Postulatele mecanicii cuantice

Postulatele mecanicii cuantice sunt un set de enunțuri de bază care reprezintă un punct de plecare în formularea teoriei cuantice într-o formă axiomatică .

Descriere

Există multe formulări echivalente ale mecanicii cuantice , diferite seturi de postulate și instrumente matematice care dau naștere la aceleași predicții și care explică în mod satisfăcător aceleași clase de fenomene . Printre acestea putem cita renumita formulare a lui Richard Feynman a integralei pe căi sau interpretarea lui Bohm sau interpretarea multor lumi .

Cu toate acestea, există o formulare standard , formulată axiomatic după interpretarea de la Copenhaga , care este predată în mod obișnuit în universitățile din întreaga lume și care formează o bază comună și universal recunoscută pentru studiul fenomenelor cuantice .

Axiomele sau postulatele mecanicii cuantice reprezintă o soluție parțială la a 6-a problemă a lui Hilbert . O teorie a gravitației cuantice ar putea completa axiomatizarea fizicii cunoscute, considerând întotdeauna că, având în vedere că un sistem fizic poate reprezenta aritmetica, axiomatizarea ar fi inevitabil supusă teoremelor incompletei lui Gödel .

Postulatele

Pot fi identificate cinci postulate:

Stări cuantice

Un spațiu Hilbert este asociat cu fiecare sistem fizic

{\mathcal {H}}

${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ . În acest spațiu , fiecare stare a sistemului este asociată cu o direcție (adică un vector cu o constantă multiplicativă arbitrară).

Deoarece fiecare stare este definită până la o constantă multiplicativă arbitrară, este posibil (și se face prin convenție) să funcționăm numai cu vectori normalizați astfel încât $\left\langle \psi |\psi \right\rangle =1$ ${\ displaystyle \ left \ langle \ psi | \ psi \ right \ rangle = 1}$ ${\ displaystyle \ left \ langle \ psi | \ psi \ right \ rangle = 1}$ . Acest lucru lasă încă un arbitrar în faza vectorului, având în vedere că $e^{i\beta }\left|\psi \right\rangle$ ${\ displaystyle e ^ {i \ beta} \ left | \ psi \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ beta} \ left | \ psi \ right \ rangle}$ Și $\left|\psi \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ $\ left | \ psi \ right \ rangle$ sunt echivalente pentru fiecare $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ . Există situații în care este convenabil să se extindă spațiul Hilbert (de exemplu, ori de câte ori există un continuum de valori pe care o anumită cantitate le poate presupune), prin introducerea vectorilor necorespunzători (de exemplu, unde plane) care pot fi aproximate în sensul adecvat din vectori ai spațiului Hilbert, dar care nu aparțin ei înșiși spațiului Hilbert. În general, vectorii de acest tip pot fi folosiți fără probleme, atâta timp cât unele definiții sunt adaptate (cum ar fi cea a distribuției probabilității asociate stării: a se vedea mai jos). Un exemplu celebru al acestor vectori improprii este statul propriu al operatorului de poziție pentru o particulă liberă, funcția delta Dirac .

Urmări

În general, orice vector din spațiul Hilbert poate fi descompus în combinația liniară a altor vectori. În special, fiecare observabil este asociat cu o bază ortonormală a vectorilor din spațiul lui Hilbert, baza statelor proprii ale sale (vezi mai jos): prin urmare, fiecare stare poate fi descompusă în suma statelor proprii ale unui anumit observabil ( principiul suprapunerii ). Acest fapt este important deoarece se postulează că la măsurarea observabilului în cauză se obține o valoare proprie precisă, cu o probabilitate precisă, iar starea după măsurare se dovedește a fi vectorul propriu corespunzător (a se vedea mai jos pentru detalii). Observăm că definiția acestor probabilități nu se schimbă dacă vectorul de pornire este înmulțit cu o fază arbitrară. În mecanica cuantică există observabile care nu fac naveta: acest fapt implică faptul că nu există o bază ortonormală comună tuturor observabile, într-adevăr, în general, fiecare observabil este asociat cu o bază diferită, oblică față de celelalte, iar aceasta poate fi o sursă de comportamente la început vederi uimitoare. Reconstituirea unui vector pornind de la distribuțiile de probabilitate asociate cu rezultatul măsurării anumitor observabile este o operație în general neunivocă: aceasta se datorează faptului că rezultatul unei măsurători fixează probabilitățile, care sunt modulele pătrate ale coeficienților vectorului (cu respect la baza asociată cu cea observabilă) și fazele relative ale acestor coeficienți rămân nedeterminate. Observăm că aceste faze relative sunt adesea cruciale în observarea fenomenelor de interferență tipice mecanicii cuantice.

Observabilele

Un operator liniar și autoadjunct este asociat cu fiecare mărime observabilă A

{\hat {A}}

${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ în spațiu

{\mathcal {H}}

${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ . Setul de valori posibile pentru măsurarea unei mărimi este dat de spectrul operatorului asociat cu aceasta.

Liniaritatea operatorului asigură faptul că acesta poate fi reprezentat ca o matrice (posibil infinită dimensională) într-o anumită bază , în timp ce hermitismul asigură faptul că spectrul operatorului este real .

Așa cum este convenabil să se definească funcțiile mărimilor , să se definească alte mărimi fără a fi nevoie să le definim direct, este posibil să se definească matematic funcțiile operatorului prin dezvoltarea lor în seria Taylor (când această serie converge, de exemplu $e^{\hat {A}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\hat {A}}^{n}}{n!}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ hat {A}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ hat {A}} ^ {n}} {n!}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ hat {A}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ hat {A}} ^ {n}} {n!}}}$ ). Dezvoltarea seriei aduce problema funcțiilor operatorului înapoi la operațiuni de sumă și putere între matrice .

Urmări

Deoarece baza în care să reprezentăm operatorii este arbitrară, este adesea convenabil să scriem un operator pe baza vectorilor săi proprii (unde matricea care îl reprezintă este diagonală ). Când încercați să măsurați simultan mai multe dimensiuni, ar trebui să căutați o bază de vectori proprii comune tuturor operatorilor relevanți ${\hat {A_{1}}},~{\hat {A_{2}}},...$ ${\ displaystyle {\ hat {A_ {1}}}, ~ {\ hat {A_ {2}}}, ...}$ ${\ displaystyle {\ hat {A_ {1}}}, ~ {\ hat {A_ {2}}}, ...}$ . Cu toate acestea, acest lucru este posibil dacă și numai dacă acești operatori comută , atunci se țin diferitele egalități $[{\hat {A_{i}}},{\hat {A_{j}}}]={\hat {A_{i}}}\cdot {\hat {A_{j}}}-{\hat {A_{j}}}\cdot {\hat {A_{i}}}=0$ ${\ displaystyle [{\ hat {A_ {i}}}, {\ hat {A_ {j}}}] = {\ hat {A_ {i}}} \ cdot {\ hat {A_ {j}}} - {\ hat {A_ {j}}} \ cdot {\ hat {A_ {i}}} = 0}$ ${\ displaystyle [{\ hat {A_ {i}}}, {\ hat {A_ {j}}}] = {\ hat {A_ {i}}} \ cdot {\ hat {A_ {j}}} - {\ hat {A_ {j}}} \ cdot {\ hat {A_ {i}}} = 0}$ .

Probabilitatea unui rezultat

Dacă sistemul fizic se află într-o stare

\left|\psi \right\rangle

${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ $\ left | \ psi \ right \ rangle$ probabilitatea ca observarea unei mărimi A să dea ca rezultat

\alpha

${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este direct proporțională cu

\left|\left\langle \alpha |\psi \right\rangle \right|^{2}

${\ displaystyle \ left | \ left \ langle \ alpha | \ psi \ right \ rangle \ right | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left | \ left \ langle \ alpha | \ psi \ right \ rangle \ right | ^ {2}}$ .

Un postulat adesea implicat, dar care nu este legat de cel anterior, este că fluxul probabilității este continuu: adică funcția de undă nu face salturi și, prin urmare, teorema lui Noether este valabilă. O caracteristică particulară a mecanicii cuantice este aceea de a furniza doar predicții statistice, mai degrabă decât deterministe (așa cum se întâmplă în mecanica clasică ). Aceasta înseamnă că, chiar și luând în considerare experimentele ideale, nu este niciodată posibil să se prezică rezultatul unei măsurători. Ceea ce puteți ști în schimb este probabilitatea de a obține ca rezultat $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ in loc de $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ .
Singura excepție, mai teoretică decât practică, de la această regulă este atunci când sistemul se află exact pe un stat propriu $\left|\alpha \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}$ de magnitudine A pe care vrem să o observăm. În acest caz, probabilitatea de a obține ca rezultat $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\left|\left\langle \alpha |\alpha \right\rangle \right|^{2}=1$ ${\ displaystyle \ left | \ left \ langle \ alpha | \ alpha \ right \ rangle \ right | ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ left | \ left \ langle \ alpha | \ alpha \ right \ rangle \ right | ^ {2} = 1}$

Urmări

În mecanica cuantică , deoarece avem de-a face cu probabilitățile de a obține rezultate posibile, este firesc să se utilizeze instrumentarea normală a statisticilor . În special, probabilitatea ca măsurarea unui observabil să dea orice rezultat trebuie să fie egală cu unul, adică suma probabilităților de a obține fiecare dintre rezultatele posibile trebuie să fie egală cu unul: $\sum _{i}\left|\left\langle \alpha _{i}|\psi \right\rangle \right|^{2}=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} \ left | \ left \ langle \ alpha _ {i} | \ psi \ right \ rangle \ right | ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} \ left | \ left \ langle \ alpha _ {i} | \ psi \ right \ rangle \ right | ^ {2} = 1}$ .

Prăbușirea funcției de undă

Același subiect în detaliu: funcția Wave și Prăbușirea funcției wave .

Măsura A observabilă asupra statului

\left|\psi \right\rangle

${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ $\ left | \ psi \ right \ rangle$ , presupunând că ați obținut

\alpha

${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ca rezultat, se proiectează

\left|\psi \right\rangle

${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ $\ left | \ psi \ right \ rangle$ pe spațiul auto al

\alpha

${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ .

Acesta, cunoscut și sub numele de postulat von Neumann, este cu siguranță cel mai puțin intuitiv și cel mai controversat dintre postulatele mecanicii cuantice . Simplul fapt de a măsura o cantitate este de fapt capabil să schimbe starea sistemului $\left|\psi \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ $\ left | \ psi \ right \ rangle$ la $\left|\alpha \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}$ $\ left | \ alpha \ right \ rangle$ .

Urmări

Datorită postulatului privind probabilitatea unui rezultat , probabilitatea de a obține ca rezultat $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ din măsura de $\left|\alpha \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}$ $\ left | \ alpha \ right \ rangle$ trebuie să fie egal cu 1. Acest lucru înseamnă că, dacă măsoară $\left|\psi \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ $\ left | \ psi \ right \ rangle$ eu iau $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , acest lucru va schimba starea sistemului meu în $\left|\alpha \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}$ $\ left | \ alpha \ right \ rangle$ și, prin urmare, fiecare măsurare ulterioară (efectuată fără ca starea să evolueze) trebuie să dea același rezultat cu probabilitate unitară.
O altă consecință importantă este că dacă doi operatori ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ Și ${\hat {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat {B}}$ naveta, este posibil să se găsească o bază comună de vector propriu și, prin urmare, măsurile independente ale acestor două cantități nu se afectează reciproc. De fapt, dacă măsurăm A pe un sistem din stat $\left|\psi \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ $\ left | \ psi \ right \ rangle$ aceasta va fi proiectată pe spațiul propriu al lui A și astfel va deveni de formă $\left|\alpha \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}$ $\ left | \ alpha \ right \ rangle$ . Dacă atunci și B este măsurat independent, starea va deveni de formă $\left|\alpha ,\beta \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ alpha, \ beta \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ alpha, \ beta \ right \ rangle}$ care aparține atât spațiului automat al lui A, cât și B. O măsurătoare ulterioară a lui A nu va duce decât la rezultat $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ și, prin urmare, măsura lui B nu a influențat măsura lui A. Acest lucru nu este adevărat pentru perechile de operatori care nu fac naveta, ale căror măsuri (chiar ideale și independente) se influențează reciproc. Valoarea minimă a incertitudinii introdusă în măsurători prin acest efect este dată de principiul incertitudinii Heisenberg (care, în formularea axiomatică a mecanicii cuantice , este o teoremă).

Ecuația Schrödinger

Același subiect în detaliu: ecuația Schrödinger și operatorul de evoluție a timpului .

Statele evoluează în timp conform ecuației

i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle ={\widehat {H}}(t)\left|\psi (t)\right\rangle

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = {\ widehat {H}} (t) \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = {\ widehat {H}} (t) \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}$ ,

unde este ${\widehat {H}}(t)$ ${\ displaystyle {\ widehat {H}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {H}} (t)}$ este operatorul hamiltonian al sistemului e $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ displaystyle \ hbar}$ este o constantă universală având dimensiunile fizice ale unei acțiuni.

Urmări

Ecuația Schrödinger este o ecuație diferențială liniară de primul ordin. Aceasta implică faptul că soluțiile sale sunt determinate până la infinitele alegeri posibile ale condițiilor inițiale. Să presupunem că acestea ne dau $\left|\psi (t_{0})\right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ psi (t_ {0}) \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi (t_ {0}) \ right \ rangle}$ , acesta este statul la acea vreme $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ . Atunci se arată că există un operator liniar unitar ${\widehat {U}}(t)$ ${\ displaystyle {\ widehat {U}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {U}} (t)}$ (numit operator de evoluție temporală ) astfel încât $\left|\psi (t)\right\rangle ={\widehat {U}}(t,t_{0})\left|\psi (t_{0})\right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = {\ widehat {U}} (t, t_ {0}) \ left | \ psi (t_ {0}) \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = {\ widehat {U}} (t, t_ {0}) \ left | \ psi (t_ {0}) \ right \ rangle}$ .

Bibliografie

(EN) John von Neumann, Bazele matematice ale mecanicii cuantice, Princeton University Press, 1955.
( EN ) Franco Strocchi, O introducere în structura matematică a mecanicii cuantice, un curs scurt pentru matematicieni , World Scientific Publishing, 2005.
Paul Dirac, Principiile mecanicii cuantice , Bollati Boringhieri, 1971.
Bernard d'Espagnat, Fundamentele conceptuale ale mecanicii cuantice , Bibliopolis, Napoli, 1980.
( EN ) V. Moretti Teoria spectrală și mecanica cuantică; Cu o introducere în formularea algebrică Springer-Verlag, 2013

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

V · D · M Mecanica cuantică
Formalismul matematic	Notare Bra-ket · Spațiul Hilbert · postulatele mecanicii cuantice · utilizator comun · Interferența (fizică)
Fundamente și principii	Principiul incertitudinii Heisenberg · Principiul complementarității · Funcția de undă · prăbușirea funcției de undă · Interpretarea de la Copenhaga · Spin · Vechea teorie cuantică · Interpretarea lui Bohm
Operatori	Pulsul Operator · Poziția operatorului · Operatorul Hamiltoniene · Operator momentului cinetic · densitatea operatorului
Formulări	Mecanica undelor · Mecanica matricilor · Integrală pe căi
Ecuații	Ecuația Dirac · ecuația Klein-Gordon · ecuația Pauli · ecuația Schrödinger
Paradoxuri	Pisica lui Schrödinger · Paradoxul EPR · Cuanticul sinuciderii