Planul proiectiv

În matematică planul proiectiv este o extensie a planului euclidian la care se adaugă o „linie necorespunzătoare”, poziționată ideal la infinit și în așa fel încât să o circumscrie. Extins în acest fel, planul devine un spațiu compact în care chiar și liniile paralele se întâlnesc într-un singur punct și acest punct de intersecție este plasat în mod ideal pe „linia necorespunzătoare”. Linia necorespunzătoare poate fi vizualizată ca linia văzută la orizont când un plan (euclidian) este reprezentat în perspectivă sau poate fi gândit ca o circumferință infinit îndepărtată care înconjoară întregul plan euclidian și ale cărui puncte antipodale sunt identificate în așa fel că liniile drepte paralele cu aceeași direcție au toate un singur punct de intersecție pe ea.

Planul proiectiv real este spațiul liniilor din R ³ care trec prin origine. Este o varietate diferențială neorientabilă bidimensională, adică o suprafață care nu poate fi scufundată fără auto-intersecție. Are o caracteristică Euler egală cu 1 și, prin urmare, un gen unitar.

În matematică planul proiectiv este indicat de P ² o $\mathbb {P} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ .

Modele matematice

Un model de plan proiectiv poate fi definit matematic în diferite moduri care asigură structuri izomorfe.

Sfera cotientului

Un model de plan proiectiv este prin considerarea sferei $S^{2}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ cufundat în spațiul euclidian tridimensional în care

definim punctele proiective ale planului proiectiv ca perechi de puncte antipodale pe sferă.
definim liniile proiective ale planului proiectiv toate cercurile mari care se află pe sferă (definiția este în concordanță cu cea anterioară, deoarece un cerc mare conține antipodul fiecăruia dintre punctele sale).

Acest lucru este echivalent cu considerarea pe sferă a relației de echivalență ~ care identifică punctele antipodale:

x\sim y\qquad \leftrightarrow \qquad x=y\,{\text{ oppure }}\,x=-y

{\ displaystyle x \ sim y \ qquad \ leftrightarrow \ qquad x = y \, {\ text {or}} \, x = -y}

{\ displaystyle x \ sim y \ qquad \ leftrightarrow \ qquad x = y \, {\ text {or}} \, x = -y}

și definiți planul proiectiv ca spațiul topologic coeficient

\mathbb {P} ^{2}:=S^{2}/\sim .

{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}: = S ^ {2} / \ sim.}

{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}: = S ^ {2} / \ sim.}

Sursa de lumină dispusă în centrul sferei proiectează planul proiectiv pe un plan prin trimiterea de linii proiective generice în linii și trimiterea liniei proiective paralele cu planul la infinit.

Este posibil să se definească o aplicație care trimite planul proiectiv $\mathbb {P} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ lipsit de o linie în planul euclidian în așa fel încât să trimită linii proiective în linii euclidiene. În acest scop, considerăm planul în spațiul tridimensional $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ tangent la sfera $S^{2}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ în „polul sud”. Putem asocia perechilor de puncte antipodale de pe sferă (care sunt puncte ale planului proiectiv) un punct al planului $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ identificată prin intersecția planului cu linia dreaptă care unește cele două puncte antipodale. Intuitiv este ca și cum am privi umbra produsă în plan de această pereche de puncte atunci când o sursă de lumină este plasată în centrul sferei. Cercurile maxime de pe sferă (corespunzătoare liniilor proiective ) sunt toate trimise în linii drepte pe plan $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

Această aplicație trimite toate punctele planului proiectiv pe plan $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ cu excepția punctelor aparținând cercului mare paralel cu planul (care într-un anumit sens sunt trimise la infinit). Dacă omitem acest cerc din domeniu, aplicația astfel definită este o corespondență unu-la-unu care face ca liniile din plan să corespundă liniilor proiective din planul proiectiv. Această construcție explică modul în care planul proiectiv poate fi văzut ca o extensie a planului euclidian.

Coordonate omogene

Același subiect în detaliu: coordonate omogene .

O pereche de puncte antipodale pe sferă $S^{2}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ identifică în mod unic o linie dreaptă în spațiul tridimensional care trece prin origine. Această linie poate fi identificată prin ecuații parametrice ale formei:

x=at,

{\ displaystyle x = at,}

{\ displaystyle x = at,}

y=bt,

{\ displaystyle y = bt,}

{\ displaystyle y = bt,}

z=ct,\quad {\text{con}}\quad t\in \mathbb {R} ,

{\ displaystyle z = ct, \ quad {\ text {cu}} \ quad t \ in \ mathbb {R},}

{\ displaystyle z = ct, \ quad {\ text {cu}} \ quad t \ in \ mathbb {R},}

unde coeficienții $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ nu sunt toate nule și din familia de ecuații infinite care se obțin prin înmulțirea tuturor coeficienților cu același factor nenul.

Aceasta înseamnă că planul proiectiv poate fi reprezentat de tripluri ale coeficienților $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ nu zero identificând între ele triplele care diferă într-o constantă de proporționalitate. Acest lucru este echivalent cu luarea în considerare a setului de coeficient de $\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus \left\{O\right\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ smallsetminus \ left \ {O \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ smallsetminus \ left \ {O \ right \}}$ în ceea ce privește relația de echivalență

(a,b,c)\sim (a',b',c')\quad \leftrightarrow \quad {\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}.

{\ displaystyle (a, b, c) \ sim (a ', b', c ') \ quad \ leftrightarrow \ quad {\ frac {a} {a'}} = {\ frac {b} {b '} } = {\ frac {c} {c '}}.}

{\ displaystyle (a, b, c) \ sim (a ', b', c ') \ quad \ leftrightarrow \ quad {\ frac {a} {a'}} = {\ frac {b} {b '} } = {\ frac {c} {c '}}.}

Setul de coeficient $\left(\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus \left\{O\right\}\right)/\sim$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^ {3} \ smallsetminus \ left \ {O \ right \} \ right) / \ sim}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^ {3} \ smallsetminus \ left \ {O \ right \} \ right) / \ sim}$ identifică un sistem de coordonate pentru planul proiectiv care se numesc coordonate omogene .

Clasa de echivalență a triadei $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ este indicat prin scris

[x,y,z]\quad {\text{oppure}}\quad [x:y:z]\quad {\text{oppure}}\quad (x:y:z).

{\ displaystyle [x, y, z] \ quad {\ text {or}} \ quad [x: y: z] \ quad {\ text {or}} \ quad (x: y: z).}

{\ displaystyle [x, y, z] \ quad {\ text {or}} \ quad [x: y: z] \ quad {\ text {or}} \ quad (x: y: z).}

Proprietăți topologice

Topologia naturală pentru planul proiectiv P ^2, definită ca o sferă coeficientă, se obține luând în considerare topologia coeficientului sferei în raport cu relația de echivalență definită în ea.

Același spațiu topologic (cu excepția homeomorfismelor ) poate fi obținut prin considerarea unui pătrat și lipirea laturilor opuse în versurile indicate în figură (adică prin identificarea punctelor antipodale în raport cu centrul pătratului).

Planul proiectiv are următoarele proprietăți topologice:

este un spațiu compact și conectat ;
este dotat cu structura de suprafață topologică , adică local homeomorfă la planul euclidian R ² ;
ca suprafață planul proiectiv nu este orientabil , pentru a-l demonstra este suficient să observăm că în interiorul său este posibil să se identifice o bandă Moebius ;
întrucât planul proiectiv este compact și neorientabil (precum sticla Klein ) nu poate fi obținut ca o suprafață scufundată în spațiul euclidian tridimensional fără auto-intersecții;
acoperirea universală a planului proiectiv este harta S ² → P ² indusă de relația de echivalență antipodală;
grupul fundamental al planului proiectiv este dat de grupul a două elemente Z ₂ : acest lucru poate fi dovedit cu teorema Van Kampen sau rezultă din existența unei acoperiri universale de grad 2;
caracteristica sa Euler este 1;
genul său este 1.