepero e l' unità immaginaria :

Queste formule, pur essendo di scarsa o nulla utilità nel calcolo della costante matematica, hanno un importante valore estetico e rivelano collegamenti inaspettati tra varie branche della matematica .

Eulero rese inoltre popolare il simbolo π, introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics , benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi è la prima lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura attorno» in greco . Inoltre il simbolo venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che nel 1706 lo usò in onore di Pitagora (l'iniziale di Pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel 1739 Eulero usava il simbolo .

Restava ancora in sospeso la questione della natura di : Johann Heinrich Lambert dimostrò nel 1761 che si trattava di un numero irrazionale (si dimostrava che l' arcotangente di un qualsiasi numero razionale è irrazionale). Si veda anche dimostrazione della irrazionalità di π . Adrien-Marie Legendre dimostrò nel 1794 l'irrazionalità di . Bisognerà tuttavia aspettare fino al 1882 perché Ferdinand von Lindemann dimostri che è un numero trascendente , ossia non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.

Quest'ultimo fatto dimostrava inequivocabilmente che la quadratura del cerchio tramite riga e compasso è impossibile.

Nel 1897 il matematico dilettante J. Goodwin propose nello stato dell' Indiana un incredibile disegno di legge volto a rendere possibile la quadratura del cerchio tramite il cambiamento del valore di pi greco [17] . Il disegno prevedeva l'introduzione di una "nuova verità matematica" giacché "la regola ora in uso ... non funziona" ed "è opportuno che essa venga rifiutata come insufficiente e ingannevole per le applicazioni pratiche" . La stravagante proposta di legge fu approvata all'unanimità dai 67 membri della Commissione per l'educazione. La proposta di legge fu affondata solo dopo il parere negativo del matematico Clarence Waldo, presente casualmente in Senato .

Ecco una breve cronologia essenziale di π :

Nell'antichità

Nel Medioevo

Nell'età moderna

Nell'età contemporanea

  • 2002Yasumasa Kanada : 1241,1 miliardi di cifre calcolate in 600 ore (25 giorni) con un Hitachi SR8000/MPP a 128 nodi [25] .
  • 29 aprile 2009Daisuke Takahashi : 2 576 980 377 524 di cifre (2 576 miliardi) in 29,09 ore con un Supercomputer T2K Open a 640 nodi (velocità di ogni nodo: 147,2 GigaFLOPS ), all'Università di Tsukuba a Tsukuba , in Giappone . [26]
  • 31 dicembre 2009Fabrice Bellard : 2 699 999 990 000 [27] di cifre (quasi 3000 miliardi) in 121 giorni di calcolo totali, utilizzando un computer domestico: CPU Intel Core i7 a 2,97 GHz , 6 GB di RAM e 7,5 TB di memoria fissa, utilizzando 5 hard disk Seagate Barracuda da 1,5 TB l'uno. Il calcolo è stato effettuato sfruttando l' algoritmo di Chudnovsky .
  • 2 agosto 2010 – Shigeru Kondo: 5 000 000 000 000 [28] di cifre (5 000 miliardi) in 90 giorni di calcolo, utilizzando un computer domestico modificato, con 2 processori Intel Xeon X5680 a 3,33 GHz (12 core fisici, 24 con hyperthreading ), 12 banchi da 8 GB di RAM, per un totale di 96 GB RAM DDR3 a 1066 MHz; per ottenere il risultato ha sfruttato l'applicazione y-cruncher [29] , sviluppata da Alexander Yee, su un OS Microsoft Windows Server 2008 .
  • 29 gennaio 2020 – Lo statunitense Timothy Mullican calcola 50 000 miliardi di cifre, impiegando 303 giorni per effettuare il calcolo tramite vari computer e server . [30]

Questioni in sospeso

La più pressante questione aperta su riguarda il fatto che sia o meno normale , cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10. [31] Non sappiamo molto su questo; per esempio, non sappiamo nemmeno quali delle cifre 0, …, 9 ricorrano infinite volte nell'espansione decimale di , [32] benché sia chiaro che almeno due cifre devono ricorrere infinite volte, poiché in caso contrario sarebbe razionale, mentre non lo è.

Bailey e Crandall dimostrarono nel 2000 che l'esistenza della sopramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica che la normalità in base di si deduce da una plausibile congettura della teoria del caos . [33]

Non si sa neanche se e il numero di Nepero siano algebricamente indipendenti , sebbene Yuri Valentinovich Nesterenko abbia dimostrato l'indipendenza algebrica di {π, e π , Γ (1/4)} nel 1996. [34]

La natura di Pi greco

Mentre, nella geometria euclidea , la somma degli angoli interni di un triangolo misurata in radianti è uguale a , nelle geometrie non-euclidee la stessa somma può essere maggiore ( geometria ellittica ) o minore ( geometria iperbolica ) e il rapporto fra una circonferenza e il suo diametro può non essere . Questo non cambia la definizione di , piuttosto cambia la costante che appare nelle formule (che diventa un numero diverso da ). Quindi, in particolare, non è legato alla forma dell'universo ; è una costante matematica, non fisica.

La legge dell'Indiana su Pi greco

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Progetto di legge dell'Indiana sul pi greco .
Vignetta satirica del 1897, che ridicolizza il progetto di legge.

Nel 1897, negli Stati Uniti d'America , fu presentato all'Assemblea generale dello stato dell' Indiana un disegno di legge, [35] redatto dal matematico e fisico dilettante Edward (o Edwin) J. Goodwin, in cui l'autore si presentava come solutore dei problemi di trisezione dell'angolo , duplicazione del cubo e quadratura del cerchio (la cui impossibilità di soluzione era, all'epoca, già ampiamente dimostrata) e offriva alle scuole dello stato l'uso gratuito della sua "nuova verità matematica", da lui brevettata. Il testo non menzionava specificamente , ma dalle affermazioni in esso presenti potevano esserne dedotti diversi valori, tra loro contraddittori, tra cui quello di 3,2.

Il progetto superò varie fasi dell'iter legislativo, ma fu infine abbandonato quando venne presentato al Senato per la definitiva approvazione; il professor Clarence Abiathar Waldo, matematico e membro dell'Accademia delle scienze dell'Indiana, riportò in seguito [36] di essere stato casualmente presente al Senato il giorno in cui il progetto di legge doveva essere discusso, e di aver "opportunamente istruito" al riguardo i senatori prima della discussione.

Influenze culturali

Il 14 marzo si celebra il " giorno del pi greco ", in quanto, nella sua scrittura anglosassone (3/14), esso ricorda l'approssimazione più comune di . [37] : dal 2020 l'Unesco ha proclamato il 14 marzo come Giornata internazionale della matematica. [38] In effetti pi greco è uno dei numeri irrazionali più famosi anche al di fuori dell'ambiente matematico, oltre a essere uno dei protagonisti indiscussi del panorama matematico [39] . Un'altra data possibile per celebrare pi greco è il 22 luglio, in quanto 22/7 è una famosa frazione, nota fin dai tempi di Archimede , che approssima .

La popstar Kate Bush ha interamente dedicato al numero il secondo brano (intitolato per l'appunto ) del suo ottavo album Aerial , del 2005 , nel quale reciterebbe le sue prime 140 cifre. π 3,14 è inoltre il titolo del quinto album dei Rockets , del 1981 . Anche altri musicisti e artisti in genere hanno dedicato alcune loro opere alla costante.

π - Il teorema del delirio è il titolo di un thriller del 1998 diretto dal regista Darren Aronofsky .

Tecniche mnemoniche

È possibile utilizzare la seguente frase per ricordare le prime 19 cifre del numero pi greco, associando a ognuna delle parole il corrispondente numero di lettere che la compongono: "Ave, o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza".

Note

  1. ^ ( EN ) Sequenza A000796 , su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , The OEIS Foundation.
  2. ^ http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index314159.html
  3. ^ Un calcolo col programma Mathematica ha dato i seguenti risultati: 1 000 termini 3,1458…; 10 000 termini 3,1424…; 100 000 termini 3,1417…
  4. ^ Carl B. Boyer , Storia della matematica , Oscar saggi Mondadori, 2000, cap. 21.
  5. ^ Alcuni risultati ottenuti col programma Mathematica : 1 000 termini 3,0603…; 5 000 termini 3,1027…; 50 000 termini 3,1324…; 500 000 termini 3,1379…; 2 milioni di termini 3,1398…; 3 milioni di termini 3,1404…
  6. ^ Fu de Morgan che cento anni dopo con alcuni suoi studenti utilizzò stimò pi greco col metodo dell'ago: con 600 lanci ottenne 382 casi favorevoli, ricavando di 3,14. Il metodo ha però convergenza lenta: per trovare la terza cifra decimale occorrono decine di migliaia di lanci.
  7. ^ a b ( EN ) Sequenza A001203 , su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , The OEIS Foundation.
  8. ^ LJ Lange, An Elegant Continued Fraction for π , in The American Mathematical Monthly , vol. 106, n. 5, May 1999, pp. 456–458, DOI : 10.2307/2589152 , JSTOR 2589152 .
  9. ^ The world of Pi - Simon Plouffe / David Bailey
  10. ^ Collection of series for π
  11. ^ a b De Architectura X, 9, 1, in linea su LacusCurtius .
  12. ^ Questa spiegazione era nota anche al Talmud ed è riportata insieme a molte altre in [1] (p. 139). Cfr. anche: [2] oppure [3] . Altre spiegazioni sono meno attendibili perché i manoscritti più antichi della Bibbia ebraica risalgono circa al secolo X dopo Cristo.
  13. ^ Boyer 1991 p. 149
  14. ^ Boyer 1991 p. 256
  15. ^ Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan , BG Teubner, 1913, p. 50. 22+355&dq=intitle:Development+intitle:22China+and+Japan%22+355&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=84EbSrD1E4OYlQSwv4HlCQ&pgis=1
  16. ^ Definita la più bella formula della matematica da Richard Feynman ( Richard Feynman, Chapter 22: Algebra , in The Feynman Lectures on Physics : Volume I , giugno 1970, p. 10. ). Nel 1988, i lettori del Mathematical Intelligencer la votarono come "La più bella formula matematica di sempre" David Wells, Are these the most beautiful? , in Mathematical Intelligencer , vol. 12, n. 3, 1990, pp. 37–41, DOI : 10.1007/BF03024015 .
    David Wells, Which is the most beautiful? , in Mathematical Intelligencer , vol. 10, n. 4, 1988, pp. 30–31, DOI : 10.1007/BF03023741 .
  17. ^ Il testo del disegno di legge è consultabile sul sito della Purdue University : The Indiana Pi Bill
  18. ^ Dimostrazione che 227 è maggiore di π
  19. ^ La frazione 377120 approssima il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio di raggio 60, laddove il 60 coincide con la base dei numeri sessagesimali utilizzati da Tolomeo nell'Almagesto.
  20. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_3b
  21. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_6b
  22. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_51b
  23. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_68b
  24. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_latest_record_206b
  25. ^ SR8000 , su hitachi.co.jp . URL consultato il 30 ottobre 2010 (archiviato dall' url originale il 20 maggio 2011) .
  26. ^ Copia archiviata , su hpcs.is.tsukuba.ac.jp . URL consultato il 18 agosto 2009 (archiviato dall' url originale il 23 agosto 2009) .
  27. ^ http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf
  28. ^ Pi - 5 Trillion Digits
  29. ^ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program
  30. ^ ( EN ) Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record
  31. ^ Eric W Weisstein , Normal Number , su mathworld.wolfram.com , MathWorld , 22 dicembre 2005. URL consultato il 10 novembre 2007 .
  32. ^ Paul Preuss , Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key ,Lawrence Berkeley National Laboratory , 23 luglio 2001. URL consultato il 10 novembre 2007 .
  33. ^ Ivars Peterson , Pi à la Mode: Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits , in Science News Online , 1º settembre 2001. URL consultato il 10 novembre 2007 (archiviato dall' url originale il 21 ottobre 2007) .
  34. ^ Nesterenko, Yuri V , Modular Functions and Transcendence Problems , in Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 , vol. 322, n. 10, 1996, pp. 909–914.
  35. ^ http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm
  36. ^ What might have been , in Proceedings of the Indiana Academy of Science , p. 455-456.
  37. ^ Corriere della Sera , 14 marzo 2010, http://www.corriere.it/scienze_e_tecnologie/10_marzo_14/pi-greco-compleanno_593a9a2c-2f90-11df-a29d-00144f02aabe.shtml . URL consultato il 2 luglio 2021 . ]
  38. ^ ( EN ) International Day of Mathematics , su en.unesco.org . URL consultato il 2 luglio 2021 .
  39. ^ Bruno de Finetti, Tre personaggi della matematica , Le Scienze, novembre 1971, pp. 86-101. URL consultato il 2 luglio 2021 .

Bibliografia

Sulla legge dell'Indiana:
  • "Indiana's squared circle" di Arthur E. Hallerberg (Mathematics Magazine, vol. 50 (1977), pp. 136–140).
  • David Singmaster, "The legal values of pi" (Mathematical Intelligencer, vol. 7 (1985), pp. 69 – 72).

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Siti sulla storia di π

Siti con formule per calcolare π

Siti con le cifre di π

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