Funcția asociată a lui Legendre

Polinoamele Legendre asociate sunt polinoame care pot fi definite direct pornind de la polinoamele Legendre , a căror utilizare este deosebit de utilă în descrierea armonicelor sferice și, prin urmare, în aplicarea lor în mecanica cuantică .

Definiție

Este $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ un tot natural, $P_{l}(u)$ ${\ displaystyle P_ {l} (u)}$ ${\ displaystyle P_ {l} (u)}$ polinomul Legendre al ordinii $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ un număr întreg între și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ . Funcțiile Legendre asociate sunt definite ca:

$P_{lm}(u)=(1-u^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{du^{m}}}P_{l}(u)$ ${\ displaystyle P_ {lm} (u) = (1-u ^ {2}) ^ {\ frac {m} {2}} {\ frac {d ^ {m}} {du ^ {m}}} P_ {lu)}$ ${\ displaystyle P_ {lm} (u) = (1-u ^ {2}) ^ {\ frac {m} {2}} {\ frac {d ^ {m}} {du ^ {m}}} P_ {lu)}$

adică

$P_{lm}(u)={\frac {(-1)^{l}}{2^{l}l!}}(1-u^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{l+m}}{du^{l+m}}}(1-u^{2})^{l}$ ${\ displaystyle P_ {lm} (u) = {\ frac {(-1) ^ {l}} {2 ^ {l} l!}} (1-u ^ {2}) ^ {\ frac {m} {2}} {\ frac {d ^ {l + m}} {du ^ {l + m}}} (1-u ^ {2}) ^ {l}}$ ${\ displaystyle P_ {lm} (u) = {\ frac {(-1) ^ {l}} {2 ^ {l} l!}} (1-u ^ {2}) ^ {\ frac {m} {2}} {\ frac {d ^ {l + m}} {du ^ {l + m}}} (1-u ^ {2}) ^ {l}}$

Extindeți definiția la valorile negative ale celui de-al doilea index prin expresie

$P_{l,-m}(u)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{lm}(u)$ ${\ displaystyle P_ {l, -m} (u) = (- 1) ^ {m} {\ frac {(lm)!} {(l + m)!}} P_ {lm} (u)}$ ${\ displaystyle P_ {l, -m} (u) = (- 1) ^ {m} {\ frac {(l-m)!} {(l + m)!}} P_ {lm} (u)}$

duce la

$P_{lm}(u)=(-1)^{l+m}{\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {(1-u^{2})^{-{\frac {m}{2}}}}{2^{l}l!}}{\frac {d^{l-m}}{du^{l-m}}}(1-u^{2})^{l}$ ${\ displaystyle P_ {lm} (u) = (- 1) ^ {l + m} {\ frac {(l + m)!} {(lm)!}} {\ frac {(1-u ^ {2 }) ^ {- {\ frac {m} {2}}}} {2 ^ {l} l!}} {\ frac {d ^ {lm}} {du ^ {lm}}} (1-u ^ {2}) ^ {l}}$ ${\ displaystyle P_ {lm} (u) = (- 1) ^ {l + m} {\ frac {(l + m)!} {(lm)!}} {\ frac {(1-u ^ {2 }) ^ {- {\ frac {m} {2}}}} {2 ^ {l} l!}} {\ frac {d ^ {lm}} {du ^ {lm}}} (1-u ^ {2}) ^ {l}}$

Aceste definiții permit apoi să exprime armonicele sferice în funcție de funcțiile asociate prin relație

$Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )={(-1)^{m}}\left\{{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}\right\}^{\frac {1}{2}}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\varphi }$ ${\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {(- 1) ^ {m}} \ left \ {{\ frac {2l + 1} {4 \ pi}} {\ frac {(lm)!} {(l + m)!}} \ right \} ^ {\ frac {1} {2}} P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) și ^ {im \ varphi }}$ ${\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {(- 1) ^ {m}} \ left \ {{\ frac {2l + 1} {4 \ pi}} {\ frac {(lm)!} {(l + m)!}} \ right \} ^ {\ frac {1} {2}} P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) și ^ {im \ varphi }}$

pentru valori pozitive ale $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . Armonice sferice cu valori de $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ negativ sunt toți coeficienții pozitivi (deci fără a lua în considerare comportamentul polinomului Legendre și funcția exponențială) și se obțin din următoarea relație

$Y_{l}^{-m}(\theta ,\varphi )={(-1)^{m}}(Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi ))^{*}$ ${\ displaystyle Y_ {l} ^ {- m} (\ theta, \ varphi) = {(- 1) ^ {m}} (Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)) ^ {* }}$ ${\ displaystyle Y_ {l} ^ {- m} (\ theta, \ varphi) = {(- 1) ^ {m}} (Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)) ^ {* }}$

Prin urmare, rezultă că pentru valorile de $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ armonicele sferice negative sunt identice cu aceleași cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ pozitiv, cu excepția anumitor aspecte:

1) semnul coeficientului este întotdeauna pozitiv, mai degrabă decât semne alternative, de la termen $(-1)^{m}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {m}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {m}}$ în armonica sferică se înmulțește la fel $(-1)^{m}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {m}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {m}}$ prezent în raportul de mai sus;

2) funcția exponențială are semnul exponentului inversat, deoarece este necesar complexul conjugat al armonicii sferice. Acest lucru nu afectează polinomul Legendre, deoarece este o variabilă reală.

Elemente conexe

linkuri externe

Polinomul Legendre în MathWorld

Controlul autorității	GND ( DE ) 4333224-9