Potențial scalar

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Potențialul scalar este un câmp scalar al cărui gradient este un câmp vector dat și este studiat în matematică aplicată , în special în calculul vectorial . Din punct de vedere istoric, conceptul sa născut pentru a descrie câmpul electrostatic .

Definiție

Având în vedere un câmp vector elegant , o funcție se numește potențial scalar elegant astfel încât:

       

acesta este gradientul este câmpul vectorial în sine. Dacă gradientul există, câmpul vector este un câmp conservator . În acest caz, caracterul vectorial al câmpului se pierde deoarece poate fi descris de un câmp scalar (cu pierderea consecutivă a entropiei informaționale ),

În mod echivalent, dacă este conservator ( rotorul său este zero) și componentele sale au derivate parțiale continue , potențialul de în în ceea ce privește poziția este dat de integralul de linie :

unde este este orice curbă regulată în bucăți conținută în care se alătură la :

În trei dimensiuni, prin plasare Și avem (atâta timp cât domeniul este conectat prin rupt):

și componentele Sunt:

adică derivatele parțiale ale potențialului față de variabilă , Și . Prin integrarea ambilor membri ai fiecărei ecuații a sistemului avem un sistem de ecuații diferențiale care au ca soluție o clasă de funcții definite până la o constantă .

Potențialul este întotdeauna definit până la o constantă multiplicativă arbitrară și, prin urmare, este proporțional cu energia potențială a unui corp cufundat în câmp. Constanta proporționalității este aceeași cu cea dintre intensitatea câmpului și forța care acționează asupra corpului.

Potențial gravitațional

Reprezentarea potențialului gravitațional dintre Pământ și Lună.

În contextul mecanicii clasice , conform legii gravitației universale a lui Newton , câmpul gravitațional exercitat de un corp asemănător unui punct sau de un corp rigid cu densitate sferic simetrică (a se vedea teorema sferică a cochiliei ), de masă , care pentru simplitate considerăm că este plasat în originea axelor carteziene , este:

unde este este modulul distanței e versorul său, în timp ce este constanta gravitației universale . În consecință, potențialul va avea expresia:

unde este este energia potențială gravitațională a corpului de masă poziționat în . Prin convenție, constanta aditivă este setat egal cu zero: aceasta corespunde setării condiției de limitare pentru care potențialul dispare tindând la infinit.

Când considerăm o centură limitată lângă suprafața pământului, câmpul gravitațional al Pământului poate fi aproximat cu un vector constant (cu modul egal cu ) îndreptat vertical în jos. În acest caz, expresia potențialului este:

unde este este valoarea accelerației medii a gravitației în acea regiune; trebuie remarcat faptul că pe suprafața pământului este în medie egal cu aproximativ 9,81 m / s². Constanta poate fi ales în mod arbitrar, deoarece în cadrul intervalului sunt de interes doar variațiile potențiale. Unitatea de măsură a potențialului gravitațional este .

Potențial electrostatic

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: câmp electric .

Faptul că câmpul electrostatic poate fi reprezentat ca un potențial scalar este legat de faptul că este un câmp irotațional (caz particular al legii lui Faraday pentru electrostatice):

de fapt, în acest caz, teorema rotorului garantează că un câmp nul al rotorului are un potențial scalar simplu:

Aici este potențialul scalar pe care l-am asociat cu câmpul electrostatic, numit potențial electrostatic . Unitatea de măsură a potențialului electric este voltul : între două puncte Și a unei regiuni a spațiului în care se află un câmp electric există o diferență de potențial de dacă forța electrică face munca de a purta o taxă de din la . În cazul general al electrodinamicii, legea lui Faraday, pe de altă parte, face câmpul electric proporțional rotațional cu variația în timp a câmpului magnetic :

Pe de altă parte, legea Gauss magnetică este echivalentă cu teorema divergenței pentru a spune că câmpul magnetic admite un potențial vectorial :

Comparativ cu cazul anterior, trebuie doar să adăugați un termen:

adică legea lui Faraday corespunde exprimării câmpului electric în următoarea funcție a potențialelor electrostatice și magnetice:

Energie electrostatică

Potențialul electric corespunde energiei potențiale asociate cu o sarcină punctuală pe unitate de sarcină electrică, deoarece câmpul magnetic nu admite energie potențială. Energia potențială a sarcinii este nivelul de energie pe care sarcina îl deține datorită poziției sale în câmpul electric; prin urmare, potențialul electric al sarcinii de testare este raportul dintre energia potențială și valoarea sarcinii în sine, adică:

Presiune

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: mecanica continuului .

În dinamica fluidelor clasice și fluidostatica , dacă se introduce simplificarea fluidului ideal , presiunea este energia potențială pe unitate de volum a forțelor de suprafață. În fluidostatice în același timp este și cazul forțelor de volum.

Difuzie materială

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Difuzivitatea materiei .

Viteza într-un mediu difuziv admite un potențial cinetic numit difuzivitate ,: :

.

în timp ce în cazul general, în care rotorul de viteză nu este zero, viteza este, de asemenea, o funcție a altor parametri legați de acesta.

În cazul difuziv, legile lui Fick se dovedesc a fi valabile.

Bibliografie

  • ( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
  • ( EN ) George B. Arfken și Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists , ediția a VI-a, Elsevier Academic Press (2005)
  • ( EN ) DJ Acheson, Dinamica fluidelor elementare , Oxford University Press (2005)

Elemente conexe