Sistem cartezian de referință

Reprezentarea unor puncte în plan cartezian

În matematică , un sistem de referință cartezian este un sistem de referință format din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ linii ortogonale , ^[1] toate intersectate într-un punct numit origine , pe fiecare dintre care se fixează o orientare (sunt deci linii orientate ) și pentru care este fixată și o unitate de măsură (adică este fixată o metrică de obicei euclidiană ) permite identificarea oricărui punct al întregului prin intermediul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere reale . În acest caz, se spune că punctele acestui set se află într-un spațiu de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Un cadru cartezian de referință în două dimensiuni se numește plan cartezian.

Un sistem tridimensional de referință cartezian este de obicei utilizat pentru a identifica poziția punctelor în spațiul fizic . Cu toate acestea, alte sisteme de referință nu neapărat carteziene și un număr diferit de dimensiuni, numite grade de libertate în acest context, sunt utilizate pentru a descrie poziția obiectelor mai complicate.

Folosind un sistem cartezian de referință, este posibil să se descrie forme geometrice precum curbe sau suprafețe prin ecuații algebrice: punctele obiectului geometric sunt cele care satisfac ecuația asociată. De exemplu, este posibil să se descrie o circumferință în plan cartezian sau un cvadric în spațiul tridimensional.

Istorie

Utilizarea coordonatelor geometrice a fost introdusă pentru prima dată de Nicola d'Oresme , un matematician din secolul al XIV-lea care lucrează la Paris ^[2] . Adjectivul cartezian se referă la francez matematician și filosof René Descartes (latinizat în Renatus Cartesius, Italianized în Renato Descartes), care, printre altele, reluarea studiilor de Nicola d'Oresme, a lucrat la fuziunea algebra cu geometria euclidiană . Aceste studii au avut influență în dezvoltarea geometriei analitice , a calculului și a cartografiei .

Ideea acestui sistem de referință a fost dezvoltată în 1637 în două scrieri de Descartes și independent de Pierre de Fermat , deși Fermat nu și-a publicat descoperirea ^[3] . În a doua parte a Discursului său despre metodă , Descartes introduce noua idee de a specifica poziția unui punct sau obiect pe o suprafață folosind două linii care se intersectează într-un punct ca instrumente de măsurare, idee preluată în La Geometria ^{[4]. ]} .

Avion cartezian

Un sistem ortogonal de coordonate carteziene bidimensionale este pur și simplu numit plan cartezian și constă din:

axa abscisei constituie linia de referință, pe care Oresme a denumit-o longitudin , (caracterizată de obicei prin literă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ );
axa ordonată constituie linia dreaptă ortogonală cu linia de referință, pe care Oresme a numit-o latitudo , (caracterizată de obicei prin litera $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ );
originea, punctul în care se întâlnesc cele două linii.

Planul cartezian, care este adesea numit $X y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ din numele axelor, se poate imagina, crezând că planul este scufundat orizontal în spațiul fizic (podea) și stând într-un punct cu brațul stâng întins înainte și brațul drept întins spre lateral astfel încât să se formeze cu cele două brațe un unghi drept: punctul pe care este reprezentată originea, direcția brațului drept reprezintă axa absciselor pozitive (pe partea opusă abscisele negative), direcția brațului stâng reprezintă axa ordonate pozitive (în spatele ordinelor negative).

Ecuația

x^{2}+y^{2}=4

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 4}

x ^ {2} + y ^ {2} = 4

reprezentată în plan

X y

{\ displaystyle xy}

X y

reprezintă un cerc de rază

2

{\ displaystyle 2}

2

și centrat în origine.

Sistemul format din perechea celor două axe orientate (și implicit de la origine) permite identificarea fiecărui punct al planului cu o pereche de numere reale numite respectiv abscisă și ordonată a punctului, ale cărei valori absolute reprezintă distanțele de punctul respectiv din ax $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ (ordonată) și din ax $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (abscisă). Coordonatele unui punct generic al planului sau ale unui punct despre care se crede că este variabilă sunt adesea notate cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Punctele de pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ au comandat apoi $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ , în timp ce punctele de pe axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ au abscisa $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ; în consecință originea are coordonate $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ Și $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ . Uneori sistemul celor două axe este notat cu $SAU X y$ ${\ displaystyle Oxy}$ $Oxy$ .

Prin urmare, un punct generic poate fi exprimat prin scriere $\left(x;y\right)$ ${\ displaystyle \ left (x; y \ right)}$ $\ left (x; y \ right)$ sau $\langle x;y\rangle$ ${\ displaystyle \ langle x; y \ rangle}$ $\ langle x; y \ rangle$ . De exemplu, punctele $(2;3)$ ${\ displaystyle (2; 3)}$ ${\ displaystyle (2; 3)}$ Și $(2;5)$ ${\ displaystyle (2; 5)}$ ${\ displaystyle (2; 5)}$ au aceeași abscisă (prin urmare sunt pe o linie paralelă cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ), în timp ce punctele $(2;3)$ ${\ displaystyle (2; 3)}$ ${\ displaystyle (2; 3)}$ Și $(-1;3)$ ${\ displaystyle (-1; 3)}$ ${\ displaystyle (-1; 3)}$ au aceeași ordonată (prin urmare sunt pe o linie paralelă cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ). În special: dacă două puncte au aceeași abscisă, dar ordonate opuse, acestea sunt simetrice în raport cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ; dacă două puncte au aceeași ordonată, dar abscise opuse, acestea sunt simetrice față de axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ; dacă două puncte au coordonate opuse, acestea sunt simetrice față de origine.

Planul cartezian este împărțit în patru regiuni numite cadrane , indicate prin cifre romane progresive în sens invers acelor de ceasornic:

Cadrantul I: include punctele cu abscisă pozitivă și ordonată;
Cadrantul II: include puncte cu abscisă negativă și ordonată pozitivă;
Cadrantul III: include puncte cu abscisă negativă și ordonată;
Al patrulea cadran: include puncte cu abscisă pozitivă și ordonată negativă.

Planul cartezian vă permite să reprezentați grafic funcțiile de ecuație $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ in care $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este variabila independentă e $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ variabila dependentă. Acest lucru vă permite să vizualizați „forma” funcțiilor (sau curbelor) și să rezolvați grafic sisteme de ecuații multiple ca intersecții între curbele corespunzătoare.

Planul cartezian ca spațiu vectorial

Prin definiție, există o corespondență unu-la-unu între punctele planului cartezian și perechile ordonate de numere reale. Setul tuturor perechilor de numere reale, $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ e o $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ - spațiu vectorial . Baza canonică a $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ Și $E=\left(E_{1},E_{2}\right)$ ${\ displaystyle E = \ left (E_ {1}, E_ {2} \ right)}$ $E = \ left (E_ {1}, E_ {2} \ right)$ Unde $E_{1}=\left(1,0\right)$ ${\ displaystyle E_ {1} = \ left (1,0 \ right)}$ $E_ {1} = \ left (1,0 \ right)$ și $E_{2}=\left(0,1\right)$ ${\ displaystyle E_ {2} = \ left (0,1 \ right)}$ $E_ {2} = \ left (0,1 \ right)$ . Elementele $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ au o semnificație geometrică importantă: sunt versorii fundamentali pe plan, respectiv ${\vec {\imath }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ imath}}}$ ${\ vec {\ imath}}$ Și ${\vec {\jmath }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}$ ${\ vec {\ jmath}}$ . Aceasta înseamnă, prin definiția de bază a unui spațiu vectorial, că planul cartesian este generat de versorii fundamentali și că fiecare punct al planului poate fi exprimat, într-un mod unic , ca o combinație liniară a versorilor fundamentali (acest lucru justifică expresia punctelor planului cartezian). De asemenea, rețineți că fiecare axă carteziană este un subspatiu vectorial al planului cartesian.

Generalizare tridimensională

Primul octant al unui sistem de referință cartezian tridimensional, cu axa

X

{\ displaystyle x}

X

arătând spre privitor („iese” de pe ecran). Proiecțiile punctului de pe axă sunt evidențiate

z

{\ displaystyle z}

z

, in avion

X y

{\ displaystyle xy}

X y

și proiecțiile ulterioare pe cele două axe

X

{\ displaystyle x}

X

Și

y

{\ displaystyle y}

y

.

Prin adăugarea unei a treia dimensiuni la plan, obținem spațiul euclidian tridimensional, care este cea mai familiară modelare a spațiului fizic și cea utilizată în mecanica clasică : un sistem de axe cartesiene poate fi, prin urmare, utilizat ca sistem de referință pentru localizarea obiecte din spațiu., dându-i coordonate.

Fiind o generalizare directă a planului cartezian, un sistem de referință cartezian tridimensional este format din trei linii orientate perpendicular între ele și incidente într-un punct, numit originea axelor. Cei trei ași (numiți de obicei $x,\;y$ ${\ displaystyle x, \; y}$ ${\ displaystyle x, \; y}$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ) identificați trei planuri în spațiu ( $X y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ , $X z$ ${\ displaystyle xz}$ ${\ displaystyle xz}$ Și $y z$ ${\ displaystyle yz}$ ${\ displaystyle yz}$ ), care împart spațiul în opt octanți , asemănător celor patru cadrane formate de axele carteziene în două dimensiuni. Fiecare punct este identificat prin 3 coordonate, care reprezintă fiecare distanța punctului față de planul format de celelalte două.

Ca și în cazul planului, fiecare punct al spațiului tridimensional poate fi identificat de un vector în spațiul tridimensional (indicat ca $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ) și se exprimă ca o combinație liniară a celor trei unități vectoriale de bază, indicate în mod convențional cu ${\hat {\imath }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ imath}}}$ ${\ hat {\ imath}}$ , ${\hat {\jmath }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ jmath}}}$ ${\ hat {\ jmath}}$ Și ${\hat {k}}$ ${\ displaystyle {\ hat {k}}}$ ${\ hat {k}}$ :

{\vec {v}}=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} = x {\ hat {\ imath}} + y {\ hat {\ jmath}} + z {\ hat {k}}}

{\ vec {v}} = x {\ hat {\ imath}} + y {\ hat {\ jmath}} + z {\ hat {k}}

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ele reprezintă coordonatele la punctul din sistemul de referință format de bază $({\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}}\,\!)$ ${\ displaystyle ({\ hat {\ imath}}, {\ hat {\ jmath}}, {\ hat {k}} \, \!)}$ $({\ hat {\ imath}}, {\ hat {\ jmath}}, {\ hat {k}} \, \!)$ .

Geometrie analitică

Planul cartezian (și mai general sistemul cartezian de referință a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dimensiuni) permis să reconcilieze geometria și algebra într-o singură ramură a matematicii : geometria analitică (așa-numita din analiza matematică ). De exemplu, în plan cartezian o linie dreaptă reprezintă soluțiile unei ecuații de gradul I în două variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ de tipul $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + cu + c = 0$ ; intersecția a două (sau mai multe) linii reprezintă un sistem de ecuații liniare.

Formă explicită și formă implicită

Ecuațiile menționate mai sus pot fi exprimate în două forme: forma explicită și forma implicită.

De exemplu, în cazul unei linii drepte, prima constă dintr-o ecuație de tip $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ , în timp ce al doilea arată $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ $ax + cu + c = 0$ . Pentru a trece de la forma implicită la cea explicită, trebuie doar să aduceți toți termenii excluși $b y$ ${\ displaystyle by}$ ${\ displaystyle by}$ în al doilea membru și apoi împarte la b ( principiul echivalenței ecuațiilor ). Rețineți că, sub forma explicită, termenul este cunoscut $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , numită interceptare sau ordonată la origine, indică ordonata punctului de intersecție al liniei cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , în timp ce coeficientul necunoscutului $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , se numește coeficient unghiular și indică „panta” liniei drepte . Desigur, trecerea de la forma implicită la cea explicită este posibilă numai dacă coeficientul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este diferit de zero, adică numai dacă linia nu este paralelă cu axa ordonată.

Ecuația liniei

Același subiect în detaliu: Linie în plan cartezian .

Având în vedere două puncte distincte $A=(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle A = (x_ {1}, y_ {1})}$ ${\ displaystyle A = (x_ {1}, y_ {1})}$ Și $B=(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle B = (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle B = (x_ {2}, y_ {2})}$ , ecuația liniei care trece prin aceste puncte este: ${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} }$ ${\ displaystyle {\ frac {x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} }$ numit si $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este coeficientul unghiular dat de ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$ .

Notă

^ În general, liniile drepte nu trebuie să fie ortogonale între ele, dar sistemele ortogonale sunt în general mult mai ușor de utilizat.
^ Ludovico Geymonat, Istoria gândirii filosofice și științifice , Milano, Aldo Garzanti, 1970-1971.
^ "geometrie analitică". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online), 2008. Accesat la 08-02-2008.
^ ( FR ) Descartes, René, La Géométrie , p. Livre Premier: Des problèmes qu'on peut construire sans y employer that des cercles et des lines droites (Cartea întâi: Probleme a căror construcție necesită doar cercuri și linii drepte).

Bibliografie

(EN) David A. Brennan, Matthew F. Esplen și Jeremy J. Gray, Geometry, Cambridge, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59787-0 .
( EN ) James R. Smart, Modern Geometries (5th Ed) , Pacific Grove, Brooks / Cole, 1998, ISBN 0-534-35188-3 .
( FR ) Descartes, René , Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology , Trans. de Paul J. Oscamp, Revizuit, Indianapolis, IN, Editura Hackett, 2001, ISBN 0-87220-567-3 ,OCLC 488633510 .
( EN ) Korn GA, Korn TM,Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , 1st, New York, McGraw-Hill, 1961, pp. 55-79, LCCN 59-14456 ,OCLC 19959906 .
( EN ) Margenau H , Murphy GM, The Mathematics of Physics and Chemistry , New York, D. van Nostrand, 1956, LCCN 55-10911 .
( EN ) Moon P, Spencer DE, Rectangular Coordinates (x, y, z) , în Field Theory Handbook, incluzând sisteme de coordonate, ecuații diferențiale și soluțiile lor , corectat 2, 3 tipărit, New York, Springer-Verlag, 1988, pp. 9-11 (Tabelul 1.01), ISBN 978-0-387-18430-2 .
( EN ) Morse PM , Feshbach H , Methods of Theoretical Physics, Part I , New York, McGraw-Hill, 1953, ISBN 0-07-043316-X , LCCN 52-11515 .
( EL ) Sauer R, Szabó I, Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs , New York, Springer Verlag, 1967, LCCN 67-25285 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un sistem cartezian de referință

linkuri externe

( RO ) Construirea obiectelor de geometrie analitică , pe mygeometryteacher.com . Adus la 3 martie 2008 (arhivat din original la 15 septembrie 2017) .

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 61799 · GND (DE) 4370913-8

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] În general, liniile drepte nu trebuie să fie ortogonale între ele, dar sistemele ortogonale sunt în general mult mai ușor de utilizat.

[2] Ludovico Geymonat, Istoria gândirii filosofice și științifice , Milano, Aldo Garzanti, 1970-1971.

[3] "geometrie analitică". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online), 2008. Accesat la 08-02-2008.

[4] ( FR ) Descartes, René, La Géométrie , p. Livre Premier: Des problèmes qu'on peut construire sans y employer that des cercles et des lines droites (Cartea întâi: Probleme a căror construcție necesită doar cercuri și linii drepte).

[1]

[2]

[3]

[4]. ]