Poligon regulat

Pentagon regulat înscris într-o circumferință.

C = centrul circumferinței circumscrise,
V = un vârf al poligonului,
L = o parte a poligonului,
d = o diagonală a poligonului,
r = o rază a circumferinței circumscrise,
a = o apotemă a poligonului.

Un poligon regulat este un poligon convex care este simultan echilateral (adică are toate laturile congruente între ele) și echiangulare (adică are toate unghiurile congruente între ele). Adică este o porțiune convexă a unui plan euclidian delimitat de o linie întreruptă închisă , formată dintr-o succesiune de segmente de lungime egală (numite laturi ), care formează unghiuri de lățime egală între ele. Numele poligon identifică o pluralitate ( poli ) de unghiuri ( gonos ), iar termenul regulat implică egalitatea lor. Ca în orice poligon, numărul laturilor coincide cu numărul de unghiuri și cu numărul de vârfuri , în plus, astfel încât porțiunea planului identificată de acest segment să nu fie zero, trebuie să existe cel puțin 3 laturi.

Un poligon regulat cu 3 unghiuri este definit ca un triunghi echilateral , cu 4 pătrate , cu 5 pentagon regulat , cu 6 hexagon regulat și continuăm cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ unghiuri punând prefixul care identifică numărul de unghiuri înainte de sufixul - gono urmat de termenul regulat pentru a marca distincția cu un poligon generic.

Primele proprietăți

Construcție cu rigla și busola unui hexagon obișnuit

Fiecare poligon regulat cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile pot fi inscripționate și circumscrise în două circumferințe , de fapt prin trasarea bisectoarelor unghiurilor interne pe care le obținem $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ triunghiuri isosceli toate congruente și cu un vârf comun, care este, prin urmare, centrul acestor cercuri.

Un poligon regulat este simetric față de orice linie care trece printr-un vârf și centru. Prin urmare, există exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ axe de simetrie ; dacă atunci numărul de laturi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este egal, atunci centrul este centrul de simetrie pentru poligon. În plus față de aceste simetrii, există și alte transformări liniare care lasă neschimbat poligonul, adică rotațiile față de centrul mai multor unghiuri de $360^{\circ }/n$ ${\ displaystyle 360 ^ {\ circ} / n}$ $360 ^ \ circ / n$ . Mulțimea tuturor acestor transformări formează un grup, grupul diedric de ordine $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ .

Fiecare colț interior al unui poligon are o lățime egală cu $(1-2/n)\cdot 180^{\circ }$ ${\ displaystyle (1-2 / n) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$ $(1-2 / n) \ cdot 180 ^ \ circ$ , prin urmare suma unghiurilor interne este $(n-2)\cdot 180^{\circ }$ ${\ displaystyle (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$ $(n-2) \ cdot 180 ^ \ circ$ . Unghiurile exterioare măsoară în schimb $360^{\circ }/n$ ${\ displaystyle 360 ^ {\ circ} / n}$ $360 ^ \ circ / n$ și, prin urmare, suma lor constă dintr-un unghi de $360^{\circ }$ ${\ displaystyle 360 ^ {\ circ}}$ $360 ^ \ circ$ .

Nu toți poligoanele obișnuite sunt construibile cu rigla și busola , se arată că o condiție necesară și suficientă pentru ca acest lucru să se întâmple este că factorii primi impari ai numărului de laturi sunt primii Fermat distincti. În special, triunghiul echilateral, pătratul, pentagonul și hexagonul regulat pot fi construite cu o linie și o busolă, în timp ce hexagonul regulat nu este.

Colțuri

α = unghi în centru,
β = unghiul intern,
γ = unghiul extern.

Din moment ce $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ triunghiurile isoscel în care poligonul poate fi descompus sunt toate congruente, este clar că fiecare colț din centru $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ are lățime

\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}.

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {n}}.}

\ alpha = \ frac {360 ^ \ circ} {n}.

În consecință, întrucât unghiurile de la baza unor astfel de triunghiuri isoscele au o amplitudine care este jumătate din fiecare unghi intern $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , avem asta

\beta =2\cdot {\frac {\beta }{2}}=180^{\circ }-\alpha =\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot 180^{\circ },

{\ displaystyle \ beta = 2 \ cdot {\ frac {\ beta} {2}} = 180 ^ {\ circ} - \ alpha = \ left (1 - {\ frac {2} {n}} \ right) \ cdot 180 ^ {\ circ},}

\ beta = 2 \ cdot \ frac \ beta 2 = 180 ^ \ circ- \ alpha = \ left (1- \ frac {2} {n} \ right) \ cdot 180 ^ \ circ,

în timp ce fiecare colț exterior $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ are lățime

\gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}=\alpha .

{\ displaystyle \ gamma = 180 ^ {\ circ} - \ beta = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {n}} = \ alpha.}

\ gamma = 180 ^ \ circ- \ beta = \ frac {360 ^ \ circ} {n} = \ alpha.

Deoarece numărul unghiurilor interne, externe și centrale este întotdeauna $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , rezultă că suma unghiurilor interioare este

n\beta =\left(n-2\right)\cdot 180^{\circ },

{\ displaystyle n \ beta = \ left (n-2 \ right) \ cdot 180 ^ {\ circ},}

n \ beta = \ left (n-2 \ right) \ cdot 180 ^ \ circ,

în timp ce suma sumei unghiurilor din centru (sau, echivalent, a unghiurilor externe) este

n\alpha =n\gamma =360^{\circ }.

{\ displaystyle n \ alpha = n \ gamma = 360 ^ {\ circ}.}

n \ alpha = n \ gamma = 360 ^ \ circ.

Apotem

Fiecare poligon regulat poate fi înscris și circumscris în două cercuri concentrice. Raza cercului înscris se numește apotemă și, în mod clar, coincide cu distanța de la centrul oricărei părți a poligonului. Este ușor să se obțină o relație între apotemă și raza circumferinței circumscrise. Într-adevăr, din moment ce părțile egale ale fiecăruia dintre $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ triunghiurile isoscel care alcătuiesc poligonul sunt raze ale circumferinței circumscrise și că unghiurile de la bază au amplitudine $\beta /2$ ${\ displaystyle \ beta / 2}$ $\ beta / 2$ , se dovedește că apotema (care coincide cu înălțimea acestor triunghiuri) măsoară

a=r\sin {\frac {\beta }{2}}=r\sin \left(90^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{n}}\right)=r\,\cos {\frac {180^{\circ }}{n}},

{\ displaystyle a = r \ sin {\ frac {\ beta} {2}} = r \ sin \ left (90 ^ {\ circ} - {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} \ right ) = r \, \ cos {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}},}

a = r \ sin \ frac {\ beta} {2} = r \ sin \ left (90 ^ \ circ- \ frac {180 ^ \ circ} {n} \ right) = r \, \ cos \ frac {180 ^ \ circ} {n},

Unde $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este raza circumferinței circumscrise. Exprimarea apotemei în funcție de latură $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ din poligon (precum și baza triunghiului isoscel), avem

a={\frac {l}{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}={\frac {l}{2}}\tan \left(90^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{n}}\right)={\frac {l}{2}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}.

{\ displaystyle a = {\ frac {l} {2}} \ tan {\ frac {\ beta} {2}} = {\ frac {l} {2}} \ tan \ left (90 ^ {\ circ} - {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} \ right) = {\ frac {l} {2}} \ cot {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}.}

a = \ frac l 2 \ tan \ frac \ beta 2 = \ frac l 2 \ tan \ left (90 ^ \ circ- \ frac {180 ^ \ circ} {n} \ right) = \ frac l 2 \ cot \ frac {180 ^ \ circ} {n}.

Din aceste două ecuații este, de asemenea, posibil să se obțină raza circumferinței circumscrise în funcție de latură:

r={\frac {l}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}.

{\ displaystyle r = {\ frac {l} {2 \ sin {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}}}.}

r = \ frac l {2 \ sin \ frac {180 ^ \ circ} {n}}.

Perimetru și zonă

Perimetrul $P_{n}$ ${\ displaystyle P_ {n}}$ $P_ {n}$ este definit ca lungimea liniei care delimitează poligonul. În mod clar se dovedește

P_{n}=nl,

{\ displaystyle P_ {n} = nl,}

P_n = nl,

sau, de asemenea, folosind formulele din secțiunea anterioară,

P_{n}=2nr\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}=2na\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}.

{\ displaystyle P_ {n} = 2nr \ sin {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} = 2na \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}.}

{\ displaystyle P_ {n} = 2nr \ sin {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} = 2na \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}.}

Pentru a calcula aria unui poligon regulat pur și simplu înmulțiți cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ aria triunghiurilor isosceli care o compun. Prin urmare, deoarece aceste triunghiuri au o latură ca bază și apotema ca înălțime, poligonul regulat al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile are suprafață

A_{n}=n{\frac {al}{2}}={\frac {nl^{2}}{4}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}},

{\ displaystyle A_ {n} = n {\ frac {al} {2}} = {\ frac {nl ^ {2}} {4}} \ cot {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n} },}

A_n = n \ frac {a l} 2 = \ frac {n l ^ 2} 4 \ cot \ frac {180 ^ \ circ} {n},

sau, echivalent,

A_{n}=nr^{2}\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}\cdot \cos {\frac {180^{\circ }}{n}}={\frac {nr^{2}}{2}}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}}=na^{2}\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}.

{\ displaystyle A_ {n} = nr ^ {2} \ sin {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} \ cdot \ cos {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} = {\ frac {nr ^ {2}} {2}} \ sin {\ frac {360 ^ {\ circ}} {n}} = na ^ {2} \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}.}

{\ displaystyle A_ {n} = nr ^ {2} \ sin {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} \ cdot \ cos {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} = {\ frac {nr ^ {2}} {2}} \ sin {\ frac {360 ^ {\ circ}} {n}} = na ^ {2} \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}.}

Rețineți că pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care tinde spre infinit , zona tinde spre

\lim _{n\to +\infty }A_{n}=\pi r^{2},

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} A_ {n} = \ pi r ^ {2},}

\ lim_ {n \ to + \ infty} A_n = \ pi r ^ 2,

deoarece

\lim _{n\to +\infty }n\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}=\pi ,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} n \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} = \ pi,}

\ lim_ {n \ to + \ infty} n \ tan \ frac {180 ^ \ circ} {n} = \ pi,

care nu este alta decât aria cercului circumscris, confirmând astfel intuiția că pe măsură ce crește numărul laturilor, poligonul „umple” cercul circumscris. În mod similar, constatăm că

\lim _{n\to +\infty }P_{n}=2\pi r,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} P_ {n} = 2 \ pi r,}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} P_ {n} = 2 \ pi r,}

atâta timp cât

\lim _{n\to +\infty }n\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}=\pi .

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} n \ sin {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} = \ pi.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} n \ sin {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} = \ pi.}

Pentagon, hexagon și decagon

Laturile AC ale Pentagonului, BC ale Hexagonului și AB ale Decagonului regulat, inscripționate în cercuri cu rază egală, formează laturile unui triunghi dreptunghiular

În cartea XIII a Elementelor sale, Euclid demonstrează următoarea propoziție:

„Dacă un pentagon echilateral este înscris într-un cerc, pătratul laturii pentagonului este egal cu suma pătratelor laturilor hexagonului și decagonului regulat care sunt înscrise în același cerc.”

Euclid oferă o lungă explicație geometrică a acestei propoziții, dar aici ne vom limita la o verificare care poate fi obținută prin cunoașterea lungimii laturilor și aplicarea teoremei lui Pitagora . Presupunând că cercul în care sunt înscriși poligoanele are o rază unitară, formulele care exprimă lungimile laturii $L_{5}$ ${\ displaystyle L_ {5}}$ $L_5$ al pentagonului, $L_{6}$ ${\ displaystyle L_ {6}}$ $L_6$ hexagon e $L_{10}$ ${\ displaystyle L_ {10}}$ $L_ {10}$ din decagon, sunt următoarele:

$L_{5}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}};$ ${\ displaystyle L_ {5} = {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {2}};}$ $L_5 = \ frac {\ sqrt {10-2 \ sqrt {5}}} {2};$
$L_{6}=1;$ ${\ displaystyle L_ {6} = 1;}$ $L_6 = 1;$
$L_{10}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.$ ${\ displaystyle L_ {10} = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}.}$ $L_ {10} = \ frac {\ sqrt {5} -1} {2}.$

Atunci:

{\sqrt {L_{6}^{2}+L_{10}^{2}}}={\sqrt {1^{2}+\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {5}{4}}-{\frac {2{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\sqrt {{\frac {10}{4}}-{\frac {2{\sqrt {5}}}{4}}}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}=L_{5}

{\ displaystyle {\ sqrt {L_ {6} ^ {2} + L_ {10} ^ {2}}} = {\ sqrt {1 ^ {2} + \ left ({\ frac {{\ sqrt {5} } -1} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + {\ frac {5} {4}} - {\ frac {2 {\ sqrt {5}}} {4 }} + {\ frac {1} {4}}}} = {\ sqrt {{\ frac {10} {4}} - {\ frac {2 {\ sqrt {5}}} {4}}}} = {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {2}} = L_ {5}}

\ sqrt {L_6 ^ 2 + L_ {10} ^ 2} = \ sqrt {1 ^ 2 + \ left (\ frac {\ sqrt {5} -1} {2} \ right) ^ 2} = \ sqrt {1 + \ frac {5} {4} - \ frac {2 \ sqrt {5}} {4} + \ frac {1} {4}} = \ sqrt {\ frac {10} {4} - \ frac {2 \ sqrt {5}} {4}} = \ frac {\ sqrt {10-2 \ sqrt {5}}} {2} = L_5

Prin urmare, deoarece suma pătratelor laturilor hexagonului și ale decagonului dă pătratul laturii pentagonului, rezultă că latura pentagonului este hipotenuză a unui triunghi dreptunghic ale cărui picioare sunt laturile hexagonului și decagonul.

Tabel rezumat

Construcție regulată de pentagon

Construcție aproximativă a hexagonului obișnuit

NB: Dacă vă gândiți la un poligon cu un număr foarte mare de laturi, unghiul intern al poligonului respectiv tinde să devină plat, latura tinde să devină nulă, iar zona este mai aproape de pi .

Numărul de laturi, unghiuri și vârfuri	Poligon	Unghi de interior	Partea ^[1]	Zona ^[1]	Animație: construcție cu rigla și busola
3	Triunghi echilateral	60 °	√3≅1.732	3/4 · √3≅1.299	Construcție exactă
4	Pătrat	90 °	√2≅1.414	2	Construcție exactă
5	Pentagon	108 °	≅1.176	≅2.378	Construcție exactă
6	Hexagon	120 °	1	3/2 · √3≅2.598	Construcție exactă
7	Heptagon	≅128,57 °	.80.868	≅2.736	Construcție aproximativă
8	Octogon	135 °	≅0.765	2√2≅2.828	Construcție exactă
9	Ennagono	140 °	≅0.684	.82.893	Construcție aproximativă
10	Decagon	144 °	≅0.618	.92.939	Construcție exactă
11	Endecagon	≅147,27 °	≅0.563	.92.974	Construcție aproximativă
12	Dodecagon	150 °	≅0.518	3	Construcție exactă
13	Tridecagon	≅152,31 °	≅0.479	≅3.021	Construcție aproximativă
14	Tetradecagon	≅154,29 °	≅0.445	≅3.037	Construcție aproximativă
15	Pentadecagonul	156 °	≅0.416	≅3.051	Construcție exactă
16	Hexadecagon	157,5 °	≅0.390	,03.061	Construcție exactă
17	Hectadecagon	≅158,82 °	≅0.367	,03.071	Construcție exactă 34-gono , 51-gono 85-gono , 255-gono
18	Octadecagon	160 °	≅0.347	3.078	Construcție aproximativă
19	Ennadecagon	≅161,05 °	≅0.329	≅3.085	Construcție aproximativă
20	Icosagon	162 °	≅0.313	≅3.090	Construcție exactă
257	257-gono	178,6 °	≅0.024	≅3.141	Construcție exactă
65537	65537-gono	179,9945 °	≅0.000096	≅3.1416	Construcție parțială

Notă

^ ^a ^b Referit la poligonul regulat cu o rază circumscrisă de unul.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe poligon obișnuit

linkuri externe

( EN ) Poligon regulat , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[raggio-1] Referit la poligonul regulat cu o rază circumscrisă de unul.

[1]

V · D · M Poligoane
Poligoane după numărul de laturi	Triunghi (3) · Cadrilater (4) · Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagonon (7) · Octagon (8) · nonagon (9) · Decagon (10) · hendecagon (11) · Dodecagon (12) · tridecagon (13) · tetradecagon (14) · pentadecagon (15) · hexadecagon (16) · heptadecagon (17) · octadecagon (18) · enneadecagon (19) · icosagon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontagon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · chiliagon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triunghiuri	Bazat pe laturi: Triunghi echilateral · Triunghi isoscel · Triunghi scalen · Conform unghiurilor: Triunghi dreptunghiular · Triunghi ascuțit · Triunghi obuz
Cadrilaterale	Pătrat · dreptunghi · Paralelogram · Rhombus · Trapez · Kite
Poligoane stelare	Pentagramă · Hexagramă · Eptagramma · Ottagramma · Eneagramă · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Alții	Poligon regulat · Poligon echilateral · Poligon echivalen