Poligon

Unele poligoane: primele două sunt convexe , al treilea este concav , al patrulea este împletit și înstelat și concav

În geometrie, un poligon (din grecescul πολύς (polys, „mulți”) și γωνία (gōnia, „unghiul”) este o figură geometrică plană mărginită de o linie întreruptă închisă . Segmentele care alcătuiesc linia întreruptă închisă se numesc laturi a poligonului și a punctelor comune cu două laturi consecutive se numesc vârfuri ale poligonului.

Definiție

O definiție a unui poligon este după cum urmează.

Un poligon este partea planului delimitată de o linie întreruptă închisă.

Amintiți-vă că o linie întreruptă este un set finit și total ordonat de segmente, numite laturi, care sunt îngrijite consecutive și neadiacente. O linie întreruptă este închisă atunci când al doilea capăt al ultimului segment coincide cu primul capăt al primului. O linie întreruptă este simplă (sau nu împletită ) dacă două laturi nesuccesive, conform ordonării atribuite, nu se intersectează (în afară de prima și ultima parte care pot avea în comun prima și respectiv a doua extremă).

Punctul comun cu două laturi consecutive se numește vârf .

Pe partea delimitată

Faptul că o linie întreruptă neîntoarsă delimitează de fapt o porțiune a unui plan este, deși intuitivă, un rezultat non-banal al geometriei planului : este o consecință a teoremei curbei Jordan .

O definiție constructivă este următoarea: un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a planului aparține poligonului dacă (cu cel mult un număr finit de excepții) toate razele care ies din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ intersectează linia întreruptă într-un număr finit și impar de puncte distincte.

Clasificare

Numărul de laturi

O primă clasificare a unui poligon se referă la numărul său de laturi (vezi numele poligonului ).

Convexitate

Un poligon este:

simplu: dacă laturile poligonului nu se intersectează.
complex (sau împletit): Un poligon interconectat.
dacă nu este ușor.

Un poligon simplu este:

convex: dacă fiecare unghi intern este mai mic sau egal cu un unghi plat (sau, echivalent, dacă extensia imaginară a fiecărui segment care unește două dintre vârfurile sale iese în afara poligonului).
concav: dacă chiar un unghi intern este mai mare decât $180^{\circ }$ ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ $180 ^ {\ circ}$ (sau, echivalent, dacă extensia imaginară a unuia sau mai multor segmente se încadrează în poligon).

Simetrie cu egalitate

Pe baza simetriei, un poligon este:

echilateral: dacă toate laturile sale sunt la fel.
echiangular: dacă toate unghiurile sale sunt egale.
ciclic: dacă toate vârfurile sale se află pe o singură circumferință.
regulat: dacă este convex, echilateral și echiangular (sau, echivalent, dacă este ciclic și echilateral).
neregulat: dacă nu este regulat.

Proprietate

Colțuri

Un poligon neregulat

Suma unghiurilor interne ale unui poligon este egală cu atâtea unghiuri plate cât sunt laturile sale ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), minus doi

180^{\circ }\times (n-2).

{\ displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times (n-2).}

{\ displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times (n-2).}

De exemplu, poligonul din figură are cinci laturi și, prin urmare:

\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon =(5-2)\times 180^{\circ }=540^{\circ }.

{\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon = (5-2) \ times 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}.}

\ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon = (5-2) \ times 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}.

Dovada se poate face prin inducție : într-un triunghi suma unghiurilor este $180^{\circ }$ ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ $180 ^ {\ circ}$ , și luând orice poligon, una dintre diagonale îl împarte în alte două poligoane cu un număr mai mic de laturi, deci poate fi utilizată ipoteza inductivă.

Suma unghiurilor exterioare ale unui poligon convex cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile este egal cu

(360^{\circ }\times n)-[180^{\circ }\times (n-2)]=180^{\circ }\times (n+2).

{\ displaystyle (360 ^ {\ circ} \ times n) - [180 ^ {\ circ} \ times (n-2)] = 180 ^ {\ circ} \ times (n + 2).}

(360 ^ {\ circ} \ times n) - [180 ^ {\ circ} \ times (n-2)] = 180 ^ {\ circ} \ times (n + 2).

Deoarece suma tuturor unghiurilor externe și interne este evident egală cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori un unghi rotund: scăzând suma celor interne din total, vom avea suma celor externe.

Zonă

Cu formula zonei Gauss este posibil să se calculeze aria unui poligon cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vârfuri având coordonate carteziene $(x_{i};y_{i})_{i=1,\ldots ,n}$ ${\ displaystyle (x_ {i}; y_ {i}) _ {i = 1, \ ldots, n}}$ $(x_ {i}; y_ {i}) _ {{i = 1, \ ldots, n}}$ în felul următor:

A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}\right|

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i + 1} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i + 1} y_ {i} \ right |}

A = {\ frac {1} {2}} \ left | \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} x_ {i} y _ {{i + 1}} - \ sum _ {{ i = 1}} ^ {{n}} x _ {{i + 1}} y_ {i} \ right |

cu acordul că $(x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {n + 1}; y_ {n + 1}) = (x_ {1}; y_ {1})}$ $(x _ {{n + 1}}; y _ {{n + 1}}) = (x_ {1}; y_ {1})$ .

Cu această formulă putem obține o suprafață a oricărei figuri plane prin coordonatele vârfurilor sale. Este o formulă larg utilizată în topografie și trigonometrie.

Numele poligonului

Distincție pe baza numărului de laturi și, prin urmare, a unghiurilor:

N ° laturi	Nume
3	Triunghi
4	Patrulater
5	Pentagon
6	Hexagon
7	Heptagon
8	Octogon
9	Ennagono
10	Decagon
11	Endecagon
12	Dodecagon
13	Tridecagon
14	Tetradecagon
15	Pentadecagonul
16	Hexadecagon
17	Heptadecagon
18	Octadecagon
19	Ennadecagon
20	Icosagon
21	Endeicosagon
22	Doicosagono
23	Triaicosagon
24	Tetraicosagon
25	Pentaicosagon
26	Hexaicosagon
27	Heptaicosagon
28	Octaicosagono
29	Ennaicosagono
30	Triacontagon
36	Hexatriacontagon
40	Tetracontagon
45	Pentatetracontagon
48	Octatetracontagon
50	Pentacontagon
60	Hexacontagon
70	Heptacontagon
72	Doeptacontagon
80	Octacontagon
90	Ennacontagono
99	Ennacontacaiennagono
100	Hectogono
257	257-gono
1 000	Chiliagono
10 000	Miriagono
65537	65537-gono

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe poligon

linkuri externe

( EN )Polygon , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( FR ) poligoane, poliedre și politopi de la Mathcurve , Encyclopédie des formes Mathématiques remarquables
( EN ) LA Sidorov,Poligon , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 6803 · LCCN (EN) sh85104637 · GND (DE) 4175197-8 · BNF (FR) cb12266998h (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Poligoane
Poligoane după numărul de laturi	Triunghi (3) · Cadrilater (4) · Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagonon (7) · Octagon (8) · nonagon (9) · Decagon (10) · hendecagon (11) · Dodecagon (12) · tridecagon (13) · tetradecagon (14) · pentadecagon (15) · hexadecagon (16) · heptadecagon (17) · octadecagon (18) · enneadecagon (19) · icosagon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontagon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · chiliagon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triunghiuri	Bazat pe laturi: Triunghi echilateral · Triunghi isoscel · Triunghi scalen · Conform unghiurilor: Triunghi dreptunghiular · Triunghi ascuțit · Triunghi obuz
Cadrilaterale	Pătrat · dreptunghi · Paralelogram · Rhombus · Trapez · Kite
Poligoane stelare	Pentagramă · Hexagramă · Eptagramma · Ottagramma · Eneagramă · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Alții	Poligon regulat · Poligon echilateral · Poligon echivalen