Potențial vectorial

În calculul vectorial potențialul vectorial este un câmp vector al cărui rotor este un câmp vector dat. Este analogul potențialului scalar , care este un câmp scalar al cărui gradient este un câmp vector dat.

Definiție

Având în vedere un câmp vector ${\boldsymbol {\alpha }}:{\boldsymbol {\Omega }}_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}: {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {2} \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}: {\ boldsymbol \ Omega} _ {2} \ subseteq {\ mathbb {R}} ^ {{3}} \ longrightarrow {\ mathbb {R}} ^ {{3}}$ elegant $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ , vectorul potențial al ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ este un câmp ${\boldsymbol {\beta }}_{2}:{\boldsymbol {\Omega }}_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2}: {\ boldsymbol {\ Omega}} _ {2} \ subseteq \ mathbb {R} ^ {3} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {3} }$ ${\ boldsymbol \ beta} _ {2}: {\ boldsymbol \ Omega} _ {2} \ subseteq {\ mathbb {R}} ^ {{3}} \ longrightarrow {\ mathbb {R}} ^ {{3} }$ elegant $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ definite formal de raport

{\boldsymbol {\alpha }}=\nabla \times {\boldsymbol {\beta }}_{2}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2}}

{\ boldsymbol \ alpha} = \ nabla \ times {\ boldsymbol \ beta} _ {2}

adică ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ este rotorul lui ${\boldsymbol {\beta }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2}}$ ${\ boldsymbol \ beta} _ {2}$ .

De la divergența unui rotor al unui câmp $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ Nu-i nimic, ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ trebuie să aibă zero divergență , adică:

\nabla \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} = 0}

\ nabla \ cdot {\ boldsymbol \ alpha} = 0

Explicarea componentelor rotorului ${\boldsymbol {\beta }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2}}$ ${\ boldsymbol \ beta} _ {2}$ obținem următorul sistem de 3 funcții cu 3 variabile cu, deci, 9 grade de libertate :

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial \beta _{2z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \beta _{2y}}{\partial z}}=\alpha _{x}\\{\frac {\partial \beta _{2x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \beta _{2z}}{\partial x}}=\alpha _{y}\\{\frac {\partial \beta _{2y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \beta _{2x}}{\partial y}}=\alpha _{z}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial \ beta _ {2z}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial \ beta _ {2y}} {\ partial z }} = \ alpha _ {x} \\ {\ frac {\ partial \ beta _ {2x}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial \ beta _ {2z}} {\ partial x}} = \ alpha _ {y} \\ {\ frac {\ partial \ beta _ {2y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial \ beta _ {2x}} {\ partial y}} = \ alfa _ {z} \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial \ beta _ {{2z}}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial \ beta _ {{2y}}} {\ partial z}} = \ alpha _ {x} \\ {\ frac {\ partial \ beta _ {{2x}}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial \ beta _ {{2z}}} { \ partial x}} = \ alpha _ {y} \\ {\ frac {\ partial \ beta _ {{2y}}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial \ beta _ {{2x}} } {\ partial y}} = \ alpha _ {z} \ end {matrix}} \ right.

unde este $\alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {x}, \ alpha _ {y}, \ alpha _ {z}}$ $\ alpha _ {x}, \ alpha _ {y}, \ alpha _ {z}$ sunt cele trei componente ale câmpului.

O altă metodă de calcul al potențialului vectorial poate fi obținută prin aplicarea teoremei rotorului . Cu o alegere adecvată a suprafeței deschise, a cărei pistă este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , fluxul de câmp este egal cu fluxul rotorului

\int _{S}{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \ \operatorname {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {\beta }}_{2})\cdot \operatorname {d} {\boldsymbol {s}}=\oint _{\partial S}{\boldsymbol {\beta }}_{2}\cdot \operatorname {d} {\boldsymbol {r}}

{\ displaystyle \ int _ {S} {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ \ operatorname {d} {\ boldsymbol {s}} = \ int _ {S} (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ beta }} _ {2}) \ cdot \ operatorname {d} {\ boldsymbol {s}} = \ oint _ {\ partial S} {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} \ cdot \ operatorname {d} { \ boldsymbol {r}}}

\ int _ {S} {\ boldsymbol \ alpha} \ cdot \ \ operatorname d {\ boldsymbol s} = \ int _ {{S}} (\ nabla \ times {\ boldsymbol \ beta} _ {2}) \ cdot \ operatorname d {\ boldsymbol s} = \ oint _ {{\ partial S}} {\ boldsymbol \ beta} _ {2} \ cdot \ operatorname d {\ boldsymbol r}

unde ultima egalitate se datorează faptului că, pentru definirea potențialului, fluxul este egal cu circulația ${\boldsymbol {\beta }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ ${\ boldsymbol \ beta}$ de-a lungul hotarului .

Potențialul vectorial al unui câmp este definit până la un gradient, deoarece rotorul de gradient al unei funcții de clasă $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ este întotdeauna nul.
Este ${\boldsymbol {\beta }}_{2}+\nabla \beta _{1}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} + \ nabla \ beta _ {1}}$ ${\ boldsymbol \ beta} _ {2} + \ nabla \ beta _ {1}$ , unde este ${\boldsymbol {\beta }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2}}$ ${\ boldsymbol \ beta} _ {2}$ este un vector potențial al ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ Și $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$ este un potențial scalar al clasei a doua de continuitate . Aplicarea definiției:

\nabla \times ({\boldsymbol {\beta }}_{2}+\nabla \beta _{1})=\nabla \times {\boldsymbol {\beta }}_{2}+\nabla \times \nabla \beta _{1}={\boldsymbol {\alpha }}

{\ displaystyle \ nabla \ times ({\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} + \ nabla \ beta _ {1}) = \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} + \ nabla \ times \ nabla \ beta _ {1} = {\ boldsymbol {\ alpha}}}

\ nabla \ times ({\ boldsymbol \ beta} _ {2} + \ nabla \ beta _ {1}) = \ nabla \ times {\ boldsymbol \ beta} _ {2} + \ nabla \ times \ nabla \ beta _ {1} = {\ boldsymbol \ alpha}

Este clar cum $\nabla \beta _{1}$ ${\ displaystyle \ nabla \ beta _ {1}}$ $\ nabla \ beta _ {1}$ nu afectează definiția vectorului potențial. Această ultimă transformare este un exemplu de invarianță a ecartamentului .

Potențialul magnetic

Același subiect în detaliu: potențial magnetic .

Potențialul vectorial al câmpului magnetic, indicat de obicei prin A , este un câmp vectorial astfel încât vectorul câmpului magnetic B să fie egal cu rotorul lui A : ^[1]

\mathbf {B} _{0}(x,y,z)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}(x,y,z)

{\ displaystyle \ mathbf {B} _ {0} (x, y, z) = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} _ {0} (x, y, z)}

{\ mathbf B} _ {0} (x, y, z) = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A} _ {0} (x, y, z)

Potențialul vector este determinat până la gradientul unei funcții arbitrare $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (Transformare ecartament). De fapt, rotorul unui gradient este identic zero:

\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {A} _{0}+\mathbf {\nabla } V)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times (\ mathbf {A} _ {0} + \ mathbf {\ nabla} V) = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} _ {0}}

{\ mathbf \ nabla} \ times ({\ mathbf A} _ {0} + {\ mathbf \ nabla} V) = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A} _ {0}

Aplicarea rotorului la ecuația potențialului vectorial se obține, știind că divergența unui câmp solenoidal este zero:

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} _{0}=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} _{0})-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}=-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} _ {0} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} _ {0} = \ mathbf { \ nabla} (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} _ {0}) - \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {A} _ {0} = - \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {A} _ {0}}

{\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf B} _ {0} = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A} _ {0} = {\ mathbf \ nabla} ({\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf A} _ {0}) - {\ mathbf \ nabla} ^ {2} {\ mathbf A} _ {0} = - {\ mathbf \ nabla} ^ {2 } {\ mathbf A} _ {0}

și amintind de Legea lui Ampère, avem:

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}=-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {A} _{0}=\mu _{0}\rho _{E}\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} _ {0} = - \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {A} _ {0} = \ mu _ {0} \ rho _ {E} \ mathbf {v}}

{\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf B} _ {0} = - {\ mathbf \ nabla} ^ {2} {\ mathbf A} _ {0} = \ mu _ {0} \ rho _ {E } {\ mathbf v}

.

Aceasta implică faptul că componentele $\mathbf {A} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0}}$ ${\ mathbf A} _ {0}$ verificați ecuația Poisson : ^[2]

{\begin{cases}\nabla ^{2}A_{0x}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{x}\\\nabla ^{2}A_{0y}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{y}\\\nabla ^{2}A_{0z}=-\mu _{0}\rho _{E}v_{z}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla ^ {2} A_ {0x} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {x} \\\ nabla ^ {2} A_ {0y} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {y} \\\ nabla ^ {2} A_ {0z} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {z} \ end { cazuri}}}

{\ begin {cases} \ nabla ^ {2} A _ {{0x}} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {x} \\\ nabla ^ {2} A _ {{0y }} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {y} \\\ nabla ^ {2} A _ {{0z}} = - \ mu _ {0} \ rho _ {E} v_ {z} \ end {cases}}

Soluția ecuației există și este unică: ^[3]

\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V'}{\frac {\rho _{E}\mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{|\Delta \mathbf {r} |}}dV'

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {V '} {\ frac {\ rho _ {E} \ mathbf {v} (\ mathbf {r} ')} {| \ Delta \ mathbf {r} |}} dV'}

{\ mathbf A} _ {0} ({\ mathbf r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {{V '}} {\ frac {\ rho _ {E} {\ mathbf v} ({\ mathbf r} ')} {| \ Delta {\ mathbf r} |}} dV'

În special, pentru circuitele de tip thread:

\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{l'}{\frac {d\mathbf {l} '}{|\Delta \mathbf {r} |}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I \ int _ {l '} {\ frac {d \ mathbf {l} '} {| \ Delta \ mathbf {r} |}}}

{\ mathbf A} _ {0} ({\ mathbf r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I \ int _ {{l '}} {\ frac {d { \ mathbf l} '} {| \ Delta {\ mathbf r} |}}

.

Notă

^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 273 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 274 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 260 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 22345 · GND (DE) 4279475-4

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Mencuccini, Silvestrini , pagina 273 .

[2] Mencuccini, Silvestrini , pagina 274 .

[3] Mencuccini, Silvestrini , pagina 260 .

[1]

[2]

[3]