Precesiunea periheliului orbitei lui Mercur

Precesiunea periheliului (puternic exagerată).

Prin precesiune a periheliului orbitei lui Mercur înțelegem precesiunea (rotația) periheliului (cel mai apropiat punct de Soare ) al orbitei planetei Mercur .

Dintre toate planetele din sistemul solar , Mercur este cea cu cea mai pronunțată precesiune de periheliu , fiind cea mai apropiată de Soare.

Istorie

Animația precesiei periheliului lui Mercur (animație nu la scară).

Fenomenul este prezis de teoria gravitației universale a lui Isaac Newton , dar Urbain Le Verrier a fost primul care a descoperit că această planetă avansează mai repede decât prevede teoria însăși: observațiile arată că longitudinea periheliului, adică suma longitudinii nodul ascendent și argumentul periheliului, crește cu 5600 "( secunde de arc ) în fiecare secol. Figura prezisă teoretic, luând în considerare interacțiunea cu celelalte planete este în loc de 5557" / secol, cu o diferență de 43 "aprox.

Au fost propuse mai multe soluții pentru rezolvarea acestei probleme:

Le Verrier în 1859 ^[1] ^{[2] a} propus existența unei ipotetice planete Vulcan , a cărei orbită ar fi internă cu cea a lui Mercur. Le Verrier aplicase aceeași metodă planetelor exterioare cu câțiva ani mai devreme, „descoperind” senzațional planeta Neptun fără a fi nevoie să o vadă.
Un satelit ipotetic al lui Mercur
Masă cu 10% mai mare pentru Venus
Non-sfericitatea Soarelui (gravitațional J2)
Modificări ale gravitației universale: $F=G{\frac {mm'}{d^{2+\epsilon }}}$ ${\ displaystyle F = G {\ frac {mm '} {d ^ {2+ \ epsilon}}}}$ ${\ displaystyle F = G {\ frac {mm '} {d ^ {2+ \ epsilon}}}}$

În 1919, Albert Einstein a anunțat că teoria relativității generale a prezis o precesiune a periheliului planetelor chiar și în absența interacțiunii dintre ele (în timp ce mecanica clasică prezice în acest caz că orbita este o elipsă fixă și imuabilă) și că magnitudinea acestei precesiuni pentru Mercur a corespuns abaterii observate.

Soluția lui Einstein

Einstein în 1921.

În relativitatea generală este posibil să se demonstreze că dacă derivata tensorului metric $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ cu privire la o coordonată $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este zero (adică dacă metrica este ciclică în raport cu această coordonată), atunci derivata în raport cu spațiul propriu al vitezei patru $u_{\alpha }$ ${\ displaystyle u _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle u _ {\ alpha}}$ Nu-i nimic. Trebuie subliniat faptul că teorema este valabilă doar pentru componentele covariante ale vitezei patru (adică derivata lui $u^{\alpha }$ ${\ displaystyle u ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle u ^ {\ alpha}}$ nu este neapărat nimic).

Prin fixarea mișcării în plan $\theta =\pi /2$ ${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$ , metrica Schwarzschild nu depinde nici de timp, nici de unghi $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ și, prin urmare, există două integrale ale mișcării, $u_{0}={\tilde {E}}$ ${\ displaystyle u_ {0} = {\ tilde {E}}}$ ${\ displaystyle u_ {0} = {\ tilde {E}}}$ Și $u_{3}={\tilde {L}}$ ${\ displaystyle u_ {3} = {\ tilde {L}}}$ ${\ displaystyle u_ {3} = {\ tilde {L}}}$ . De fapt, invarianța temporală este asociată cu o energie, în timp ce cea de rotație este asociată cu un moment unghiular.

În plus, fiind $g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=1$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = 1}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} = 1}$ , ecuația poate fi scrisă prin creșterea constantă a indicilor

${\frac {{\tilde {E}}^{2}}{1-2GM/r}}-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{1-2GM/r}}-{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{r^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {E}} ^ {2}} {1-2GM / r}} - {\ frac {{\ dot {r}} ^ {2}} {1-2GM / r }} - {\ frac {{\ tilde {L}} ^ {2}} {r ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {E}} ^ {2}} {1-2GM / r}} - {\ frac {{\ dot {r}} ^ {2}} {1-2GM / r }} - {\ frac {{\ tilde {L}} ^ {2}} {r ^ {2}}} = 1}$

unde este ${\dot {r}}$ ${\ displaystyle {\ dot {r}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {r}}}$ denotă derivatul cu privire la $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ și s-a pus singur $c=1$ ${\ displaystyle c = 1}$ ${\ displaystyle c = 1}$ .

De aici putem obține o ecuație diferențială pentru $r(\phi )$ ${\ displaystyle r (\ phi)}$ ${\ displaystyle r (\ phi)}$ , de când exploatează regula Leibniz ${\dot {r}}=-{\tilde {L}}^{2}/r^{2}\mathrm {d} r/\mathrm {d} \phi$ ${\ displaystyle {\ dot {r}} = - {\ tilde {L}} ^ {2} / r ^ {2} \ mathrm {d} r / \ mathrm {d} \ phi}$ ${\ displaystyle {\ dot {r}} = - {\ tilde {L}} ^ {2} / r ^ {2} \ mathrm {d} r / \ mathrm {d} \ phi}$ .

Apoi efectuați înlocuirea $u=1/r$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$ , într-un mod similar cu ceea ce se face de obicei pentru soluționarea problemei lui Kepler , obținem

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+3GMu^{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ phi ^ {2}}} + u = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} + 3GMu ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ phi ^ {2}}} + u = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} + 3GMu ^ {2}}

pentru a compara cu ecuația newtoniană

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ phi ^ {2}}} + u = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ phi ^ {2}}} + u = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}}}

Incidența termenului neliniar $3GMu^{2}$ ${\ displaystyle 3GMu ^ {2}}$ ${\ displaystyle 3GMu ^ {2}}$ în comparație cu potențialul clasic $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ reține, reintrând valoarea $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ și înlocuirea a $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ masa Soarelui ea $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ raza orbitei lui Mercur, $3GM/c^{2}r\sim 10^{-7}$ ${\ displaystyle 3GM / c ^ {2} r \ sim 10 ^ {- 7}}$ ${\ displaystyle 3GM / c ^ {2} r \ sim 10 ^ {- 7}}$ .

Aceasta înseamnă că este posibil să se trateze perturbabil acest termen.

S-a scris soluția ecuației clasice

r_{N}(\phi )=A\cos(\phi +\phi _{0})+{\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}

{\ displaystyle r_ {N} (\ phi) = A \ cos (\ phi + \ phi _ {0}) + {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}}}

{\ displaystyle r_ {N} (\ phi) = A \ cos (\ phi + \ phi _ {0}) + {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}}}

adică

u_{N}={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}(1+e\cos \phi )

{\ displaystyle u_ {N} = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} (1 + e \ cos \ phi)}

{\ displaystyle u_ {N} = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} (1 + e \ cos \ phi)}

unde este $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este excentricitatea orbiei eliptice.

Apropiindu-se $3GMu^{2}=3GMu_{N}^{2}$ ${\ displaystyle 3GMu ^ {2} = 3GMu_ {N} ^ {2}}$ ${\ displaystyle 3GMu ^ {2} = 3GMu_ {N} ^ {2}}$ , ecuația relativistă devine

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+{\frac {3G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}(1+2e\cos \phi )

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ phi ^ {2}}} + u = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} + {\ frac {3G ^ {3} M ^ {3}} {{\ tilde {L}} ^ {4}}} (1 + 2e \ cos \ phi)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ phi ^ {2}}} + u = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} + {\ frac {3G ^ {3} M ^ {3}} {{\ tilde {L}} ^ {4}}} (1 + 2e \ cos \ phi)}

unde, valabil pentru Mercur $e=0.206\ll 1$ ${\ displaystyle e = 0,206 \ ll 1}$ ${\ displaystyle e = 0,206 \ ll 1}$ , termenii din $e^{2}$ ${\ displaystyle e ^ {2}}$ ${\ displaystyle e ^ {2}}$ .

Din nou, constanta $3G^{3}M^{3}/{\tilde {L}}^{4}\ll GM/{\tilde {L}}^{2}$ ${\ displaystyle 3G ^ {3} M ^ {3} / {\ tilde {L}} ^ {4} \ ll GM / {\ tilde {L}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle 3G ^ {3} M ^ {3} / {\ tilde {L}} ^ {4} \ ll GM / {\ tilde {L}} ^ {2}}$ și de aceea poate fi neglijat și.

Rămâne

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \phi ^{2}}}+u={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}+{\frac {6G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}e\cos \phi

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ phi ^ {2}}} + u = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} + {\ frac {6G ^ {3} M ^ {3}} {{\ tilde {L}} ^ {4}}} și \ cos \ phi}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ phi ^ {2}}} + u = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} + {\ frac {6G ^ {3} M ^ {3}} {{\ tilde {L}} ^ {4}}} și \ cos \ phi}

O soluție specială la această ecuație este dată de

u(\phi )={\frac {3G^{3}M^{3}}{{\tilde {L}}^{4}}}\phi \sin \phi +{\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}

{\ displaystyle u (\ phi) = {\ frac {3G ^ {3} M ^ {3}} {{\ tilde {L}} ^ {4}}} \ phi \ sin \ phi + {\ frac {GM } {{\ tilde {L}} ^ {2}}}}

{\ displaystyle u (\ phi) = {\ frac {3G ^ {3} M ^ {3}} {{\ tilde {L}} ^ {4}}} \ phi \ sin \ phi + {\ frac {GM } {{\ tilde {L}} ^ {2}}}}

prin urmare, luând în considerare și soluția ecuației omogene asociate, obținem

u(\phi )={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}\left(1+e\cos \phi +{\frac {3eG^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\phi \sin \phi \right)

{\ displaystyle u (\ phi) = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ left (1 + e \ cos \ phi + {\ frac {3eG ^ {2} M ^ {2}} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ phi \ sin \ phi \ right)}

{\ displaystyle u (\ phi) = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ left (1 + e \ cos \ phi + {\ frac {3eG ^ {2} M ^ {2}} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ phi \ sin \ phi \ right)}

Această soluție poate fi rescrisă în mod convenabil ca

u(\phi )={\frac {GM}{{\tilde {L}}^{2}}}\left[1+e\cos \left(\phi \left(1-{\frac {3G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\right)\right)\right]

{\ displaystyle u (\ phi) = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ left [1 + e \ cos \ left (\ phi \ left (1 - {\ frac {3G ^ {2} M ^ {2}} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ right) \ right) \ right]}

{\ displaystyle u (\ phi) = {\ frac {GM} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ left [1 + e \ cos \ left (\ phi \ left (1 - {\ frac {3G ^ {2} M ^ {2}} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ right) \ right) \ right]}

așa cum se poate verifica prin extinderea cosinusului și dezvoltarea prin $G^{2}M^{2}/{\tilde {L}}^{2}\ll 1$ ${\ displaystyle G ^ {2} M ^ {2} / {\ tilde {L}} ^ {2} \ ll 1}$ ${\ displaystyle G ^ {2} M ^ {2} / {\ tilde {L}} ^ {2} \ ll 1}$ .

În acest moment periheliul, sau minimul pentru $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ corespunde maximului de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , și se obține atunci când cosinusul este 1, adică dacă argumentul este egal cu $2\phi k$ ${\ displaystyle 2 \ phi k}$ ${\ displaystyle 2 \ phi k}$ pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ întreg. Deci vom avea

\phi _{k}={\frac {2k\pi }{1-3G^{2}M^{2}/{\tilde {L}}^{2}}}\sim 2\pi k\left(1+{\frac {3G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ phi _ {k} = {\ frac {2k \ pi} {1-3G ^ {2} M ^ {2} / {\ tilde {L}} ^ {2}}} \ sim 2 \ pi k \ left (1 + {\ frac {3G ^ {2} M ^ {2}} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle \ phi _ {k} = {\ frac {2k \ pi} {1-3G ^ {2} M ^ {2} / {\ tilde {L}} ^ {2}}} \ sim 2 \ pi k \ left (1 + {\ frac {3G ^ {2} M ^ {2}} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} \ right)}

Perielii, prin urmare, nu se succed la distanțe unghiulare de $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ , dar experimentează o precesiune .

În special (fiind $r_{0}={\tilde {L}}^{2}/GM$ ${\ displaystyle r_ {0} = {\ tilde {L}} ^ {2} / GM}$ ${\ displaystyle r_ {0} = {\ tilde {L}} ^ {2} / GM}$ )

\delta \phi ={\frac {6\pi G^{2}M^{2}}{{\tilde {L}}^{2}}}={\frac {6\pi GM}{r_{0}}}={\frac {6\pi GM}{c^{2}r_{0}}}=0.1''

{\ displaystyle \ delta \ phi = {\ frac {6 \ pi G ^ {2} M ^ {2}} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} = {\ frac {6 \ pi GM} {r_ {0}}} = {\ frac {6 \ pi GM} {c ^ {2} r_ {0}}} = 0.1 ''}

{\ displaystyle \ delta \ phi = {\ frac {6 \ pi G ^ {2} M ^ {2}} {{\ tilde {L}} ^ {2}}} = {\ frac {6 \ pi GM} {r_ {0}}} = {\ frac {6 \ pi GM} {c ^ {2} r_ {0}}} = 0.1 ''}

Prin urmare, obținem o valoare de 0,1 secunde de arc pentru fiecare revoluție a lui Mercur: având în vedere faptul că anul lui Mercur durează 0,24 ani de pe Pământ, într-un secol recuperăm faimoasele 43 de secunde neprevăzute de teoria clasică.

După cum se poate deduce din expresia precesiunii, este invers proporțională cu semi-axa orbitei planetei: acest lucru explică de ce anomalia era apreciată la momentul formulării relativității generale doar pentru Mercur, care printre planetele din sistemul solar este deci raza orbitei este minimă.

Precesiunea periheliului lui Mercur este, prin urmare, considerată prima confirmare experimentală a teoriei relativității generale, chiar dacă explicații alternative au fost complet excluse mulți ani mai târziu.

Metoda de calcul

Definind k, constanta de gravitație gaussiană, din ecuație

$k^{2}={\bar {n}}^{3}{\bar {a}}^{2}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ bar {n}} ^ {3} {\ bar {a}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ bar {n}} ^ {3} {\ bar {a}} ^ {2}}$

unde este ${\bar {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ este mișcarea medie în radiani pe parcursul zilei solare medii a unui corp cu masă neglijabilă în comparație cu cea a Soarelui e ${\bar {a}}$ ${\ displaystyle {\ bar {a}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {a}}}$ este axa semi-majoră în unitățile astronomice .

Din 1938 este considerat $k=0.01720209895$ ${\ displaystyle k = 0.01720209895}$ ${\ displaystyle k = 0.01720209895}$ și se definește pe sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ raza orbitei perfect circulare a unui corp în jurul Soarelui cu masă neglijabilă cu timpul de revoluție ${\frac {2\pi }{k}}=365.2568983$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {k}} = 365.2568983}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {k}} = 365.2568983}$ . Prin urmare, putem exprima $GM_{Sole}$ ${\ displaystyle GM_ {Sun}}$ ${\ displaystyle GM_ {Sun}}$ ca:

$GM_{Sole}=k^{2}{\frac {A^{3}}{D^{2}}}$ ${\ displaystyle GM_ {Sun} = k ^ {2} {\ frac {A ^ {3}} {D ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle GM_ {Sun} = k ^ {2} {\ frac {A ^ {3}} {D ^ {2}}}}$ , unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este ziua solară medie, egală cu aproximativ 86400 de secunde.

În mod tradițional, axele semi-majore ale orbitelor planetelor sunt raportate în raport cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , iar în cazul lui Mercur avem ${\bar {a}}={\frac {a}{A}}=0.387099$ ${\ displaystyle {\ bar {a}} = {\ frac {a} {A}} = 0.387099}$ ${\ displaystyle {\ bar {a}} = {\ frac {a} {A}} = 0.387099}$ , $e=0.205630$ ${\ displaystyle e = 0,205630}$ ${\ displaystyle e = 0,205630}$ Și $P=0.24085$ ${\ displaystyle P = 0.24085}$ ${\ displaystyle P = 0.24085}$ ani (măsurători considerate constante la mai puțin de o parte în sus $10^{5}$ ${\ displaystyle 10 ^ {5}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {5}}$ în ultimii ani)

Scriem formula avansării periheliului lui Mercur corectat de relativitatea generală folosind simbolurile anterioare:

${\dot {\omega }}={\frac {6\pi k^{2}}{PD^{2}{\bar {a}}(1-e^{2})}}{\frac {A^{2}}{c^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} = {\ frac {6 \ pi k ^ {2}} {PD ^ {2} {\ bar {a}} (1-e ^ {2})}} { \ frac {A ^ {2}} {c ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} = {\ frac {6 \ pi k ^ {2}} {PD ^ {2} {\ bar {a}} (1-e ^ {2})}} { \ frac {A ^ {2}} {c ^ {2}}}}$

Uniunea Astronomică Internațională prevede:

$A_{1976}=1.495978710^{11}m$ ${\ displaystyle A_ {1976} = 1.495978710 ^ {11} m}$ ${\ displaystyle A_ {1976} = 1.495978710 ^ {11} m}$

$c_{1976}=299792458ms^{-1}$ ${\ displaystyle c_ {1976} = 299792458ms ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle c_ {1976} = 299792458ms ^ {- 1}}$

Așadar ${\dot {\omega }}=42.98$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} = 42,98}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} = 42,98}$ sunt de peste 100 de ani. ^[3]

Din 1919 până astăzi

Din 1919 până astăzi a existat o mare confuzie cu privire la valoarea precesiunii periheliului orbitei lui Mercur, întrucât pe parcursul întregului secol XX $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ decât viteza luminii $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ au fost măsurate cu precizie crescândă, influențând valoarea precesiunii și, în consecință, articole și manuale ^[3] . Pentru a avea o corespondență completă între prognoză și măsurarea experimentală, este necesar să se ajungă la sfârșitul anilor 1970, când a fost exclusă și o contribuție semnificativă la precesiunea prin asfericitatea Soarelui.

Notă

^ Le Verrier U., Théorie de movement de Mercure , Ann. Observ. imp., 1859, volumul 5, pp. 1-96.
^ U. Le Verrier (1859), Lettre de M. Le Verrier to M. Faye sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (Paris), vol. . 49 (1859), pp. 379–383.
^ ^a ^b Valoarea reală a avansului periheliului lui Mercur , în Științe , 1986, pp. 39-41.

Bibliografie

Baum Richard și Sheehan William, În căutarea planetei Vulcan: Fantoma din Universul mecanic al lui Newton . Plenum Trade, New York. 1997.
Callahan James J., Geometria spațiului: o introducere la relativitatea specială și generală . Springer, New York. 1991.
Freundlich Erwin, Fundamentele teoriei gravitației a lui Einstein . Traducere din limba germană de Henry L. Brose. Cambridge University Press, Cambridge. 1920.
Preț Michael P., Rush William F., Contribuție non-relativistă la periheliul lui Mercur . American Journal of Physics 47 (6). 531-534. Iunie 1979.
Lorents HA, Einstein A., Minkowski H., Weyl H., Principiul relativității: o colecție de memorii originale despre teoria specială și generală a relativității . conținea „Fundamentul relativității generale”, de A. Einstein. Dover, New York. 1952.
Roseveare NT, Periheliul lui Mercur de la Leverriere la Einstein . Caledon Press, Oxford. 1982.
Stephani Hans, Relativitatea generală: o introducere în teoria câmpului gravitațional . Cambridge University Press, Cambridge. 1996.

linkuri externe

( PT ) Precessão do periélio de Mercúrio , pe plato.if.usp.br . Adus pe 24 iunie 2017 .
(EN) Kevin Brown, Anomalous precessions , on Reflections on Relativity. Adus pe 14 iunie 2014 .
(EN) Chris Pollock, Mercury's Perihelion (PDF) pe math.toronto.edu, martie 2003. Accesat pe 14 iunie 2014.

Portalul de astronomie

Portalul relativității

[1] Le Verrier U., Théorie de movement de Mercure , Ann. Observ. imp., 1859, volumul 5, pp. 1-96.

[2] U. Le Verrier (1859), Lettre de M. Le Verrier to M. Faye sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (Paris), vol. . 49 (1859), pp. 379–383.

[ReferenceA-3] Valoarea reală a avansului periheliului lui Mercur , în Științe , 1986, pp. 39-41.

[1]

[2] a

[3]