Potențial scalar
Potențialul scalar este un câmp scalar al cărui gradient este un câmp vector dat și este studiat în matematică aplicată , în special în calculul vectorial . Din punct de vedere istoric, conceptul sa născut pentru a descrie câmpul electrostatic .
Definiție
Având în vedere un câmp vector elegant , o funcție se numește potențial scalar elegant astfel încât:
acesta este gradientul este câmpul vectorial în sine. Dacă gradientul există, câmpul vector este un câmp conservator . În acest caz, caracterul vectorial al câmpului se pierde deoarece poate fi descris de un câmp scalar (cu pierderea consecutivă a entropiei informaționale ),
În mod echivalent, dacă este conservator ( rotorul său este zero) și componentele sale au derivate parțiale continue , potențialul de în în ceea ce privește poziția este dat de integralul de linie :
unde este este orice curbă regulată în bucăți conținută în care se alătură la :
În trei dimensiuni, prin plasare Și avem (atâta timp cât domeniul este conectat prin rupt):
și componentele Sunt:
sau derivatele parțiale ale potențialului față de variabilă , Și . Prin integrarea ambilor membri ai fiecărei ecuații a sistemului avem un sistem de ecuații diferențiale care au ca soluție o clasă de funcții definite până la o constantă .
Potențialul este întotdeauna definit până la o constantă multiplicativă arbitrară și, prin urmare, este proporțional cu energia potențială a unui corp cufundat în câmp. Constanta proporționalității este aceeași cu cea dintre intensitatea câmpului și forța care acționează asupra corpului.
Potențial gravitațional
În contextul mecanicii clasice , conform legii gravitației universale a lui Newton , câmpul gravitațional exercitat de un corp asemănător unui punct sau de un corp rigid cu densitate sferic simetrică (a se vedea teorema sferică a cochiliei ), de masă , care pentru simplitate considerăm că este plasat în originea axelor carteziene , este:
unde este este modulul distanței e versorul său, în timp ce este constanta gravitației universale . În consecință, potențialul va avea expresia:
unde este este energia potențială gravitațională a corpului de masă poziționat în . Prin convenție, constanta aditivă este setat egal cu zero: aceasta corespunde setării condiției de limitare pentru care potențialul dispare tindând la infinit.
Când considerăm o centură limitată lângă suprafața pământului, câmpul gravitațional al Pământului poate fi aproximat cu un vector constant (cu modul egal cu ) îndreptat vertical în jos. În acest caz, expresia potențialului este:
unde este este valoarea accelerației medii a gravitației în acea regiune; trebuie remarcat faptul că pe suprafața pământului este în medie egal cu aproximativ 9,81 m / s². Constanta poate fi ales în mod arbitrar, deoarece în interval sunt de interes doar variațiile potențiale. Unitatea de măsură a potențialului gravitațional este .
Potențial electrostatic
Faptul că câmpul electrostatic poate fi reprezentat ca un potențial scalar este legat de faptul că este un câmp irotațional (caz particular al legii lui Faraday pentru electrostatice):
de fapt, în acest caz, teorema rotorului garantează că un câmp nul al rotorului are un potențial scalar simplu:
Aici este potențialul scalar pe care l-am asociat cu câmpul electrostatic, numit potențial electrostatic . Unitatea de măsură a potențialului electric este voltul : între două puncte Și a unei regiuni a spațiului în care se află un câmp electric există o diferență de potențial de dacă forța electrică face munca de a purta o taxă de din la . În cazul general al electrodinamicii, legea lui Faraday, pe de altă parte, face câmpul electric proporțional rotațional cu variația în timp a câmpului magnetic :
Pe de altă parte, legea Gauss magnetică este echivalentă cu teorema divergenței pentru a spune că câmpul magnetic admite un potențial vectorial :
Comparativ cu cazul anterior, trebuie doar să adăugați un termen:
adică legea lui Faraday corespunde exprimării câmpului electric în următoarea funcție a potențialelor electrostatice și magnetice:
Energie electrostatică
Potențialul electric corespunde energiei potențiale asociate cu o sarcină punctuală pe unitate de sarcină electrică, deoarece câmpul magnetic nu admite energie potențială. Energia potențială a sarcinii este nivelul de energie pe care sarcina îl deține datorită poziției sale în câmpul electric; prin urmare, potențialul electric al sarcinii de testare este raportul dintre energia potențială și valoarea sarcinii în sine, adică:
Presiune
În dinamica fluidelor clasice și statica fluidelor , dacă se introduce simplificarea fluidului ideal , presiunea este energia potențială pe unitate de volum a forțelor de suprafață. În fluidostatice în același timp este și cazul forțelor de volum.
Difuzie materială
Viteza într-un mediu difuziv admite un potențial cinetic numit difuzivitate ,: :
- .
în timp ce în cazul general, în care rotorul de viteză nu este zero, viteza este, de asemenea, o funcție a altor parametri legați de acesta.
În cazul difuziv, legile lui Fick se dovedesc a fi valabile.
Bibliografie
- ( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
- ( EN ) George B. Arfken și Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists , ediția a VI-a, Elsevier Academic Press (2005)
- ( EN ) DJ Acheson, Dinamica fluidelor elementare , Oxford University Press (2005)