Polinom minim

În matematică și mai precis în algebră liniară , polinomul minim al unei transformări liniare a unui spațiu vectorial sau al unei matrice pătrate este polinomul monic de grad minor dintre toți cei care anulează transformarea sau matricea.

Polinomul minim este util pentru determinarea diagonalizabilității și a formei canonice Jordan a transformării sau a matricei.

Definiție

Matrici pătrate

Dat fiind o matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la valorile dintr-un anumit domeniu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , considerăm întregul:

I=\{p\in K[x]\ |\ p(A)=0\}

{\ displaystyle I = \ {p \ în K [x] \ | \ p (A) = 0 \}}

I = \ {p \ în K [x] \ | \ p (A) = 0 \}

dintre toate polinoamele care se anulează în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Acest set se dovedește a fi un ideal în ring $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ a tuturor polinoamelor cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Inelul $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ este un inel euclidian : este de fapt posibil să se împartă polinoame cu rest. În consecință, este un inel al idealurilor principale : fiecare ideal este generat de un singur element. În special:

I=(m(x))

{\ displaystyle I = (m (x))}

I = (m (x))

este generat de un element $m(x)$ ${\ displaystyle m (x)}$ $m (x)$ . Acest element este unic numai dacă nu este înmulțit cu o constantă diferită de zero: este, prin urmare, unic dacă se presupune că este monic (adică cu coeficientul 1 în termen $x^{k}$ ${\ displaystyle x ^ {k}}$ $x ^ k$ mai mare). Prin urmare, definim polinomul minim al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ acest polinom $m(x)$ ${\ displaystyle m (x)}$ $m (x)$ .

Endomorfisme

Având în vedere un endomorfism :

T:V\to V

{\ displaystyle T: V \ to V}

T: V \ to V

a unui spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de dimensiune finită, polinomul minim $m(x)$ ${\ displaystyle m (x)}$ $m (x)$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este definit în mod similar ca generatorul monic al idealului:

I=\{p\in K[x]\ |\ p(T)=0\}

{\ displaystyle I = \ {p \ în K [x] \ | \ p (T) = 0 \}}

I = \ {p \ în K [x] \ | \ p (T) = 0 \}

format din toate polinoamele care se anulează $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Endomorfism $p(T)$ ${\ displaystyle p (T)}$ $p (T)$ este construită interpretând multiplicarea ca o compoziție de endomorfisme.

Proprietate

Proprietățile enumerate aici pentru matricele pătrate se aplică și endomorfismelor.

Polinom caracteristic

Prin teorema Hamilton-Cayley , dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este polinomul caracteristic unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ asa de $p(A)=0$ ${\ displaystyle p (A) = 0}$ $p (A) = 0$ . Prin urmare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un element al idealului $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și, prin urmare, polinomul minim este un divizor al polinomului caracteristic.

Mai exact, dacă polinomul caracteristic $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ se descompune în factori primi precum:

p=p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}}

{\ displaystyle p = p_ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {i_ {k}}}

p = p_ {1} ^ {{i_ {1}}} \ cdots p_ {k} ^ {{i_ {k}}}

atunci polinomul minim se descompune în factori primi precum:

p=p_{1}^{l_{1}}\cdots p_{k}^{l_{k}}

{\ displaystyle p = p_ {1} ^ {l_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {l_ {k}}}

p = p_1 ^ {l_1} \ cdots p_k ^ {l_k}

unde este:

1\leqslant l_{j}\leqslant i_{j}\ \forall j=1,\ldots ,k

{\ displaystyle 1 \ leqslant l_ {j} \ leqslant i_ {j} \ \ forall j = 1, \ ldots, k}

1 \ leqslant l_ {j} \ leqslant i_ {j} \ \ forall j = 1, \ ldots, k

În special, polinoamele minime și caracteristice au aceiași factori primi.

Triangularizabilitate

O matrice este triangularizabilă dacă și numai dacă polinomul său minim are toate rădăcinile în câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Diagonalizabilitate

Conform teoremei diagonalizabilității , știm că o matrice este diagonalizabilă dacă și numai dacă are toate valorile proprii din câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ iar multiplicitatea algebrică a fiecărei valori proprii este egală cu multiplicitatea sa geometrică.

Rezultă că o matrice este diagonalizabilă dacă și numai dacă polinomul minim asociat cu aceasta are toate rădăcinile în câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de multiplicitate egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Exemple

Clasa întâi

Polinomul minim al unei matrice $\lambda I$ ${\ displaystyle \ lambda I}$ $\ lambda I$ obținută prin înmulțirea unui scalar $\lambda \neq 0$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ $\ lambda \ neq 0$ pentru matricea de identitate $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este egal cu:

m(x)=x-\lambda

{\ displaystyle m (x) = x- \ lambda}

m (x) = x- \ lambda

Pe de altă parte, dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este de gradul unu, matricea este neapărat de tipul $\lambda I$ ${\ displaystyle \ lambda I}$ $\ lambda I$ .

Diagonală

Polinomul minim al matricei diagonale :

J={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \ end {pmatrix} }}

J = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \ end {pmatrix}}

Și

m(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

{\ displaystyle m (x) = (x-1) (x-2) (x-3)}

m (x) = (x-1) (x-2) (x-3)

în timp ce polinomul caracteristic este:

p(x)=(x-1)^{2}(x-2)(x-3)

{\ displaystyle p (x) = (x-1) ^ {2} (x-2) (x-3)}

p (x) = (x-1) ^ {2} (x-2) (x-3)

Blocul Jordan

Polinomul minim al unui bloc Jordan :

J={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &1&0\\0&0&\lambda &1\\0&0&0&\lambda \end{pmatrix}}

{\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ lambda \ sfârșit {pmatrix}}}

J = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ lambda \ end {pmatrix }}

Și:

m(x)=(x-\lambda )^{4}

{\ displaystyle m (x) = (x- \ lambda) ^ {4}}

m (x) = (x- \ lambda) ^ {4}

Aplicații

Diagonalizabilitate

Polinomul minim este un instrument puternic pentru determinarea diagonalizabilității unui endomorfism.

Proiecții

O proiecție , în sensul său cel mai general, este un endomorfism $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ astfel încât:

T\circ T=T

{\ displaystyle T \ circ T = T}

T \ circ T = T

O proiecție este întotdeauna diagonalizabilă. De fapt, luând:

p(x)=x^{2}-x=x(x-1)

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -x = x (x-1)}

p (x) = x ^ {2} -x = x (x-1)

merita $p(T)=0$ ${\ displaystyle p (T) = 0}$ $p (T) = 0$ . Rezultă că $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ aparține idealului $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , și, prin urmare, este împărțit la polinomul minim $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Atâta timp cât $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ are și două rădăcini 0 și 1 de multiplicitate 1 $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ are rădăcini de multiplicitate 1 și, prin urmare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este diagonalizabil.

Implicații

O involuție este un endomorfism $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ astfel încât:

T^{2}=\operatorname {id}

{\ displaystyle T ^ {2} = \ operatorname {id}}

T ^ {2} = \ operatorname {id}

În mod similar, $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este rădăcina polinomului $x^{2}-1=(x+1)(x-1)$ ${\ displaystyle x ^ {2} -1 = (x + 1) (x-1)}$ $x ^ {2} -1 = (x + 1) (x-1)$ care are două rădăcini, care sunt distincte dacă caracteristica câmpului este diferită de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ . Prin urmare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este diagonalizabil.

Bibliografie

( EN ) David S. Dummit și Richard Foote, Abstract Algebra, ed. 3 , Englewood Cliffs ( New Jersey ), Prentice-Hall, 2003, ISBN 978-04-71-43334-7 .
( EN ) Israel Nathan Herstein , Topics in Algebra, ed. A II-a , New York , Wiley, 1975, ISBN 978-04-71-01090-6 . §6.7
( EN ) Nathan Jacobson, Basic Algebra , Mineola (New York) , Dover Publications, 2009, ISBN 978-04-86-47189-1 . §3.10

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Matrix Minimal Polynomial , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Carrier · subspatiu ( Subspatiul generat ) · Aplicație Liniar ( Core · imagine ) · Base · Dimensiunea · dimensiunea Teorema · Grassmann Formula · sistem liniar · Gauss algoritm · Rouche-Capelli , teorema · Regula lui Cramer · spațiu dual · proiectiv spațiu · afină spațiu · Dimensiune teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema