Poligon regulat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Pentagon regulat înscris într-o circumferință.
  • C = centrul circumferinței circumscrise,
  • V = un vârf al poligonului,
  • L = o parte a poligonului,
  • d = o diagonală a poligonului,
  • r = o rază a circumferinței circumscrise,
  • a = o apotemă a poligonului.

Un poligon regulat este un poligon convex care este simultan echilateral (adică are toate laturile congruente între ele) și echiangulare (adică are toate unghiurile congruente între ele). Adică este o porțiune convexă a unui plan euclidian delimitat de o linie întreruptă închisă , formată dintr-o succesiune de segmente de lungime egală (numite laturi ), care formează unghiuri de lățime egală între ele. Numele poligon identifică o pluralitate ( poli ) de unghiuri ( gonos ), iar termenul regulat implică egalitatea lor. Ca în orice poligon, numărul laturilor coincide cu numărul de unghiuri și cu numărul de vârfuri , în plus, astfel încât porțiunea planului identificată de acest segment să nu fie zero, trebuie să existe cel puțin 3 laturi.

Un poligon regulat cu 3 unghiuri este definit ca un triunghi echilateral , cu 4 pătrate , cu 5 pentagon regulat , cu 6 hexagon regulat și continuăm cu unghiuri punând prefixul care identifică numărul de unghiuri înainte de sufixul - gono urmat de termenul regulat pentru a marca distincția cu un poligon generic.

Primele proprietăți

Construcție cu rigla și busola unui hexagon obișnuit

Fiecare poligon regulat cu laturile pot fi inscripționate și circumscrise în două circumferințe , de fapt prin trasarea bisectoarelor unghiurilor interne pe care le obținem triunghiuri isosceli toate congruente și cu un vârf comun, care este, prin urmare, centrul acestor cercuri.

Un poligon regulat este simetric față de orice linie care trece printr-un vârf și centru. Prin urmare, există exact axe de simetrie ; dacă atunci numărul de laturi este egal, atunci centrul este centrul de simetrie pentru poligon. În plus față de aceste simetrii, există și alte transformări liniare care lasă neschimbat poligonul, adică rotațiile față de centrul mai multor unghiuri de . Mulțimea tuturor acestor transformări formează un grup, grupul diedric de ordine .

Fiecare colț interior al unui poligon are o lățime egală cu , prin urmare suma unghiurilor interne este . Unghiurile exterioare măsoară în schimb și, prin urmare, suma lor constă dintr-un unghi de .

Nu toți poligoanele obișnuite sunt construibile cu rigla și busola , se arată că o condiție necesară și suficientă pentru ca acest lucru să se întâmple este că factorii primi impari ai numărului de laturi sunt primii Fermat distincti. În special, triunghiul echilateral, pătratul, pentagonul și hexagonul regulat pot fi construite cu o linie și o busolă, în timp ce hexagonul regulat nu este.

Colțuri

α = unghi în centru,
β = unghiul intern,
γ = unghiul extern.

Din moment ce triunghiurile isoscel în care poligonul poate fi descompus sunt toate congruente, este clar că fiecare colț din centru are lățime

În consecință, întrucât unghiurile de la baza unor astfel de triunghiuri isoscele au o amplitudine care este jumătate din fiecare unghi intern , avem asta

în timp ce fiecare colț exterior are lățime

Deoarece numărul unghiurilor interne, externe și centrale este întotdeauna , rezultă că suma unghiurilor interioare este

în timp ce suma sumei unghiurilor din centru (sau, echivalent, a unghiurilor externe) este

Apotem

Fiecare poligon regulat poate fi înscris și circumscris în două cercuri concentrice. Raza cercului înscris se numește apotemă și, în mod clar, coincide cu distanța de la centrul oricărei părți a poligonului. Este ușor să se obțină o relație între apotemă și raza circumferinței circumscrise. Într-adevăr, din moment ce părțile egale ale fiecăruia dintre triunghiurile isoscel care alcătuiesc poligonul sunt raze ale circumferinței circumscrise și că unghiurile de la bază au amplitudine , se dovedește că apotema (care coincide cu înălțimea acestor triunghiuri) măsoară

Unde este raza circumferinței circumscrise. Exprimarea apotemei în funcție de latură din poligon (precum și baza triunghiului isoscel), avem

Din aceste două ecuații este, de asemenea, posibil să se obțină raza circumferinței circumscrise în funcție de latură:

Perimetru și zonă

Perimetrul este definit ca lungimea liniei care delimitează poligonul. În mod clar se dovedește

sau, de asemenea, folosind formulele din secțiunea anterioară,

Pentru a calcula aria unui poligon regulat pur și simplu înmulțiți cu aria triunghiurilor isosceli care o compun. Prin urmare, deoarece aceste triunghiuri au o latură ca bază și apotema ca înălțime, poligonul regulat al laturile are suprafață

sau, echivalent,

Rețineți că pentru care tinde spre infinit , zona tinde spre

deoarece

care nu este alta decât aria cercului circumscris, confirmând astfel intuiția că pe măsură ce crește numărul laturilor, poligonul „umple” cercul circumscris. În mod similar, constatăm că

atâta timp cât

Pentagon, hexagon și decagon

Laturile AC ale Pentagonului, BC ale Hexagonului și AB ale Decagonului regulat, inscripționate în cercuri cu rază egală, formează laturile unui triunghi dreptunghiular

În cartea XIII a Elementelor sale, Euclid demonstrează următoarea propoziție:

„Dacă un pentagon echilateral este înscris într-un cerc, pătratul laturii pentagonului este egal cu suma pătratelor laturilor hexagonului și decagonului regulat care sunt înscrise în același cerc.”

Euclid oferă o lungă explicație geometrică a acestei propoziții, dar aici ne vom limita la o verificare care poate fi obținută prin cunoașterea lungimii laturilor și aplicarea teoremei lui Pitagora . Presupunând că cercul în care sunt înscriși poligoanele are o rază unitară, formulele care exprimă lungimile laturii al pentagonului, hexagon e din decagon, sunt următoarele:

Atunci:

Prin urmare, deoarece suma pătratelor laturilor hexagonului și ale decagonului dă pătratul laturii pentagonului, rezultă că latura pentagonului este hipotenuză a unui triunghi dreptunghic ale cărui picioare sunt laturile hexagonului și decagonul.

Tabel rezumat

Construcție regulată de pentagon
Construcție aproximativă a hexagonului obișnuit

NB: Dacă vă gândiți la un poligon cu un număr foarte mare de laturi, unghiul intern al poligonului respectiv tinde să devină plat, latura tinde să devină nulă, iar zona este mai aproape de pi .

Numărul de laturi,
unghiuri și vârfuri
Poligon Desen Unghi
de interior
Partea [1] Zona [1] Animație: construcție
cu rigla și busola
3 Triunghi
echilateral
Triunghi regulat.svg 60 ° √3≅1.732 3/4 · √3≅1.299 Construcție exactă
4 Pătrat Patrulater regulat.svg 90 ° √2≅1.414 2 Construcție exactă
5 Pentagon Pentagon.svg 108 ° ≅1.176 ≅2.378 Construcție exactă
6 Hexagon Hexagon.svg 120 ° 1 3/2 · √3≅2.598 Construcție exactă
7 Heptagon Heptagon.svg ≅128,57 ° .80.868 ≅2.736 Construcție aproximativă
8 Octogon Octagon.svg 135 ° ≅0.765 2√2≅2.828 Construcție exactă
9 Ennagono Nonagon.svg 140 ° ≅0.684 .82.893 Construcție aproximativă
10 Decagon Decagon.svg 144 ° ≅0.618 .92.939 Construcție exactă
11 Endecagon Hendecagon.svg ≅147,27 ° ≅0.563 .92.974 Construcție aproximativă
12 Dodecagon Dodecagon.svg 150 ° ≅0.518 3 Construcție exactă
13 Tridecagon Triskaidecagon.svg ≅152,31 ° ≅0.479 ≅3.021 Construcție aproximativă
14 Tetradecagon Regular tetradecagon.svg ≅154,29 ° ≅0.445 ≅3.037 Construcție aproximativă
15 Pentadecagonul Pentadecagon.svg 156 ° ≅0.416 ≅3.051 Construcție exactă
16 Hexadecagon Hexadecagon regulat.svg 157,5 ° ≅0.390 ,03.061 Construcție exactă
17 Hectadecagon Heptadecagon.svg ≅158,82 ° ≅0.367 ,03.071 Construcție exactă
34-gono , 51-gono
85-gono , 255-gono
18 Octadecagon Regular octadecagon.svg 160 ° ≅0.347 3.078 Construcție aproximativă
19 Ennadecagon Regular enneadecagon.svg ≅161,05 ° ≅0.329 ≅3.085 Construcție aproximativă
20 Icosagon Icosagon.svg 162 ° ≅0.313 ≅3.090 Construcție exactă
257 257-gono 178,6 ° ≅0.024 ≅3.141 Construcție exactă
65537 65537-gono 179,9945 ° ≅0.000096 ≅3.1416 Construcție parțială

Notă

  1. ^ a b Referit la poligonul regulat cu o rază circumscrisă de unul.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică