Împrumut (finanțe)

În economie, împrumutul este transferul unei sume de bani cu constrângerea returnării capitalului de valoare egală sau mai mare.

Termenul indică în esență un împrumut de bani pe care o instituție de credit autorizată sau o companie (numită mediator sau mediator ) (de exemplu, bancă ) sau un cetățean privat o acordă unei alte entități economice.

Descriere

Elementele constitutive ale unui împrumut sunt:

capital finanțat,
rata nominală a dobânzii anuale (TAN)
rata procentuală anuală (APR)
durata împrumutului
suma, precum și orice rate și condiții.

Atribuirea unui împrumut are loc după o serie de verificări preliminare pe care mediatorul le efectuează pe baza situației economice și profesionale a solicitantului, examinări care îi permit să evalueze securitatea evitând situații inadecvate de insolvență ^[1] .

Acest împrumut poate fi solicitat și plătit în diferite scopuri: achiziționarea de bunuri de larg consum (mașină, casă, mobilier, electrocasnice, haine etc.), renovarea locuinței (clădirea), achitarea altor datorii sau pur și simplu deținerea unui instant de disponibilitate numerar (împrumuturi de lichiditate ).

Managementul creditelor

Se poate întâmpla ca încasarea unui împrumut să devină incertă. Creditorul își poate proteja interesele prin:

acțiuni de colectare a datoriilor, până la utilizarea agenților de colectare;
acțiuni în justiție, cum ar fi scrisori de reamintire sau intervenții judiciare;
transfer de credite neperformante sau neperformante contra numerar către companii specializate în gestionarea creditelor depreciate.

Toate aceste activități necesită utilizarea informațiilor comerciale .

Tipologie

Acordarea unui împrumut poate fi condiționată de prezentarea de către solicitant a unei garanții reale sau personale. Putem face o distincție suplimentară între împrumuturile garantate și cele negarantate .

Împrumuturi finalizate și non-finalizate

În plus, împrumutul poate fi finalizat și nu finalizat . Principala caracteristică care distinge cele două tipuri de împrumut-subvenție se bazează pe metoda de plată și, în consecință, pe rambursarea banilor în sine: în cazul împrumuturilor finalizate, clientul este obligat să cumpere un bun de consum, cu toate acestea specificând scopul a împrumutului și în mod necesar să facă cunoscută instituția de creditare; în timp ce în cazul împrumuturilor neterminate, clientul nu are constrângeri de destinație și este liber să dispună de suma solicitată a împrumutului cu o mai mare libertate de acțiune.

În general, împrumuturile vizate se disting de celelalte printr-o mai mare simplitate și rapiditate a practicii, de fapt uneori pot fi plătite din același punct de vânzare ca activul în cauză datorită acordurilor comerciale și financiare cu băncile ; în timp ce pentru împrumuturile neterminate ne adresăm exclusiv instituțiilor de credit.

Credit de consumator

Dintre împrumuturile neterminate, cel mai răspândit este împrumutul personal , care se încadrează și în categoria creditului de consum și este un împrumut fără garanție.

În Italia, reglementarea creditului de consum prevede o sumă cuprinsă între 154,94 euro și 30.987,41 euro. În general, în cazul împrumuturilor personale în sens strict, suma este medie-mare, în timp ce pentru sumele mai mici se preferă utilizarea formei de credit revolving : carduri de credit revolving sau deschidere de linii de credit revolving (același mecanism ca și cardurile revolving dar fără suportul din plastic). Durata este cuprinsă între 12 și 120 de luni.

Evident, alegerea dintre aceste două forme de finanțare va fi făcută de client în relație strictă cu nevoile și disponibilitatea acestora.

Tratamentul matematic

La momentul t = 0 este plătit un împrumut de o sumă $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ . Această sumă este rambursată cu rate constante ale sumei R plătite începând cu momentul t = 1, prin urmare, dacă considerăm anul ca o unitate de măsură, atunci R este rata anuală (știind că rata lunară doar o înmulțește cu 12).

Indicând cu r rata constantă a dobânzii cu care se calculează dobânda asupra datoriei reziduale $P_{t}$ ${\ displaystyle P_ {t}}$ ${\ displaystyle P_ {t}}$ avem asta:

\ P_{t+1}=P_{t}+rP_{t}-R=(1+r)P_{t}-R

{\ displaystyle \ P_ {t + 1} = P_ {t} + rP_ {t} -R = (1 + r) P_ {t} -R}

{\ displaystyle \ P_ {t + 1} = P_ {t} + rP_ {t} -R = (1 + r) P_ {t} -R}

De calculat $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ adică împrumutul după 1 an este:

\ P_{1}=(1+r)P_{0}-R

{\ displaystyle \ P_ {1} = (1 + r) P_ {0} -R}

{\ displaystyle \ P_ {1} = (1 + r) P_ {0} -R}

De calculat $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ adică împrumutul după 2 ani este:

\ P_{2}=(1+r)P_{1}-R=(1+r)^{2}P_{0}-R(1+r)-R

{\ displaystyle \ P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -R = (1 + r) ^ {2} P_ {0} -R (1 + r) -R}

{\ displaystyle \ P_ {2} = (1 + r) P_ {1} -R = (1 + r) ^ {2} P_ {0} -R (1 + r) -R}

De calculat $P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ ${\ displaystyle P_ {3}}$ adică împrumutul după 3 ani este:

\ P_{3}=(1+r)P_{2}-R=(1+r)^{3}P_{0}-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R

{\ displaystyle \ P_ {3} = (1 + r) P_ {2} -R = (1 + r) ^ {3} P_ {0} -R (1 + r) ^ {2} -R (1+ r) -R}

{\ displaystyle \ P_ {3} = (1 + r) P_ {2} -R = (1 + r) ^ {3} P_ {0} -R (1 + r) ^ {2} -R (1+ r) -R}

Prin urmare, împrumutul la momentul t va fi:

\ P_{t}=(1+r)P_{t-1}-R=(1+r)^{t}P_{0}-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R

{\ displaystyle \ P_ {t} = (1 + r) P_ {t-1} -R = (1 + r) ^ {t} P_ {0} -R (1 + r) ^ {t-1} - ....- R (1 + r) ^ {2} -R (1 + r) -R}

{\ displaystyle \ P_ {t} = (1 + r) P_ {t-1} -R = (1 + r) ^ {t} P_ {0} -R (1 + r) ^ {t-1} - ....- R (1 + r) ^ {2} -R (1 + r) -R}

Loc:

\ S_{t}=:-R(1+r)^{t-1}-....-R(1+r)^{2}-R(1+r)-R

{\ displaystyle \ S_ {t} =: - R (1 + r) ^ {t-1} -....- R (1 + r) ^ {2} -R (1 + r) -R}

\ S _ {{t}} =: - R (1 + r) ^ {{t-1}} -....- R (1 + r) ^ {{2}} - R (1 + r) - R.

Rescriem $P_{t}$ ${\ displaystyle P_ {t}}$ ${\ displaystyle P_ {t}}$ ca:

\ P_{t}=(1+r)^{t}P_{0}+S_{t}

{\ displaystyle \ P_ {t} = (1 + r) ^ {t} P_ {0} + S_ {t}}

{\ displaystyle \ P_ {t} = (1 + r) ^ {t} P_ {0} + S_ {t}}

Înmulțind ambele părți ale ecuației $S_{t}$ ${\ displaystyle S_ {t}}$ $S _ {{t}}$ pentru $-(1+r)$ ${\ displaystyle - (1 + r)}$ $- (1 + r)$ avem:

\ -(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}+....+R(1+r)^{3}+R(1+r)^{2}+R(1+r)

{\ displaystyle \ - (1 + r) S_ {t} = R (1 + r) ^ {t} + .... + R (1 + r) ^ {3} + R (1 + r) ^ { 2} + R (1 + r)}

\ - (1 + r) S _ {{t}} = R (1 + r) ^ {{t}} + .... + R (1 + r) ^ {{3}} + R (1 + r) ^ {{2}} + R (1 + r)

Prin adăugarea celor 2 ecuații membru cu membru, obținem:

\ S_{t}-(1+r)S_{t}=R(1+r)^{t}-R

{\ displaystyle \ S_ {t} - (1 + r) S_ {t} = R (1 + r) ^ {t} -R}

\ S _ {{t}} - (1 + r) S _ {{t}} = R (1 + r) ^ {{t}} - R

Din care obținem:

\ S_{t}=-{\dfrac {R}{r}}\left((1+r)^{t}-1\right)

{\ displaystyle \ S_ {t} = - {\ dfrac {R} {r}} \ left ((1 + r) ^ {t} -1 \ right)}

\ S _ {{t}} = - {\ dfrac {R} {r}} \ left ((1 + r) ^ {{t}} - 1 \ right)

Atunci împrumutul la momentul t este egal cu:

\ P_{t}=(1+r)^{t}P_{0}+S_{t}=(1+r)^{t}\left(P_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}

{\ displaystyle \ P_ {t} = (1 + r) ^ {t} P_ {0} + S_ {t} = (1 + r) ^ {t} \ left (P_ {0} - {\ dfrac {R } {r}} \ right) + {\ dfrac {R} {r}}}

{\ displaystyle \ P_ {t} = (1 + r) ^ {t} P_ {0} + S_ {t} = (1 + r) ^ {t} \ left (P_ {0} - {\ dfrac {R } {r}} \ right) + {\ dfrac {R} {r}}}

Având în vedere succesiunea $P_{t}$ ${\ displaystyle P_ {t}}$ ${\ displaystyle P_ {t}}$ continuu dacă puteți calcula derivata pentru a vedea când crește sau scade. Prin urmare, se dovedește:

$\ {\dfrac {d(P(t))}{dt}}=(1+r)^{t}log(1+r)\left(P_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)$ ${\ displaystyle \ {\ dfrac {d (P (t))} {dt}} = (1 + r) ^ {t} jurnal (1 + r) \ left (P_ {0} - {\ dfrac {R} {r}} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ {\ dfrac {d (P (t))} {dt}} = (1 + r) ^ {t} jurnal (1 + r) \ left (P_ {0} - {\ dfrac {R} {r}} \ dreapta)}$

prin care derivata este pozitivă și funcția crește cu $R<=P_{0}r$ ${\ displaystyle R <= P_ {0} r}$ ${\ displaystyle R <= P_ {0} r}$ și, prin urmare, în acest caz, împrumutul nu va fi niciodată stins, în timp ce pentru $R>P_{0}r$ ${\ displaystyle R> P_ {0} r}$ ${\ displaystyle R> P_ {0} r}$ derivatul este negativ, funcția scade astfel încât după un anumit timp împrumutul să fie stins.

Dorind să calculăm după expirarea împrumutului, trebuie impusă condiția:

P_{t}=(1+r)^{t}\left(P_{0}-{\dfrac {R}{r}}\right)+{\dfrac {R}{r}}=0

{\ displaystyle P_ {t} = (1 + r) ^ {t} \ left (P_ {0} - {\ dfrac {R} {r}} \ right) + {\ dfrac {R} {r}} = 0}

{\ displaystyle P_ {t} = (1 + r) ^ {t} \ left (P_ {0} - {\ dfrac {R} {r}} \ right) + {\ dfrac {R} {r}} = 0}

din care se obține ecuația exponențială:

(1+r)^{t_{*}}=\left({\dfrac {R}{R-P_{0}r}}\right)

{\ displaystyle (1 + r) ^ {t _ {*}} = \ left ({\ dfrac {R} {R-P_ {0} r}} \ right)}

{\ displaystyle (1 + r) ^ {t _ {*}} = \ left ({\ dfrac {R} {R-P_ {0} r}} \ right)}

prin urmare trecând la logaritmi obținem că timpul $t_{*}$ ${\ displaystyle t _ {*}}$ $t _ {{*}}$ la care se stinge împrumutul este:

t_{*}={\dfrac {\log \left({\dfrac {R}{R-P_{0}r}}\right)}{\log(1+r)}}

{\ displaystyle t _ {*} = {\ dfrac {\ log \ left ({\ dfrac {R} {R-P_ {0} r}} \ right)} {\ log (1 + r)}}}

{\ displaystyle t _ {*} = {\ dfrac {\ log \ left ({\ dfrac {R} {R-P_ {0} r}} \ right)} {\ log (1 + r)}}}

în timp ce rata anuală de plată a împrumutului într-un timp anual $t_{*}$ ${\ displaystyle t _ {*}}$ ${\ displaystyle t _ {*}}$ la rata dobânzii r este:

R={\frac {{P_{0}}r\,{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}}{{{\left(r+1\right)}^{t_{*}}}-1}}

{\ displaystyle R = {\ frac {{P_ {0}} r \, {{\ left (r + 1 \ right)} ^ {t _ {*}}}} {{{\ left (r + 1 \ dreapta)} ^ {t _ {*}}} - 1}}}

{\ displaystyle R = {\ frac {{P_ {0}} r \, {{\ left (r + 1 \ right)} ^ {t _ {*}}}} {{{\ left (r + 1 \ dreapta)} ^ {t _ {*}}} - 1}}}

Folosind programul wxMaxima pentru a calcula plata lunară a unui împrumut de 100.000 EUR la o rată de 2% pe 20 de ani, se obține o plată lunară de 505,88 EUR:

 M_0 : 100000 ;
t : 20 * 12 ;
r : 0,02 / 12 ;
R : ( M_0 * r * ( 1 + r ) ^ t ) / (( 1 + r ) ^ t -1 ) ;

( M_0 ) 100000
( t )	240
( r )	0,001666666666666666
( R )	505.8833350451002

Folosind programul wxMaxima pentru a calcula anii necesari pentru un împrumut de 136.000 € la o rată de 3,5% cu o plată lunară de 616 €, veți obține un timp de 30 de ani:

 P_0: 136000;
R : 616 * 12 ;
r : 0,035 ;
t : log ( R / ( R - P_0 * r )) / log ( 1 + r );

(P_0) 136000
( R )	7392
( r )	0,035
( t )	30.01777598822768

În cele din urmă, dorind să calculăm rata anuală a dobânzii unui împrumut de 136.000 EUR cu o plată lunară de 616 EUR timp de 30 de ani, utilizând wxMaxima se obțin atât soluții reale, cât și soluții complexe, dar trebuie luată în considerare doar cea reală pozitivă, care este egală cu r = 0,035 adică r = 3,5%:

 P_0: 136000;
R : 616 * 12 ;
t : 30 ;
to_poly_solve ([ R = ( P_0 * r * ( 1 + r ) ^ t ) / (( 1 + r ) ^ t -1 )], [ r ]);

% Union ([r = -1.888535594417947], [r = .0349730024273047], [r = -0.896028170357983 *% i -0.9280999599620557], [r = *% -0.8888109431650352 -1.112956586482667], [r = *% -0.8657146919295419 -0.7448171243784433 ], [r = *% -0.8445459478845543 -1.291928857130876], [r = *% -0.7988904998481778 -0.5704246807439609], [r = *% -0.7652448516065452 -1.457831182844293], [r = *% -0.6979711584231817 -0.4117437679963628], [r = *% -0.6540353194183626 -1.604138386579367], [r = *% -0.5665737683927865 -0.2746913425371878], [r = *% -0.5152397750397905 -1.724120178284734], [r = *% -0.4090913669433675 -0.1636448979862607], [r = -0.3562793044936652 *% i -1.812932383015084], [r = *% -0.2293004835165864 -0.07964103298575065], [r = *% -0.1827369053504073 -1.86907185558138], [r = 0.1827369053504073 *% i -1.86907185558138], [r = 0.2293004835165864 * % i -0.07964103298575065 ], [ r = 0.3562793044936652 * % i -1.812932383015084 ], [ r = 0.4090913669433675 * % i - .1636448979862607], [r = -1.724120178284734 0.5152397750397905 *% i], [r = 0.5665737683927865 *% i -0.2746913425371878], [r = -1.604138386579367 0.6540353194183626 *% i], [r = .6979711584231817 *% i -0.4117437679963628], [r = -1.457831182844293 .7652448516065452 *% i], [r = 0.7988904998481778 *% i -0.5704246807439609], [r = -1.291928857130876 .8445459478845543 *% i], [r = 0.8657146919295419 *% i -0.7448171243784433], [r = .8888109431650352 *% i -1.112956586482667 ], [ r = 0.896028170357983 * % i -0.9280999599620557 ])

Bibliografie

Lo Martire Daniella, Lo Martire Gianni, Credite, credite ipotecare și credit de consum. Ghid pentru datoriile conștiente. , Maggioli Editore, 2008
Bruno Brunella, Piața secundară a împrumuturilor bancare. Oportunitatea și dezvoltarea vânzărilor de împrumuturi și gestionarea eficientă a portofoliului de credite. , Editura bancară, 2004