Polinom caracteristic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În algebra liniară polinomul caracteristic al unei matrice pătrate pe un câmp este un polinom definit pornind de la matricea care descrie multe proprietăți esențiale.

Polinomul caracteristic este un obiect care depinde doar de clasa de similaritate a unei matrice și, prin urmare, oferă o mulțime de informații cu privire la natura intrinsecă a transformărilor liniare, caracterizate prin urmă și determinant . În special, rădăcinile polinomului sunt valorile proprii ale transformării liniare asociate cu matricea. Coeficienții polinomului sunt, prin urmare, numiți invarianți ai matricei și ai aplicației asociate acesteia.

Polinomul este, de asemenea, utilizat pentru a determina forma canonică a locurilor geometrice exprimabile prin intermediul matricilor, cum ar fi conicele și cvadricele .

Definiție

Este o matrice pătrată cu valori într-un câmp . Polinomul caracteristic al în variabilă este polinomul definit astfel: [1]

adică este determinantul matricei , obținut prin adăugare Și . Aici denotă matricea de identitate , având aceeași dimensiune ca , prin urmare este matricea diagonală având valoarea pe fiecare dintre n casetele diagonalei principale .

În special, este valoarea proprie a dacă și numai dacă este rădăcina polinomului său caracteristic. [2]

Gradul și coeficienții polinomului

Este o matrice pătrată de ordine . Polinomul caracteristic al are grad . Unii dintre coeficienții săi sunt (dacă nu sunt semnați) cantități notabile pentru matrice, cum ar fi urmele și determinantul :

Coeficientul de al polinomului este suma înmulțită cu din determinanți ai minorilor „centrat” pe diagonală.

De exemplu, dacă este o matrice 2 cu 2 avem:

Valori proprii

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: vector propriu și valoare proprie .

Rădăcinile din din polinomul caracteristic sunt valorile proprii ale . [2]

Acest lucru este arătat formal prin poză vector propriu al . Avem atunci și, în special:

Prin urmare, avem acel nucleu al aplicației este nul dacă este valoarea proprie și această condiție este îndeplinită dacă și numai dacă:

De sine este o matrice triunghiulară (superioară sau inferioară) având valorile pe diagonala principală , apoi:

Prin urmare polinomul caracteristic al unei matrice triunghiulare are rădăcini în câmp, date de valorile din diagonala principală. În special, acest fapt este adevărat pentru matricile diagonale .

Invarianța datorită similitudinii și diagonalizabilității

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Diagonalizabilitatea și asemănarea între matrice .

Două matrice similare au același polinom caracteristic. [3] Într-adevăr, dacă:

pentru unele matrice inversabile , noi obținem:

În acest lanț de egalități, se folosește faptul că matricea formei face naveta cu oricare alta și a teoremei lui Binet .

Deoarece două matrici reprezentând un endomorfism a unui spațiu vectorial în dimensiunea finită sunt similare, polinomul caracteristic este o cantitate intrinsecă de care rezumă multe dintre caracteristicile endomorfismului considerate, ca urme, determinante și valori proprii . Ca o consecință a acestui fapt, avem asta este diagonalizabil dacă există o bază de cu privire la care matrice o reprezintă este diagonală , iar elementele diagonalei sunt valorile proprii. [4] În special, baza care diagonalizează este compus din vectorii săi proprii.

Teorema diagonalizabilității oferă, de asemenea, un criteriu necesar și suficient care ne permite să stabilim dacă o aplicație liniară este diagonalizabilă. O matrice pătrată cu n linii poate fi diagonalizată dacă și numai dacă ambele fapte sunt valabile:

  • Suma multiplicităților algebrice ale valorilor sale proprii este , adică polinomul caracteristic poate fi luat în considerare în câmp prin polinoame de gradul I.
  • Multiplicitățile algebrice și geometrice ale fiecărei valori proprii sunt coincidente, adică dimensiunea spațiilor proprii este egală cu multiplicitatea cu care valoarea proprie relativă este rădăcina polinomului caracteristic. Deoarece multiplicitatea geometrică este întotdeauna mai mică sau egală cu cea algebrică, dacă aplicația are n valori proprii distincte în câmp, atunci este diagonalizabilă.

Invarianța prin transpunere

Matricea transpusă are același polinom caracteristic ca . Intr-adevar

Aici facem uz de faptul că determinantul este invariant prin transpunere.

Exemple

  • Data:
asa de:
prin urmare:
Valorile proprii ale sunt rădăcinile polinomului: 4 și 1.
  • Data:
în mod similar găsim:

Notă

  1. ^ S. Lang , pagina 227 .
  2. ^ a b S. Lang , p . 228 .
  3. ^ S. Lang , pagina 229 .
  4. ^ S. Lang , pagina 114 .

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte


Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică