polinom ireductibil

În matematică , un polinom $p(x)$ ${\ Displaystyle p (x)}$ $p (x)$ se spune să fie ireductibile atunci când nu există polinoame $q(x)$ ${\ Q displaystyle (x)}$ $q (x)$ Și $s(x)$ ${\ Displaystyle s (x)}$ ${\ Displaystyle s (x)}$ astfel încât $q(x)\cdot s(x)=p(x)$ ${\ Q displaystyle (x) \ cdot s (x) = p (x)}$ ${\ Q displaystyle (x) \ cdot s (x) = p (x)}$ cu $q(x)$ ${\ Q displaystyle (x)}$ $q (x)$ Și $s(x)$ ${\ Displaystyle s (x)}$ ${\ Displaystyle s (x)}$ Nu inversabilă. În caz contrar, polinomul este declarat a fi reductibilă.

În cazul în care coeficienții polinomului sunt luate într - un domeniu , factorii unui polinom reductibilă sunt atât de grad inferior și nu este constantă. De exemplu

p(x)=x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),

{\ Displaystyle p (x) = x ^ {3} -1 = (x-1) (x ^ {2} + x + 1),}

{\ Displaystyle p (x) = x ^ {3} -1 = (x-1) (x ^ {2} + x + 1),}

este reductibilă.

Cu toate acestea, în cazul în care coeficienții sunt considerate ca aparținând unui inel , acest lucru nu este întotdeauna adevărat: de exemplu , polinomul $2x+6$ ${\ Displaystyle 2x + 6}$ ${\ Displaystyle 2x + 6}$ este, evident, ireductibilă dacă se consideră ca în polinom $\mathbb {Q} [X]$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [X]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [X]}$ , În timp ce este reductibilă dacă se consideră că pe $\mathbb {Z} [X]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$ , Deoarece factorizarea $2x+6=2(x+3)$ ${\ Displaystyle 2x + 6 = 2 (x + 3)}$ ${\ Displaystyle 2x + 6 = 2 (x + 3)}$ nu este trivial, ca inversul $2$ ${\ Displaystyle 2}$ $2$ , Adică $1/2$ ${\ Displaystyle 1/2}$ $1/2$ , Nu este un număr întreg, și, prin urmare, $2$ ${\ Displaystyle 2}$ $2$ acesta nu este un element inversabil al inelului de polinoame cu coeficienți întregi.

Exemple

Ireductibilitatea depinde puternic de alegerea inelului la care coeficienții trebuie să aparțină. De exemplu, polinomul

p(x)=x^{2}-2,

{\ Displaystyle p (x) = x ^ {2} -2,}

{\ Displaystyle p (x) = x ^ {2} -2,}

este ireductibil în cazul în care acest inel este că de numere întregi , în timp ce acesta este reductibilă dacă inelul este câmpul de numere reale , deoarece aici se rupe în

p(x)=x^{2}-2=(x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}}).

{\ Displaystyle p (x) = x ^ {2} -2 = (x + {\ sqrt {2}}). (X - {\ sqrt {2}})}

{\ Displaystyle p (x) = x ^ {2} -2 = (x + {\ sqrt {2}}). (X - {\ sqrt {2}})}

În mod similar, polinomul

q(x)=x^{2}+1,

{\ Q displaystyle (x) = x ^ {2} +1,}

{\ Q displaystyle (x) = x ^ {2} +1,}

este ireductibilă pe numere reale, în timp ce este reductibilă pe numere complexe , deoarece ea se descompune ca

q(x)=(x+i)(x-i).

{\ Q displaystyle (x) = (x + i) (xi).}

{\ Q displaystyle (x) = (x + i) (x-i).}

Polinoame ireductibile în diverse domenii

Numere complexe

Prin teorema fundamentală a algebrei , un polinom este ireductibilă pe domeniul complexelor dacă și numai dacă are studii $1$ ${\ Displaystyle 1}$ $1$ .

Numere reale

Polinoamelor ireductibile pe domeniul Reali sunt exact:

Primele polinoame de gradul;
polinoame de gradul doi cu delta mai mică decât zero.

Prin urmare, orice polinom cu coeficienți reali este produsul unor polinoame ale acestor două tipuri. Acest lucru rezultă din faptul că, în cazul în care un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este un zero al unei, apoi , de asemenea , sa polinomul complex de conjugat ${\overline {z}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ Overline {z}$ este o soluție și produsul factorilor

(x-z)(x-{\overline {z}})=x^{2}-(z+{\overline {z}})x+z{\overline {z}},

{\ Displaystyle (xz) (x - {\ overline {z}}) = x ^ {2} - (z + {\ overline {z}}) x + z {\ overline {z}}}

{\ Displaystyle (x-z) (x - {\ overline {z}}) = x ^ {2} - (z + {\ overline {z}}) x + z {\ overline {z}}}

este format din numere reale.

Numere rationale

În domeniul numerelor raționale, polinoame ireductibile de orice grad, dar exit nu există nici un criteriu general pentru a determina dacă un polinom este ireductibil sau nu. Cu toate acestea, există diferite metode care pot sau nu pot da rezultate; în general , primul pas este de a transforma polinomului original într - un polinom cu coeficienți întregi, înmulțirea cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Operațiunea este mulțumită legale către Gauss Lema , care garantează că polinomul original este ireductibilă dacă și numai în cazul în care acest lucru este transformat ( cu excepția cazului în factori constanți, care sunt pe ireductibilă $\mathbb {Z} [x]$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ $\ Mathbb {Z} [x]$ dar în inversabil $\mathbb {Q} [x]$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ). Apoi, puteți încerca diferite moduri:

Uita - te pentru raționale rădăcini ; de rădăcină rațională teorema lor divide numărătorul trebuie $a_{0}$ ${\ Displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ , În timp ce numitorul trebuie să împartă coeficientul de director . Setul de valori posibile este astfel limitată; în cazul în care una dintre acestea este o rădăcină, atunci polinomul este cu siguranta reductibilă.

Dacă un polinom nu admite rădăcini raționale, aceasta nu înseamnă întotdeauna că este ireductibilă pe $\mathbb {Q} [x]$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ : Acest lucru este valabil dacă și numai în cazul în care gradul polinomului este mai mic sau egal cu trei.

Încercarea de a aplica criteriul lui Eisenstein .
Luați în considerare în polinomul $\mathbb {Z} _{p}[x]$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ , cu $p$ ${\ P} displaystyle$ $p$ în primul rând, astfel încât $p\nmid a_{n}.$ ${\ Displaystyle p \ nmid a_ {n}.}$ ${\ Displaystyle p \ nmid a_ {n}.}$

În special, în cazul în care polinomul este ireductibil la $\mathbb {Z} _{p}[x]$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ atunci este, de asemenea, în $\mathbb {Q} [x]$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ . Dar invers nu este adevărat.

ireductibilitatea absolută

un polinom multivariată definit pe numere raționale este definită ca fiind absolut ireductibilă în cazul în care este ireductibilă pe domeniul complex . ^[1] ^[2] ^[3] De exemplu , $x^{2}+y^{2}-1$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1}$ este absolut ireductibilă; in schimb $x^{2}+y^{2},$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$ fiind în același timp ireductibilă pe numere întregi și numere reale, este reductibilă pe numere complexe, cum ar fi $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + iy) (x-iy)}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + iy) (x-iy)}$ și, prin urmare, nu este absolut ireductibilă.

Mai general, un polinom definit pe un câmp $K.$ ${\ K displaystyle}$ $K.$ este absolut ireductibilă dacă este ireductibilă pe fiecare extensie algebrică $K.,$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle K}$ ^{[4] este} un set algebrică afină definit prin ecuații cu coeficienți într - un domeniu $K.$ ${\ K displaystyle}$ $K.$ este absolut ireductibil dacă nu este unirea a două seturi de ecuații algebrice definite într - un algebric închis extensie $K. .$ ${\ Displaystyle K.}$ ${\ Displaystyle K.}$ Cu alte cuvinte, un set algebrică absolut ireductibilă este sinonim cu o varietate algebric , ^[5] , care subliniază faptul că coeficienții ecuațiilor care o definesc nu poate aparține unui câmp algebric închis.

Conceptul de ireductibilitatea absolută se aplică, cu același înțeles, de asemenea , reprezentări liniare ale grupurilor algebrice .

În toate cazurile, fiind absolut ireductibilă este echivalent cu a fi ireductibilă privind închiderea algebrică a taberei de bază.

Exemple de ireductibilitatea absolute

Un polinom univariată de grad mai mare decât sau egal cu 2 nu este absolut ireductibilă, datorită teorema fundamentală a algebrei .
Ireductibilă bidimensional reprezentare a grupării simetrice $S_{3}$ ${\ S_ displaystyle {3}}$ $S_ {3}$ de ordine 6, definit inițial pe câmpul de numere raționale , este absolut ireductibilă.
Reprezentarea grupului de circulare a rotații în planul este ireductibil (pe câmpul numerelor reale), dar nu este absolut ireductibilă. După ce a extins câmpul numerelor complexe, se împarte în două componente ireductibile. Acest lucru este de așteptat, deoarece gruparea circulară este comutativă și este cunoscut faptul că toate reprezentările ireductibile ale grupurilor comutative de pe un corp algebric închis sunt unidimensionale.
„Adevărata“ varietatea algebrică definită de ecuația

x^{2}+y^{2}=1

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

este absolut ireductibilă. ^[3] Este obișnuit cercul pe numere reale și rămâne o ireductibilă secțiune conica pe câmpul numerelor complexe. Ireductibilitatea absolută este mai general valabilă pe orice non - caracteristică două domeniu. În caracteristică două, ecuația este echivalentă cu

(x+y-1)^{2}=0.

{\ Displaystyle (x + y-1) ^ {2} = 0.}

{\ Displaystyle (x + y-1) ^ {2} = 0.}

Apoi definește linia dublă

x+y=1,

{\ Displaystyle x + y = 1,}

{\ Displaystyle x + y = 1,}

care este o neredus schemă .

Varietatea algebrică dată de ecuația

x^{2}+y^{2}=0

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 0}

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 0}

nu este absolut ireductibilă. De fapt, membrul stâng se poate descompune

x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + yi) (x-yi)}

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + yi) (x-yi)}

unde este

the

{\ I} displaystyle

the

este o rădăcină pătrată de -1 . Prin urmare, această varietate algebrică este format din două linii care se intersectează la originea și este în nici un caz ireductibile. Acest lucru se aplică deja în tabăra de bază, deși

-1

{\ Displaystyle -1}

-1

este un pătrat, sau deține pe extensia pătratică obținută prin adăugarea

the .

{\ displaystyle i.}

{\ displaystyle i.}

Notă

^ Pur și Matematică Aplicată, vol. 20, 1986, ISBN 9780080873329 , https://books.google.com/books?id=njgVUjjO-EAC&pg=PA10 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).
^ 2003, ISBN 9783540654667 , https://books.google.com/books?id=Pnlxei_XfFQC&pg=PA26 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).
^ ^A ^b 2, 2004, ISBN 9780203494455 , https://books.google.com/books?id=9IFMCsQJyscC&pg=SA8-PA17 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).
^ Monografii în matematică contemporană, 1994, ISBN 9780306110368 , https://books.google.com/books?id=PI66sVXDp7UC&pg=PA53 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).
^ 2009, ISBN 9781400831302 , https://books.google.com/books?id=utDJWUVogZ4C&pg=PA47 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Pur și Matematică Aplicată, vol. 20, 1986, ISBN 9780080873329 , https://books.google.com/books?id=njgVUjjO-EAC&pg=PA10 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[2] 2003, ISBN 9783540654667 , https://books.google.com/books?id=Pnlxei_XfFQC&pg=PA26 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[tucker-3] A ^b 2, 2004, ISBN 9780203494455 , https://books.google.com/books?id=9IFMCsQJyscC&pg=SA8-PA17 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[4] Monografii în matematică contemporană, 1994, ISBN 9780306110368 , https://books.google.com/books?id=PI66sVXDp7UC&pg=PA53 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[5] 2009, ISBN 9781400831302 , https://books.google.com/books?id=utDJWUVogZ4C&pg=PA47 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[1]

[2]

[3]

[4] este

[5]