Poligon stelar

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Un pentagon înstelat

În geometria plană , un poligon stelar este un poligon având o formă de stea datorită intersecției mai multor laturi.

Definiție

Un poligon înstelat este o linie întreruptă închisă care delimitează un set înstelat al avionului. Spre deosebire de poligoanele obișnuite, linia întreruptă se poate intersecta de la sine: perechile de margini distincte se pot intersecta la un punct intern.

Poligoane stelare regulate cu n laturi.

Un poligon stelar este regulat dacă

  1. Vârfurile sale coincid cu cele ale unui poligon regulat cu laturile.
  2. Marginile leagă vârful -alea cu vârful -thth, pentru fiecare .

A doua afirmație trebuie înțeleasă după cum urmează: vârfurile sunt ordonate ciclic de-a lungul circumferinței de -a lungul cărora se află și numărul trebuie interpretat în modulul aritmetic modular : adică dacă , numarul ar trebui de fapt interpretat ca .

Pentru obțineți poligonul obișnuit obișnuit cu laturile.

Inclusiv cazul , un poligon n- stea poate presupune forme. De exemplu, pentru orice eventualitate , pentagonul regulat sau pentagrama sunt posibile, în timp ce pentru există patru poligoane diferite (pentru ). Cu toate acestea, în cazul în care n și k nu sunt coprimă , atunci este , aceste poligoane sunt de fapt compuse din „sub-stele”, echivalente cu zei -poligoane înstelate al căror k este ; numărul acestor sub-poligoane este ; acest lucru se explică prin amintirea că vârfurile poligonului sunt numerotate într-un mod modular și, prin urmare, dacă n este echivalent cu un multiplu (în sens modular) al lui k , poligonul se va închide în sub-poligoane.

Dacă, de exemplu, considerăm un 14-gon cu k = 6 , fracția poate fi redus: . Aceasta înseamnă că poligonul considerat este format din 2 (adică ) 7- stele cu k = 3 , centrul comun și rotit unul față de celălalt de . Poligoanele stelare de acest tip se numesc compuși .

Un poligon stelar regulat are margini de lungime egală și unghiuri de vârf de lățime egală. În special, dacă este latura poligonului regulat înstelat e distanța dintre două vârfuri adiacente ale aceluiași, relația se menține:

unde n este numărul de vârfuri ale poligonului și k distanța modulară dintre două vârfuri conectate pe partea poligonului înstelat.

Demonstrație

Prin inscrierea poligonului stelar într-un cerc de rază , observăm că segmentul care unește două vârfuri adiacente este o coardă, a cărei lungime este, conform teoremei coardei ,

,

cu unghi față de circumferință, de amplitudine . Partea poligonului stelar este un alt șir, lung

,

întrucât k exprimă distanța modulară a vârfurilor poligonului. Prin compararea lungimilor, obținem

, QED .

Exemple

Poligoanele stelare obișnuite pentru primele valori ale sunt prezentate mai jos .

Pentagram green.svg
{5/2}
Obtuse heptagram.svg
{7/2}
Heptagram acut.svg
{7/3}
Octagram.svg
{8/3}
Poligonul stelar 9 2.png
{9/2}
Poligonul stelelor 9 4.png
{9/4}

Partea interioară a poligoanelor înstelate

Partea interioară a unui poligon stelar poate fi interpretată în mai multe moduri diferite, așa cum se arată în figura următoare.

Interpretări pentagramă.svg

Astfel de interpretări se reflectă și în unele poliedre definite care au fețe înstelate. De exemplu, prisma arhimedeană înstelată este definită ca o prismă , dar cu fețe înstelate regulate la cele două baze.

Prisma septagramă-2-7.png Prisma heptagrammică 7-2.png

Bibliografie

  • ( EN ) Cromwell, P.; Poliedre , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 .
  • ( EN ) Grünbaum, B.; GC Shephard; Tilings and Patterns , New York: WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
  • ( EN ) Grünbaum, B.; Poliedre cu fețe goale, Proc al Conferinței NATO-ASI pe politopi ... etc. (Toronto 1993) și T. Bisztriczky și colab., Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică