Principiul suprapunerii
În matematică și fizică , principiul suprapunerii afirmă că pentru un sistem dinamic liniar efectul unei sume de perturbații de intrare este egal cu suma efectelor produse de fiecare perturbare.
Cu alte cuvinte, răspunsul sistemului liniar la o combinație liniară a unui anumit număr de solicitări liniar independente , cu , poate fi obținut prin adăugarea răspunsurilor individuale că fiecare dintre ei ar produce dacă ar acționa singur (când ceilalți sunt nuli):
Principiul suprapunerii exprimă posibilitatea descompunerii unei probleme liniare. Dacă puteți scrie datele de intrare în mai multe componente liniar independente (de exemplu, într-o mișcare bidimensională puteți lua în considerare componenta verticală și componenta orizontală), atunci este posibil să rezolvați problema analizând fiecare dintre componente separat : da calculează fiecare răspuns și apoi răspunsurile individuale sunt adăugate în aceeași proporție (adică cu aceiași coeficienți ) în care au fost adăugate datele de intrare.
Sisteme staționare (LTI)
Având în vedere un sistem liniar staționar :
cu , , Și matrice dependente de timp răspunsul sistemului la intrare când sistemul este în starea inițială .
Având în vedere starea inițială , cu , principiul suprapunerii implică faptul că la o intrare corespunde rezultatului:
Datorită acestui fapt, rezultatul poate fi exprimat ca suma:
a răspunsului gratuit și răspuns forțat . Folosind transformata Laplace de asemenea, puteți scrie, în mod specific:
unde este este transformarea lui și matrici Și sunt date de:
Termenul este liniar în raport cu și reprezintă răspunsul sistemului atunci când intrarea este nulă: starea sistemului depinde deci liniar de starea inițială . Termenul este răspunsul sistemului atunci când starea inițială este nulă și, prin urmare, este doar o funcție liniară a intrării .
De fapt, avem:
Aplicații
Principiul se aplică ori de câte ori este implicată o transformare liniară , cum ar fi sistemele de ecuații liniare și ecuații diferențiale liniare , atât diferențiale ordinare, cât și parțiale. În prezența unui sistem:
unde este este o matrice și un vector , principiul afirmă că dacă Și sunt soluții de sisteme cu termeni cunoscuți Și , asa de rezolvă sistemul:
Fizică
Fenomenele naturale care respectă principiul suprapunerii sunt diferite; de exemplu, ecuațiile lui Maxwell stabilesc o legătură liniară între sarcină și câmpuri magnetice și, prin urmare, principiul poate fi aplicat atunci când se descrie interacțiunea mai multor sarcini.
Inginerie
În teoria semnalelor , suprapunerea liniară este baza analizei Fourier pentru descompunerea și studiul semnalelor electrice .
În ingineria mecanică și ingineria civilă , utilizarea suprapunerii efectelor este utilă pentru identificarea distribuției sarcinilor de-a lungul unei structuri, pentru a evita lăsarea.
Exemplu
În rezolvarea ecuației căldurii metoda de separare a variabilelor folosește conceptul de valoare proprie și funcție proprie a unui operator diferențial eliptic și descompunerea sa spectrală . Impunând că soluția este de formă (cu Și independent unul de celălalt), sistemul este rezolvat:
care are ca soluții Și , unde este este o funcție proprie a laplacianului . Deoarece se știe că, sub anumite ipoteze asupra datelor, setul de funcții proprii constituie o bază a spațiului funcțional ambiental, soluția ecuației de pornire este în cele din urmă reconstituită ca:
Bibliografie
- ( EN ) NK Verma, Physics for Engineers , PHI Learning Pvt. Ltd., 18 oct. 2013, 592 pp. [1]
- ( EN ) Tim Freegard, Introducere în fizica undelor , Cambridge University Press, 8 noiembrie 2012. [2]
- ( EN ) Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, Proiectare inginerie mecanică (2004) McGraw-Hill Professional, p. 192 ISBN 0-07-252036-1
- ( EN ) Bathe, KJ, Proceduri cu elemente finite , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 785 ISBN 0-13-301458-4
Elemente conexe
- Combinație liniară
- Ecuația diferențială liniară
- Independența liniară
- Principiul suprapunerii (mecanica cuantică)
- Sistem de ecuații liniare
- Sistem dinamic liniar
- Sistem dinamic liniar staționar
- Transformarea liniară
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe principiul suprapunerii
linkuri externe
- ( EN ) Principiul suprapunerii , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
- Michele Basso, Luigi Chisci și Paola Falugi - Fundamentals of Automatica ( PDF ), pe dsi.unifi.it . Adus la 30 august 2015 (arhivat dinoriginal la 23 septembrie 2015) .
Controlul autorității | Tezaur BNCF 54289 · LCCN (EN) sh85130645 · GND (DE) 4184121-9 |
---|