Energie electrică

Puterea electrică , în ingineria electrică , este fluxul de lucru electric pe unitate de timp, adică:

P={\frac {dw}{dt}}={\frac {dw}{dq}}\cdot {\frac {dq}{dt}}=U\cdot I\,

{\ displaystyle P = {\ frac {dw} {dt}} = {\ frac {dw} {dq}} \ cdot {\ frac {dq} {dt}} = U \ cdot I \,}

{\ displaystyle P = {\ frac {dw} {dt}} = {\ frac {dw} {dq}} \ cdot {\ frac {dq} {dt}} = U \ cdot I \,}

care prin definiția tensiunii și curentului se exprimă prin ecuația ^[1] :

p=v\,i

{\ displaystyle p = v \, i}

{\ displaystyle p = v \, i}

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este puterea electrică livrată sau absorbită de un dispozitiv electric conectat la un bipol supus unei tensiuni electrice $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ și un curent $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , ambele potențial variabile în timp. În general, puterea în sine este numită instantanee pentru a o deosebi de mediile pe perioada cea mai utilizată în sistemele periodice.

Circuite liniare în curent continuu

În curent continuu, toată puterea furnizată de generatoare este disipată pe rezistențele circuitului (rareori chiar și pe generatoare: de exemplu în seria dintre un generator de tensiune și curent și unul de tensiune și curent și tensiune aparentă). Puterea instantanee absorbită de un rezistor liniar, a cărui valoare de rezistență este R , poate fi calculată, ca în orice regim de funcționare, cu prima lege Joule ( efect Joule ). Puterea p (t) va fi apoi dată de formula generală care poate fi apoi rescrisă în alte două forme folosind legea lui Ohm :

p(t)=v(t)i(t)=Ri^{2}(t)={\frac {v^{2}(t)}{R}}

{\ displaystyle p (t) = v (t) i (t) = Ri ^ {2} (t) = {\ frac {v ^ {2} (t)} {R}}}

p (t) = v (t) i (t) = Ri ^ {2} (t) = {\ frac {v ^ {2} (t)} {R}}

dacă v (t) și i (t) sunt, respectiv, tensiunea și curentul măsurate la instant t pe bipol conform convenției utilizatorului.

În curent continuu puteți scrie pur și simplu: ^[2]

P=RI^{2}=VI={\frac {V^{2}}{R}}

{\ displaystyle P = RI ^ {2} = VI = {\ frac {V ^ {2}} {R}}}

P = RI ^ {2} = VI = {\ frac {V ^ {2}} {R}}

Circuite liniare în regim sinusoidal monofazat

În circuitele monofazate sinusoidale (sau curent alternativ ), puterea instantanee pe un bipol generic (sau pe un port al unei componente n- port ) este dată de următoarea relație:

P(t)=V_{\mathrm {rms} }\,{\sqrt {2}}\,\operatorname {sen} {\left(\omega t+\varphi \right)}\cdot I_{\mathrm {rms} }\,{\sqrt {2}}\,\operatorname {sen} \omega t

{\ displaystyle P (t) = V _ {\ mathrm {rms}} \, {\ sqrt {2}} \, \ operatorname {sen} {\ left (\ omega t + \ varphi \ right)} \ cdot I _ {\ mathrm {rms}} \, {\ sqrt {2}} \, \ operatorname {sen} \ omega t}

{\ displaystyle P (t) = V _ {\ mathrm {rms}} \, {\ sqrt {2}} \, \ operatorname {sen} {\ left (\ omega t + \ varphi \ right)} \ cdot I _ {\ mathrm {rms}} \, {\ sqrt {2}} \, \ operatorname {sen} \ omega t}

Folosind a treia formulă a lui Werner, obținem:

P(t)=V_{\mathrm {rms} }\,I_{\mathrm {rms} }\,\cos \varphi -V_{\mathrm {rms} }\,I_{\mathrm {rms} }\,\cos \left(2\omega t+\varphi \right)

{\ displaystyle P (t) = V _ {\ mathrm {rms}} \, I _ {\ mathrm {rms}} \, \ cos \ varphi -V _ {\ mathrm {rms}} \, I _ {\ mathrm {rms}} \, \ cos \ left (2 \ omega t + \ varphi \ right)}

{\ displaystyle P (t) = V _ {\ mathrm {rms}} \, I _ {\ mathrm {rms}} \, \ cos \ varphi -V _ {\ mathrm {rms}} \, I _ {\ mathrm {rms}} \, \ cos \ left (2 \ omega t + \ varphi \ right)}

Dezvoltând al doilea termen în continuare, folosind formula adaosului de cosinus:

P(t)=V_{\mathrm {rms} }\,I_{\mathrm {rms} }\,\cos \varphi \,\left(1-\cos 2\omega t\right)\,+V_{\mathrm {rms} }\,I_{\mathrm {rms} }\,\operatorname {sen} \varphi \operatorname {sen} 2\omega t

{\ displaystyle P (t) = V _ {\ mathrm {rms}} \, I _ {\ mathrm {rms}} \, \ cos \ varphi \, \ left (1- \ cos 2 \ omega t \ right) \, + V _ {\ mathrm {rms}} \, I _ {\ mathrm {rms}} \, \ operatorname {sen} \ varphi \ operatorname {sen} 2 \ omega t}

{\ displaystyle P (t) = V _ {\ mathrm {rms}} \, I _ {\ mathrm {rms}} \, \ cos \ varphi \, \ left (1- \ cos 2 \ omega t \ right) \, + V _ {\ mathrm {rms}} \, I _ {\ mathrm {rms}} \, \ operatorname {sen} \ varphi \ operatorname {sen} 2 \ omega t}

unde V _rms este _rms valoare a tensiunii , I _rms cea a curentului electric , w pulsației și cp defazajul între tensiune și intensitatea curentului. Prin urmare, este un sinusoid cu pulsație (sau frecvență ) dublu comparativ cu cele de tensiune și curent. O componentă (valoarea medie a termenului înmulțită cu cos φ ) este întotdeauna pozitivă și, prin urmare, reprezintă puterea absorbită de bipol (puterea activă ) și care este transformată în căldură prin efectul Joule sau în lucru util în mașinile electrice . Cealaltă componentă (termenul înmulțit cu păcatul φ ) oscilează în jurul valorii de zero și reprezintă puterea stocată alternativ și eliberată de bipol (puterea reactivă ). Termenul $V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cos {2\omega t}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cos {2 \ omega t}}$ $V _ {{{\ mathrm {rms}}}} I _ {{{\ mathrm {rms}}}} \ cos {2 \ omega t}$ se numește putere plutitoare și este zero în cazul sistemelor trifazate simetrice și echilibrate; are amplitudine crescândă cu gradul de disimetrie și dezechilibru și își asumă amplitudine maximă dacă sistemul trifazat devine monofazat.

Valorile puterii instantanee

p(t)

{\ displaystyle p (t)}

p (t)

a puterii atunci când este sinusoidală.
Puterea reală desenată (curba 1) poate fi văzută ca o suprapunere a unei componente care contribuie la puterea activă (curba 3) și a unei componente care contribuie la puterea reactivă (curba 2). Linia punctată,

P.

{\ displaystyle P}

P.

este puterea activă, adică valoarea medie a curbei 3.

Putere activă

S-a definit puterea instantanee ca:

P_{\text{inst}}(t)=p(t)=v(t)\cdot i(t)

{\ displaystyle P _ {\ text {inst}} (t) = p (t) = v (t) \ cdot i (t)}

{\ displaystyle P _ {\ text {inst}} (t) = p (t) = v (t) \ cdot i (t)}

Se poate defini media puterii instantanee pe parcursul perioadei . Primesti:

P={\overline {p}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}v(t)\cdot i(t)\mathrm {d} t

{\ displaystyle P = {\ overline {p}} = {\ frac {1} {T}} \ int \ limits _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} v (t) \ cdot i (t) \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle P = {\ overline {p}} = {\ frac {1} {T}} \ int \ limits _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} v (t) \ cdot i (t) \ mathrm {d} t}

este posibil să se arate că pentru regimurile sinusoidale (sisteme liniare) se scrie ca:

\langle P\rangle =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \cos {\varphi }

{\ displaystyle \ langle P \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ cos {\ varphi}}

\ langle P \ rangle = V _ {{{\ mathrm {rms}}}} I _ {{{\ mathrm {rms}}}} \ cdot \ cos {\ varphi}

Această cantitate reprezintă energia absorbită de bipol într-o perioadă (sau generată, în funcție de convenția utilizată) împărțită la durata perioadei; de aceea se numește putere activă sau putere reală . Este legat, așa cum s-a menționat mai sus, de componenta de semn constantă a puterii instantanee.

Definiția perioadei medii a puterii instantanee rămâne valabilă în orice regim periodic . Puterea activă este măsurată în wați (W).

Exprimarea puterii active în funcție de rezistența și reactanța unui bipol

Să presupunem că un bipol are impedanță

\mathbf {Z} =R+jX=Z\left(\cos {\varphi }+j\mathrm {sen} {\varphi }\right)=Ze^{j\varphi }

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = R + jX = Z \ left (\ cos {\ varphi} + j \ mathrm {sen} {\ varphi} \ right) = Ze ^ {j \ varphi}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = R + jX = Z \ left (\ cos {\ varphi} + j \ mathrm {sen} {\ varphi} \ right) = Ze ^ {j \ varphi}}

În acest caz, valoarea RMS $V_{\mathrm {rms} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {rms}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {rms}}}$ a tensiunii peste bipol și a valorii efective $I_{\mathrm {rms} }$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {rms}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {rms}}}$ a curentului din bipol sunt legate de relația:

V_{\mathrm {rms} }=I_{\mathrm {rms} }Z\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,I_{\mathrm {rms} }=V_{\mathrm {rms} }/Z

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {rms}} = I _ {\ mathrm {rms}} Z \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, I _ {\ mathrm {rms}} = V _ { \ mathrm {rms}} / Z}

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {rms}} = I _ {\ mathrm {rms}} Z \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, I _ {\ mathrm {rms}} = V _ { \ mathrm {rms}} / Z}

și subiectul $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ a numărului complex $\mathbf {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ este egal cu defazarea dintre tensiune și curent.

Înlocuind în expresia puterii active, putem scrie:

\langle P\rangle =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \cos {\varphi }=I_{\mathrm {rms} }^{2}Z\cdot \cos {\varphi }={\frac {V_{\mathrm {rms} }^{2}}{Z}}\cdot \cos {\varphi }

{\ displaystyle \ langle P \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ cos {\ varphi} = I _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} Z \ cdot \ cos {\ varphi} = {\ frac {V _ {\ mathrm {rms}} ^ {2}} {Z}} \ cdot \ cos {\ varphi}}

{\ displaystyle \ langle P \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ cos {\ varphi} = I _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} Z \ cdot \ cos {\ varphi} = {\ frac {V _ {\ mathrm {rms}} ^ {2}} {Z}} \ cdot \ cos {\ varphi}}

Pe de altă parte, pentru modulul Z și pentru argument $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ a unui număr complex $\mathbf {Z} =R+jX$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = R + jX}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = R + jX}$ avem:

Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\,\,\,\,\,\,\cos(\varphi )={\frac {R}{Z}}={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}

{\ displaystyle Z = {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}} \, \, \, \, \, \, \ cos (\ varphi) = {\ frac {R} {Z} } = {\ frac {R} {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}}}}

{\ displaystyle Z = {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}} \, \, \, \, \, \, \ cos (\ varphi) = {\ frac {R} {Z} } = {\ frac {R} {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}}}}

Prin urmare, substituind din nou expresia puterii active absorbite de bipol, obținem în cele din urmă:

\langle P\rangle =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }{\frac {R}{\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}=I_{\mathrm {rms} }^{2}R=V_{\mathrm {rms} }^{2}{\frac {R}{R^{2}+X^{2}}}

{\ displaystyle \ langle P \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} {\ frac {R} {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}} } = I _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} R = V _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} {\ frac {R} {R ^ {2} + X ^ {2}}} }

{\ displaystyle \ langle P \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} {\ frac {R} {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}} } = I _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} R = V _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} {\ frac {R} {R ^ {2} + X ^ {2}}} }

Aceste expresii ale puterii electrice sunt o generalizare a expresiilor cunoscute valabile în cazul în care bipolul este un rezistor DC:

P=VI=I^{2}R={\frac {V^{2}}{R}}

{\ displaystyle P = VI = I ^ {2} R = {\ frac {V ^ {2}} {R}}}

{\ displaystyle P = VI = I ^ {2} R = {\ frac {V ^ {2}} {R}}}

Puterea reactivă

Unele bipole ( bipole reactive sau elemente de stocare ), cum ar fi inductoare și condensatoare, sunt capabile să stocheze energia și să o elibereze mai târziu. Deoarece schimburile au loc într-un mod conservator (sub ipoteza idealității componentelor), energia totală transferată și absorbită într-o perioadă este nulă, așa cum demonstrează termenul în sen φ ( puterea reactivă instantanee ) din formula puterii instantanee . Efectul general este că curentul și tensiunea sunt defazate, ceea ce face adesea necesară introducerea unui condensator în circuit pentru a compensa sarcina.

Pentru a ține cont de acest fenomen, se introduce puterea reactivă care în regim sinusoidal este definită ca puterea reactivă instantanee maximă, adică:

\langle Q\rangle =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \mathrm {sen} \,{\varphi }

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ mathrm {sen} \, {\ varphi}}

\ langle Q \ rangle = V _ {{{\ mathrm {rms}}}} I _ {{{\ mathrm {rms}}}} \ cdot {\ mathrm {sen}} \, {\ varphi}

Din nou $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este unghiul de fază. În regimurile periodice non-sinusoidale , definiția puterii reactive este mai puțin intuitivă ( vezi mai jos ). În regim sinusoidal este partea imaginară a puterii complexe. Unitatea de măsură este de preferință voltamperul reactiv (var).

Pornind de la tensiunea instantanee v ( t ) și curentul i ( t ) este posibil să se calculeze puterea reactivă instantanee folosind următoarea formulă ^[3] :

Q(t)={\frac {1}{2\omega }}\cdot \left(v(t){\frac {di(t)}{dt}}-i(t){\frac {dv(t)}{dt}}\right)

{\ displaystyle Q (t) = {\ frac {1} {2 \ omega}} \ cdot \ left (v (t) {\ frac {di (t)} {dt}} - i (t) {\ frac {dv (t)} {dt}} \ right)}

Q (t) = {\ frac {1} {2 \ omega}} \ cdot \ left (v (t) {\ frac {di (t)} {dt}} - i (t) {\ frac {dv ( t)} {dt}} \ dreapta)

De la care:

\langle Q\rangle ={\frac {\int _{T}Q(t)\,dt}{T}}=V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\operatorname {sen} \varphi

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = {\ frac {\ int _ {T} Q (t) \, dt} {T}} = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ operatorname {sen} \ varphi}

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = {\ frac {\ int _ {T} Q (t) \, dt} {T}} = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ operatorname {sen} \ varphi}

punând:

v(t)=V_{\mathrm {rms} }{\sqrt {2}}\cdot \operatorname {sen}(\omega t)\qquad i(t)=I_{\mathrm {rms} }{\sqrt {2}}\cdot \operatorname {sen}(\omega t-\varphi )

{\ displaystyle v (t) = V _ {\ mathrm {rms}} {\ sqrt {2}} \ cdot \ operatorname {sen} (\ omega t) \ qquad i (t) = I _ {\ mathrm {rms }} {\ sqrt {2}} \ cdot \ operatorname {sen} (\ omega t- \ varphi)}

{\ displaystyle v (t) = V _ {\ mathrm {rms}} {\ sqrt {2}} \ cdot \ operatorname {sen} (\ omega t) \ qquad i (t) = I _ {\ mathrm {rms }} {\ sqrt {2}} \ cdot \ operatorname {sen} (\ omega t- \ varphi)}

Exprimarea puterii reactive în funcție de rezistența și reactanța unui bipol

Să luăm din nou în considerare un bipol care are impedanță

\mathbf {Z} =R+jX=Z\left(\cos {\varphi }+j\mathrm {sen} {\varphi }\right)=Ze^{j\varphi }

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = R + jX = Z \ left (\ cos {\ varphi} + j \ mathrm {sen} {\ varphi} \ right) = Ze ^ {j \ varphi}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = R + jX = Z \ left (\ cos {\ varphi} + j \ mathrm {sen} {\ varphi} \ right) = Ze ^ {j \ varphi}}

Raționând în același mod ca și pentru puterea activă, pentru puterea reactivă putem scrie:

\langle Q\rangle =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \mathrm {sen} \,{\varphi }=I_{\mathrm {rms} }^{2}Z\cdot \mathrm {sen} \,{\varphi }={\frac {V_{\mathrm {rms} }^{2}}{Z}}\cdot \mathrm {sen} \,{\varphi }

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ mathrm {sen} \, {\ varphi} = I _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} Z \ cdot \ mathrm {sen} \, {\ varphi} = {\ frac {V _ {\ mathrm {rms}} ^ {2}} {Z}} \ cdot \ mathrm {sen} \, {\ varphi}}

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ mathrm {sen} \, {\ varphi} = I _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} Z \ cdot \ mathrm {sen} \, {\ varphi} = {\ frac {V _ {\ mathrm {rms}} ^ {2}} {Z}} \ cdot \ mathrm {sen} \, {\ varphi}}

Dar, pentru modulul Z și pentru subiect $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ a unui număr complex $\mathbf {Z} =R+jX$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = R + jX}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = R + jX}$ avem:

Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\,\,\,\,\,\,\mathrm {sen} \,{\varphi }={\frac {X}{Z}}={\frac {X}{\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}

{\ displaystyle Z = {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}} \, \, \, \, \, \, \ mathrm {sen} \, {\ varphi} = {\ frac { X} {Z}} = {\ frac {X} {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}}}}

{\ displaystyle Z = {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}} \, \, \, \, \, \, \ mathrm {sen} \, {\ varphi} = {\ frac { X} {Z}} = {\ frac {X} {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}}}}

Prin urmare, substituind în expresia puterii reactive absorbite de bipol, obținem:

\langle Q\rangle =V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }{\frac {X}{\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}=I_{\mathrm {rms} }^{2}X=V_{\mathrm {rms} }^{2}{\frac {X}{R^{2}+X^{2}}}

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} {\ frac {X} {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}} } = I _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} X = V _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} {\ frac {X} {R ^ {2} + X ^ {2}}} }

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} {\ frac {X} {\ sqrt {R ^ {2} + X ^ {2}}} } = I _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} X = V _ {\ mathrm {rms}} ^ {2} {\ frac {X} {R ^ {2} + X ^ {2}}} }

Putere aparentă

Deși nu disipă energie, bipolii reactivi asigură că, în anumite intervale de timp, curentul care circulă este mai mare decât cel necesar pentru sarcinile rezistive (și, prin urmare, și puterea instantanee transferată de generator). Pentru a dimensiona corespunzător conductorii și generatoarele, se introduce puterea aparentă :

\langle S\rangle ={\frac {V_{\mathrm {max} }I_{\mathrm {max} }}{2}}=V_{\mathrm {rms} }\cdot I_{\mathrm {rms} }

{\ displaystyle \ langle S \ rangle = {\ frac {V _ {\ mathrm {max}} I _ {\ mathrm {max}}} {2}} = V _ {\ mathrm {rms}} \ cdot I _ {\ mathrm {rms}}}

\ langle S \ rangle = {\ frac {V _ {{\ mathrm {max}}}} I _ {{{\ mathrm {max}}}}} {2}} = V _ {{{\ mathrm { rms}}}} \ cdot I _ {{{\ mathrm {rms}}}}

unde este $V_{\mathrm {rms} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {rms}}}$ $V _ {{{\ mathrm {rms}}}}$ Și $I_{\mathrm {rms} }$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {rms}}}$ $I _ {{{\ mathrm {rms}}}}$ sunt valoarea efectivă a tensiunii $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și curent $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

În regim sinusoidal, corespunde amplitudinii oscilației puterii instantanee în jurul valorii sale medii. În regimurile periodice nesinusoidale , definiția este întotdeauna produsul valorilor efective ale tensiunii și curentului. Se măsoară în voltampere (VA).

Puterea complexă

Pentru comoditate, definim puterea complexă ca un fazor :

\langle \mathbf {S} \rangle =\langle P\rangle +j\langle Q\rangle =\langle S\rangle \mathrm {e} ^{j{\varphi }}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {S} \ rangle = \ langle P \ rangle + j \ langle Q \ rangle = \ langle S \ rangle \ mathrm {e} ^ {j {\ varphi}}}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {S} \ rangle = \ langle P \ rangle + j \ langle Q \ rangle = \ langle S \ rangle \ mathrm {e} ^ {j {\ varphi}}}

unde j este unitatea imaginară și numărul lui Napier , $\langle S\rangle$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle}$ $\ langle S \ rangle$ și φ sunt modulul și argumentul puterii.

Această dimensiune exprimă într-un mod compact toate celelalte introduse până acum. În termeni fazorici , pentru o impedanță $\mathbf {Z} =Z\left(\cos {\varphi }+j\mathrm {sen} {\varphi }\right)=R+jX$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = Z \ left (\ cos {\ varphi} + j \ mathrm {sen} {\ varphi} \ right) = R + jX}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = Z \ left (\ cos {\ varphi} + j \ mathrm {sen} {\ varphi} \ right) = R + jX}$ , unde R este rezistența și X reactanța , avem:

\mathbf {S} =\mathbf {V} \cdot \mathbf {\bar {I}} _{\mathrm {rms} }

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ bar {I}} _ {\ mathrm {rms}}}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ bar {I}} _ {\ mathrm {rms}}}

unde este $\mathbf {V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ ${\ mathbf {V}}$ este fazorul de tensiune e $\mathbf {\bar {I}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ bar {I}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ bar {I}}}$ este conjugatul fazorului curent.

Cele trei valori ale $\langle P\rangle$ ${\ displaystyle \ langle P \ rangle}$ $\ langle P \ rangle$ , $\langle Q\rangle$ ${\ displaystyle \ langle Q \ rangle}$ $\ langle Q \ rangle$ Și $\langle S\rangle$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle}$ $\ langle S \ rangle$ sunt, prin urmare, legate între ele prin factorul de putere , care este cosinusul unghiului de fază shift între curent ( $\mathbf {I}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ $\ mathbf {I}$ ) și tensiune ( $\mathbf {V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ ${\ mathbf {V}}$ ), indicat precis cu $\cos(\varphi )$ ${\ displaystyle \ cos (\ varphi)}$ ${\ displaystyle \ cos (\ varphi)}$ .

Reprezentare vectorială

Să ne imaginăm că trasăm o diagramă polară Argand-Gauss în care tensiunea și curentul sunt reprezentate respectiv pe axele X și Y. Vedeți tensiunea ca un vector situat pe axa X, care, pornind de la origine, merge orizontal spre dreapta. Dacă tensiunea este luată ca referință pentru măsurarea defazării, aceasta din urmă nu are componentă imaginară. Curentul trebuie în schimb descompus în componenta reală, care se suprapune în direcție și direcție la tensiune, și în partea imaginară, care apare rotită cu 90º (partea superioară a graficului) pentru componentele inductive și −90º (partea inferioară a graficul) pentru componentele capacitive. Puterea activă este produsul fazor al tensiunii și al părții reale a curentului, deci se află suprapus pe axa tensiunii (vectorul P din grafic). Produsul fazor dintre tensiune și partea imaginară a curentului dă naștere fazorului Q în grafic, a cărui direcție depinde de natura defazării. Dacă într-un circuit există atât o parte inductivă, cât și o parte capacitivă, se poate înțelege cu ușurință cum se compensează puterea reactivă, într-un mod total sau parțial, ca o sumă vectorială a celor două axe cu aceeași direcție, dar opusă.

Grafic care reprezintă factorul de putere

Din grafic rezultă că legătura dintre cele trei puteri poate fi reprezentată și grafic prin intermediul unui triunghi dreptunghi care are ca hipotenuză fazorul puterii aparente S și ca catete axele fazorale ale puterii active P și ale puterii reactive Q . Evident, unghiul dintre cateti va fi un unghi de 90 de grade, în timp ce unghiul dintre P și S va fi unghiul φ , adică unghiul de fază între tensiune și curent.

Teorema lui Boucherot (sau metoda puterii)

Suma puterilor active (sau reactive) furnizate de generatoare într-un circuit liniar fără disipare este egală cu suma aritmetică a puterilor active și suma algebrică a puterilor reactive (deoarece puterea reactivă poate fi atât pozitivă, cât și negativă: pozitiv dacă inductiv, negativ dacă este capacitiv) absorbit de bipoli.

Teorema exprimă faptul că cele două mărimi sunt complet independente una de alta, justificând, printre altele, utilizarea diferitelor unități de măsură .

Prin urmare, teorema spune că atunci când sunt prezente mai multe sarcini în cascadă, este posibil să se adune puterile active și reactive, dar nu și cele aparente, cu excepția cazului în care unghiul de fază ( φ) este același pentru toate sarcinile.

Este remarcabil, de exemplu, că unele generatoare (cum ar fi un motor asincron acționat cu alunecare negativă) nu sunt în măsură să furnizeze putere reactivă. De fapt, dacă sunt conectate într-un circuit generic, acestea nu sunt capabile să furnizeze o sarcină (care în mod normal are și o componentă reactivă , chiar dacă numai datorită efectelor de capacitate parazită ). Generatoarele de acest tip nu se comportă, electric, ca generatoare de tensiune sau ca generatoare de curent , ci, mai corect, ca rezistențe cu valoare negativă. În consecință, ele sunt de obicei schematizate ca rezistențe negative pentru a evidenția acest fapt.

Demonstrație

Pornind de la teorema lui Tellegen , în formă fazorială , avem:

\sum _{k=1}^{l}\mathbf {V_{k}} \,\mathbf {I_{k}} =0=\sum _{k=1}^{l}\mathbf {V_{k}} \,\mathbf {{\bar {I}}_{\mathbf {k} }}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {l} \ mathbf {V_ {k}} \, \ mathbf {I_ {k}} = 0 = \ sum _ {k = 1} ^ {l} \ mathbf {V_ {k}} \, \ mathbf {{\ bar {I}} _ {\ mathbf {k}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {l} \ mathbf {V_ {k}} \, \ mathbf {I_ {k}} = 0 = \ sum _ {k = 1} ^ {l} \ mathbf {V_ {k}} \, \ mathbf {{\ bar {I}} _ {\ mathbf {k}}}}

unde suma se face pe k bipoli ai circuitului (să presupunem că utilizați convenția utilizatorului). Apoi, separăm termenii din cauza generatoarelor și cei din cauza impedanțelor. Pentru termenii datorati generatoarelor produsul $\mathbf {V} \cdot \mathbf {\bar {I}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ bar {I}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ bar {I}}}$ reprezintă puterea complexă livrată de generator (schimbată în semn, având în vedere convenția utilizată). Scriem termenii din cauza impedanțelor prin substituire $\mathbf {V} =\mathbf {Z} \mathbf {I}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} = \ mathbf {Z} \ mathbf {I}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} = \ mathbf {Z} \ mathbf {I}}$ și obținem:

\sum _{k=1}^{l}\left(-\mathbf {S_{k}} +\mathbf {Z} \cdot {I_{rms_{k}}}^{2}\right)=\sum _{k=1}^{l}\left(-P_{k}-jQ_{k}+R_{k}I_{rms_{k}}^{2}+jX_{k}I_{rms_{k}}^{2}\right)=0

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {l} \ left (- \ mathbf {S_ {k}} + \ mathbf {Z} \ cdot {I_ {rms_ {k}}} ^ {2} \ right ) = \ sum _ {k = 1} ^ {l} \ left (-P_ {k} -jQ_ {k} + R_ {k} I_ {rms_ {k}} ^ {2} + jX_ {k} I_ { rms_ {k}} ^ {2} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {l} \ left (- \ mathbf {S_ {k}} + \ mathbf {Z} \ cdot {I_ {rms_ {k}}} ^ {2} \ right ) = \ sum _ {k = 1} ^ {l} \ left (-P_ {k} -jQ_ {k} + R_ {k} I_ {rms_ {k}} ^ {2} + jX_ {k} I_ { rms_ {k}} ^ {2} \ right) = 0}

unde P și Q sunt puterile active și reactive furnizate de generatoare. Echivalând partea reală și partea imaginară la zero, obținem teza:

\sum _{k=1}^{l}P_{k}=\sum _{k=1}^{l}R_{k}I_{rms_{k}}^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {l} P_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {l} R_ {k} I_ {rms_ {k}} ^ {2}}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {l} P_ {k} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {l} R_ {k} I _ {{rms_ {k}}} ^ {2 }

\sum _{k=1}^{l}Q_{k}=\sum _{k=1}^{l}X_{k}I_{rms_{k}}^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {l} Q_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {l} X_ {k} I_ {rms_ {k}} ^ {2}}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {l} Q_ {k} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {l} X_ {k} I _ {{rms_ {k}}} ^ {2 }

Sisteme polifazice

Ceea ce este descris în secțiunea anterioară se referă la un sistem monofazat, adică constând dintr-un circuit cu un singur generator.

Atunci când se ia în considerare un sistem format din mai multe faze, de exemplu sistemul trifazat utilizat în mod obișnuit în distribuția electrică, puterile sunt date de următoarele formule, valabile pentru sistemul trifazat, dar generalizabile pentru mai multe faze:

P=P_{1}+P_{2}+P_{3}\;

{\ displaystyle P = P_ {1} + P_ {2} + P_ {3} \;}

P = P_ {1} + P_ {2} + P_ {3} \;

Q=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}\;

{\ displaystyle Q = Q_ {1} + Q_ {2} + Q_ {3} \;}

Q = Q_ {1} + Q_ {2} + Q_ {3} \;

P_{A}={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}

{\ displaystyle P_ {A} = {\ sqrt {P ^ {2} + Q ^ {2}}}}

P_ {A} = {\ sqrt {P ^ {2} + Q ^ {2}}}

Dacă sistemul este simetric și echilibrat , ele pot fi exprimate și în funcție de mărimile liniei (așa cum se face întotdeauna în datele plăcii) sau ale mărimilor de fază . Este suficient să luăm în considerare relația dintre cantități de fază și linie și obținem:

\langle P\rangle =3\cdot E_{f_{\mathrm {rms} }}I_{f_{\mathrm {rms} }}\cos {\varphi }={\sqrt {3}}\cdot V_{l_{\mathrm {rms} }}I_{l_{\mathrm {rms} }}\cos {\varphi }

{\ displaystyle \ langle P \ rangle = 3 \ cdot E_ {f _ {\ mathrm {rms}}} I_ {f _ {\ mathrm {rms}}} \ cos {\ varphi} = {\ sqrt {3}} \ cdot V_ {l _ {\ mathrm {rms}}} I_ {l _ {\ mathrm {rms}}} \ cos {\ varphi}}

{\ displaystyle \ langle P \ rangle = 3 \ cdot E_ {f _ {\ mathrm {rms}}} I_ {f _ {\ mathrm {rms}}} \ cos {\ varphi} = {\ sqrt {3}} \ cdot V_ {l _ {\ mathrm {rms}}} I_ {l _ {\ mathrm {rms}}} \ cos {\ varphi}}

\langle Q\rangle =3\cdot E_{f_{\mathrm {rms} }}I_{f_{\mathrm {rms} }}\sin {\varphi }={\sqrt {3}}\cdot V_{l_{\mathrm {rms} }}I_{l_{\mathrm {rms} }}\sin {\varphi }

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = 3 \ cdot E_ {f _ {\ mathrm {rms}}} I_ {f _ {\ mathrm {rms}}} \ sin {\ varphi} = {\ sqrt {3}} \ cdot V_ {l _ {\ mathrm {rms}}} I_ {l _ {\ mathrm {rms}}} \ sin {\ varphi}}

{\ displaystyle \ langle Q \ rangle = 3 \ cdot E_ {f _ {\ mathrm {rms}}} I_ {f _ {\ mathrm {rms}}} \ sin {\ varphi} = {\ sqrt {3}} \ cdot V_ {l _ {\ mathrm {rms}}} I_ {l _ {\ mathrm {rms}}} \ sin {\ varphi}}

\langle S\rangle =3\cdot E_{f_{\mathrm {rms} }}I_{f_{\mathrm {rms} }}={\sqrt {3}}\cdot V_{l_{\mathrm {rms} }}I_{l_{\mathrm {rms} }}

{\ displaystyle \ langle S \ rangle = 3 \ cdot E_ {f _ {\ mathrm {rms}}} I_ {f _ {\ mathrm {rms}}} = {\ sqrt {3}} \ cdot V_ {l _ {\ mathrm {rms}}} I_ {l _ {\ mathrm {rms}}}}

{\ displaystyle \ langle S \ rangle = 3 \ cdot E_ {f _ {\ mathrm {rms}}} I_ {f _ {\ mathrm {rms}}} = {\ sqrt {3}} \ cdot V_ {l _ {\ mathrm {rms}}} I_ {l _ {\ mathrm {rms}}}}

.

O caracteristică a sistemului trifazat este că puterea coincide cu puterea activă . Pentru fiecare fază unică avem ( $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este defazarea dintre tensiune și curent, ω este frecvența de oscilație, t este timpul):

{P(t)=2V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \sin \omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi )=2V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \left(\sin ^{2}\omega t\cdot \cos \varphi -\sin \varphi \cdot \sin \omega t\cdot \cos \omega t\right)=}

{\ displaystyle {P (t) = 2V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ sin \ omega t \ cdot \ sin (\ omega t- \ varphi) = 2V _ { \ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ left (\ sin ^ {2} \ omega t \ cdot \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \ cdot \ sin \ omega t \ cdot \ cos \ omega t \ right) =}}

{\ displaystyle {P (t) = 2V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ sin \ omega t \ cdot \ sin (\ omega t- \ varphi) = 2V _ { \ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ left (\ sin ^ {2} \ omega t \ cdot \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \ cdot \ sin \ omega t \ cdot \ cos \ omega t \ right) =}}

{=2V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \left({\frac {1-\cos {2\omega t}}{2}}\cdot \cos {\varphi }-{\frac {1}{2}}\sin {\varphi }\cdot \sin {2\omega t}\right)=V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \cos {\varphi }-V_{\mathrm {rms} }I_{\mathrm {rms} }\cdot \cos(2\omega t-\varphi )}

{\ displaystyle {= 2V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ left ({\ frac {1- \ cos {2 \ omega t}} {2}} \ cdot \ cos {\ varphi} - {\ frac {1} {2}} \ sin {\ varphi} \ cdot \ sin {2 \ omega t} \ right) = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ cos {\ varphi} -V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ cos (2 \ omega t- \ varphi)}}

{\ displaystyle {= 2V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ left ({\ frac {1- \ cos {2 \ omega t}} {2}} \ cdot \ cos {\ varphi} - {\ frac {1} {2}} \ sin {\ varphi} \ cdot \ sin {2 \ omega t} \ right) = V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ cos {\ varphi} -V _ {\ mathrm {rms}} I _ {\ mathrm {rms}} \ cdot \ cos (2 \ omega t- \ varphi)}}

Ultima ecuație arată că puterea instantanee este compusă dintr-un prim termen constant care este echivalent cu puterea activă și un al doilea termen care este o funcție sinusoidală a timpului. Prin adăugarea valorilor obținute pentru cele trei faze, al doilea termen al ecuațiilor, fiind defazat cu 120 °, se anulează reciproc, iar puterea instantanee este egală cu suma primilor termeni constanți.

Regim periodic non-sinusoidal

Aceste sisteme sunt studiate prin analiza Fourier , deseori scrise folosind fazori (începând de la forma polară ). Folosind acest instrument, puterea activă din rețea poate fi calculată ca suma puterilor active calculate individual pentru fiecare armonică . Prin urmare, în general, va fi necesar să se studieze circuitul separat pentru fiecare dintre armonici (așa cum s-ar face pentru regimul sinusoidal) prin dezactivarea generatoarelor (sau a componentelor acestora) la frecvențe diferite; numai la sfârșit va fi posibil să se adauge rezultatele obținute pentru fiecare armonică.

O altă complicație este că tensiunea și curentul pot avea forme de undă diferite. Acest lucru face dificilă definirea puterii reactive în funcție de semnificația sa fizică; prin analogie cu puterea activă este definită ca suma puterilor reactive calculate pentru fiecare armonică. Teorema lui Boucherot nu mai este valabilă, e $P_{A}^{2}\neq P^{2}+Q^{2}$ ${\ displaystyle P_ {A} ^ {2} \ neq P ^ {2} + Q ^ {2}}$ $P_ {A} ^ {2} \ neq P ^ {2} + Q ^ {2}$ . Pentru a ține cont de acest efect, este definită puterea de distorsiune , care este nulă pentru circuitele care nu modifică forma de undă. Puterea aparentă este definită în schimb folosind valorile efective (totale) ale tensiunii și curentului; nu este, așadar, suma puterilor aparente.

Indicând cu indicii n fazorii seriei Fourier și cu $\varphi _{n}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {n}}$ $\ varphi _ {n}$ defazajul între tensiune $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ și curentul $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ , se definesc singuri:

P={\frac {1}{T}}\int _{T}p(t)\,dt=\sum _{n}V_{\mathrm {rms} _{n}}I_{\mathrm {rms} _{n}}\cdot \cos {\varphi _{n}}=\sum _{n}P_{n}

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {T}} \ int _ {T} p (t) \, dt = \ sum _ {n} V _ {\ mathrm {rms} _ {n}} I _ {\ mathrm {rms} _ {n}} \ cdot \ cos {\ varphi _ {n}} = \ sum _ {n} P_ {n}}

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {T}} \ int _ {T} p (t) \, dt = \ sum _ {n} V _ {\ mathrm {rms} _ {n}} I _ {\ mathrm {rms} _ {n}} \ cdot \ cos {\ varphi _ {n}} = \ sum _ {n} P_ {n}}

Q=\sum _{n}V_{\mathrm {rms} _{n}}I_{\mathrm {rms} _{n}}\cdot \sin {\varphi _{n}}=\sum _{n}Q_{n}

{\ displaystyle Q = \ sum _ {n} V _ {\ mathrm {rms} _ {n}} I _ {\ mathrm {rms} _ {n}} \ cdot \ sin {\ varphi _ {n}} = \ sum _ {n} Q_ {n}}

{\ displaystyle Q = \ sum _ {n} V _ {\ mathrm {rms} _ {n}} I _ {\ mathrm {rms} _ {n}} \ cdot \ sin {\ varphi _ {n}} = \ sum _ {n} Q_ {n}}

P_{A}=V_{\mathrm {rms} }\cdot I_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\sum _{n}V_{\mathrm {rms} _{n}}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{n}I_{\mathrm {rms} _{n}}^{2}}}

{\ displaystyle P_ {A} = V _ {\ mathrm {rms}} \ cdot I _ {\ mathrm {rms}} = {\ sqrt {\ sum _ {n} V _ {\ mathrm {rms} _ {n }} ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {\ sum _ {n} I _ {\ mathrm {rms} _ {n}} ^ {2}}}}

{\ displaystyle P_ {A} = V _ {\ mathrm {rms}} \ cdot I _ {\ mathrm {rms}} = {\ sqrt {\ sum _ {n} V _ {\ mathrm {rms} _ {n }} ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {\ sum _ {n} I _ {\ mathrm {rms} _ {n}} ^ {2}}}}

D^{2}=P_{A}^{2}-(P^{2}+Q^{2})

{\ displaystyle D ^ {2} = P_ {A} ^ {2} - (P ^ {2} + Q ^ {2})}

D ^ {2} = P_ {A} ^ {2} - (P ^ {2} + Q ^ {2})

Transfer de putere maximă

Deoarece, conform teoremei lui Thevenin , fiecare rezistivă (sau adynamic) Bipole compus doar rezistoare , independente generatoare, generatoare controlate sau gyrators poate fi reprezentat ca o serie între un rezistor (numit Thevenin rezistor echivalent, $R_{th}$ ${\ displaystyle R_ {th}}$ $R _ {{th}}$ ) și un generator de tensiune independent ( generator echivalent Thévenin , $E_{th}$ ${\ displaystyle E_ {th}}$ $Și _ {{th}}$ ), puterea maximă care poate fi furnizată de bipol poate fi determinată. Ciò avverrà quando il bipolo stesso è chiuso su un resistore il cui valore di resistenza è uguale alla $R_{th}$ $R_{th}$ $R_{{th}}$ .

Dimostrazione

Schema massima potenza ottenibile con circuito Thévenin

Applichiamo un generatore reale di tensione ai due morsetti una generica resistenza R . Sia quindi $P=VI=Ri^{2}$ $P=VI=Ri^{2}$ $P=VI=Ri^{2}$ e $i={\frac {E_{th}}{R+R_{th}}}$ $i={\frac {E_{th}}{R+R_{th}}}$ $i={\frac {E_{{th}}}{R+R_{{th}}}}$ . Sostituendo si ottiene la relazione tra la potenza erogata dal circuito e la resistenza applicata: $P={\frac {R\ E_{th}^{2}}{(R+R_{th})^{2}}}$ $P={\frac {R\ E_{th}^{2}}{(R+R_{th})^{2}}}$ $P={\frac {R\ E_{{th}}^{2}}{(R+R_{{th}})^{2}}}$ . Per ottenere il valore massimo si deve annullare la derivata di questa funzione: ${\frac {dP}{dR}}=0$ ${\frac {dP}{dR}}=0$ ${\frac {dP}{dR}}=0$ . Sviluppando si ottiene $P={\frac {E_{th}^{2}}{\frac {R^{2}+2RR_{th}+R_{th}^{2}}{R}}}$ $P={\frac {E_{th}^{2}}{\frac {R^{2}+2RR_{th}+R_{th}^{2}}{R}}}$ $P={\frac {E_{{th}}^{2}}{{\frac {R^{2}+2RR_{{th}}+R_{{th}}^{2}}{R}}}}$ , quindi ci interessa solo la derivata del denominatore: ${\frac {d_{denom}P}{dR}}={\frac {R(2R+2R_{th})-(R^{2}+2RR_{th}+R_{th}^{2})}{R^{2}}}=$ ${\frac {d_{denom}P}{dR}}={\frac {R(2R+2R_{th})-(R^{2}+2RR_{th}+R_{th}^{2})}{R^{2}}}=$ ${\frac {d_{{denom}}P}{dR}}={\frac {R(2R+2R_{{th}})-(R^{2}+2RR_{{th}}+R_{{th}}^{2})}{R^{2}}}=$ $={\frac {R^{2}-R_{th}^{2}}{R^{2}}}=0\rightarrow R=R_{th}$ $={\frac {R^{2}-R_{th}^{2}}{R^{2}}}=0\rightarrow R=R_{th}$ $={\frac {R^{2}-R_{{th}}^{2}}{R^{2}}}=0\rightarrow R=R_{{th}}$ .

Ne consegue, tramite una semplice sostituzione, che la potenza massima erogata sarà data dal seguente valore: $P_{max}={\frac {E_{th}^{2}}{4R_{th}}}$ $P_{max}={\frac {E_{th}^{2}}{4R_{th}}}$ $P_{{max}}={\frac {E_{{th}}^{2}}{4R_{{th}}}}$ .

Il teorema si estende facilmente a circuiti lineari in regime periodico sinusoidale. In questo caso si vuole non solo che siano identiche le resistenze, ma anche che si annulli la reattanza (nella dimostrazione di cui sopra comparirà al denominatore sommata in quadratura alla resistenza). Questo risultato si ottiene, per esempio, ponendo un condensatore in parallelo a un carico induttivo in modo che vi sia risonanza . In questo modo i bipoli reattivi scambiano energia solo tra di loro, così che la potenza reattiva erogata dal generatore sia nulla e quindi la corrente erogata dal generatore sia solo quella che effettivamente compirà lavoro utile. Questo è di particolare importanza negli impianti elettrici , il cui adattamento prende il nome di rifasamento .