Şansă

Unele zaruri la șase fețe, utilizate adesea pentru a explica calculul probabilităților.

Conceptul de probabilitate , utilizat încă din secolul al XVII-lea , a devenit în timp baza diferitelor discipline științifice, rămânând totuși neunivoc. În special, o ramură a statisticii se bazează pe aceasta ( statistici inferențiale ), pe care o folosesc multe științe naturale și sociale .

fundal

Blaise Pascal

Pierre de Fermat

Primele studii care au condus ulterior la concepte legate de probabilitate pot fi găsite la mijlocul secolului al XVI-lea în Liber de ludo aleæ de la Cardano (scris în 1526 , dar publicat doar un secol și jumătate mai târziu, în 1663 ) și în Despre descoperirea zarurile lui Galilei (publicat în 1656 ). În special, Galileo a explicat de ce, prin aruncarea a trei zaruri, probabilitatea ieșirii sumelor 10 și 11 este mai probabilă decât ieșirea din 9 și 12, în ciuda faptului că ambele rezultate sunt obținute dintr-un număr egal de combinații. ^[1]

Problema distribuției mizelor în cazul în care un joc de noroc trebuie întrerupt a fost abordată de Pacioli în Summa de arithmetica, geometria, proportioni și proportionalita (publicată în 1494 ) și ulterior de Tartaglia , fiind soluționată doar de Pascal și Fermat .

Nașterea conceptului modern de probabilitate este atribuită lui Pascal și Fermat. Cavalierul de Méré (un jucător avid) a calculat că obținerea a cel puțin 6 din 4 rulouri dintr-o matriță necorespunzătoare echivalează cu obținerea a cel puțin o dublă 6 din 24 de role, întotdeauna pe o matriță necontrolată. Cu toate acestea, jucând după această credință, în loc să câștige, a pierdut și i-a scris lui Pascal plângându-se că matematica a eșuat în fața dovezilor empirice. ^[2] Din aceasta a apărut o corespondență între Pascal și Fermat în care a început să se contureze conceptul de probabilitate în sens frecventist.

Pascal a anunțat în 1654 Academiei de la Paris că lucrează la problema distribuției mizei. Și într-o scrisoare din 29 iulie a aceluiași an către Fermat a propus soluția problemei, confruntată cu metoda recurenței, în timp ce Fermat a folosit metode bazate pe combinații.

În 1657 Huygens a scris un Libellus de ratiociniis în ludo aleæ , ^[3] , primul tratat de calcul al probabilităților, în care a introdus conceptul de valoare așteptată .

Printre altele, operele sale l-au influențat pe Montmort , care a scris un Essai d'analyse sur le jeux de hasard în 1708 , dar și pe Jakob Bernoulli și de Moivre .

În 1713 , Ars conjectandi a lui Jakob Bernoulli a fost publicat postum, unde a fost dovedită teorema care îi poartă numele, cunoscută și sub numele de legea numărului mare . Ulterior, de Moivre a ajuns la o primă formulare, apoi generalizată de Laplace , a teoremei limitei centrale . Teoria probabilității a atins astfel fundamentele matematic solide și, odată cu acestea, rangul unei noi discipline.

În ea, relația dintre cazurile favorabile și posibile joacă un rol central, iar probabilitatea este un număr intrinsec legat de un eveniment. Cu toate acestea, în anii de mijloc ai secolului al XX-lea , mai întâi de Finetti și apoi Savage au dezvoltat o concepție subiectivă a probabilității, conform căreia probabilitatea este gradul de încredere pe care o persoană îl are în apariția evenimentului.

În aceeași perioadă, Kolmogorov a început teoria axiomatică modernă ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , 1933 ), inspirându-se din teoria măsurii . S-a stabilit astfel o teorie pur matematică a probabilității, care generalizează moștenirea matematică comună diferitelor abordări.

Definiții

Probabil, un fenomen este considerat observabil exclusiv din punctul de vedere al posibilității sau altfel al apariției sale, indiferent de natura sa. Între două extreme, un anumit eveniment (de exemplu: lansarea unei matrițe cu șase fețe obține un număr între 1 și 6) și un eveniment imposibil (pentru a obține 1 ca sumă din aruncarea a două zaruri), sunt plasate evenimente mai mult sau mai puțin probabil (aleatoriu).

Se folosește limbajul teoriei mulțimilor : un set Ω non-gol (numit spațiul alternativelor ) are ca elemente toate rezultatele posibile ale unui experiment; evenimentul care este verificat printr-un singur rezultat (un singur element de Ω) se numește eveniment elementar ; alte evenimente sunt subseturi de Ω constând din mai multe rezultate. ^[4]

Evenimentele sunt de obicei indicate cu majuscule. Având în vedere două evenimente A și B , A ∪ B indică uniunea lor, adică evenimentul constituit de apariția evenimentului A sau evenimentului B. A ∩ B indică intersecția lor, adică evenimentul constituit de apariția atât a evenimentului A, cât și a evenimentului B. ^[5] Dacă A ∩ B = ∅ se spune că cele două evenimente A și B sunt incompatibile (nu pot apărea simultan). Complementul unui eveniment A față de Ω, Ω \ A , se numește negația lui A și indică neîncadrarea acestuia (adică apariția evenimentului complementar).

Definiție clasică

Conform primei definiții a probabilității, așadar numită „clasică”, probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile. ^[6]

Indicând cu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ setul de cazuri posibile și cu $|\Omega |$ ${\ displaystyle | \ Omega |}$ ${\ displaystyle | \ Omega |}$ cardinalitatea sa, cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un eveniment și cu $|A|$ ${\ displaystyle | A |}$ $| A |$ cardinalitatea acestuia sau numărul de cazuri în favoarea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (de exemplu, atunci când aruncați un zar $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {1,2,3,4,5,6 \}}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {1,2,3,4,5,6 \}}$ , $|\Omega |=6$ ${\ displaystyle | \ Omega | = 6}$ ${\ displaystyle | \ Omega | = 6}$ , $A=$ ${\ displaystyle A =}$ $A =$ „iese un număr par”, $|A|=3$ ${\ displaystyle | A | = 3}$ ${\ displaystyle | A | = 3}$ ), probabilitatea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , indicat cu $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ , este egal cu:

P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}.

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = {\ frac {3} {6}} = {\ frac {1} {2}}.}

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = {\ frac {3} {6}} = {\ frac {1} {2}}.}

Din definiție urmează trei reguli:

probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr între 0 și 1;
probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu 1, probabilitatea evenimentului imposibil este egală cu 0: de ex. de sine $A=$ ${\ displaystyle A =}$ $A =$ „iese un număr între 1 și 6”, $|A|=6$ ${\ displaystyle | A | = 6}$ ${\ displaystyle | A | = 6}$ Și ${\frac {|A|}{|\Omega |}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = 1}$ , dacă în schimb $A=$ ${\ displaystyle A =}$ $A =$ „iese un număr mai mare de 6”, $|A|=0$ ${\ displaystyle | A | = 0}$ ${\ displaystyle | A | = 0}$ Și ${\frac {|A|}{|\Omega |}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = 0}$ .
probabilitatea apariției unuia dintre cele două evenimente incompatibile , adică a două evenimente care nu pot apărea simultan, este egală cu suma probabilităților celor două evenimente; de exemplu dacă $A=$ ${\ displaystyle A =}$ $A =$ „vine un număr par”, cu $P(A)={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle P (A) = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle P (A) = {\ frac {1} {2}}}$ , Și $B=$ ${\ displaystyle B =}$ ${\ displaystyle B =}$ „numărul 3 iese”, cu $P(B)={\frac {1}{6}}$ ${\ displaystyle P (B) = {\ frac {1} {6}}}$ ${\ displaystyle P (B) = {\ frac {1} {6}}}$ , probabilitatea ca aruncarea unei matrițe să aibă ca rezultat un număr par sau un 3 este:

P(A\cup B)={\frac {|A\cup B|}{|\Omega |}}={\frac {|A|+|B|}{|\Omega |}}={\frac {|A|}{|\Omega |}}+{\frac {|B|}{|\Omega |}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}={\frac {2}{3}}

{\ displaystyle P (A \ cup B) = {\ frac {| A \ cup B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {| A | + | B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} + {\ frac {| B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} { 6}} = {\ frac {2} {3}}}

{\ displaystyle P (A \ cup B) = {\ frac {| A \ cup B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {| A | + | B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} + {\ frac {| B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} { 6}} = {\ frac {2} {3}}}

.

Frecvența evenimentului

Ca element pregătitor pentru definiția frecventistă ulterioară, introducem conceptul de frecvență. În exemplul aruncării zarurilor cu evenimentul A = "număr par", indicăm drept succese ( $S_{A}$ ${\ displaystyle S_ {A}}$ $S_ {A}$ ) de câte ori obținem un număr par și ( $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ) numărul total de salturi efectuate, frecvența este egală cu $F(A)={\frac {S_{A}}{S}}$ ${\ displaystyle F (A) = {\ frac {S_ {A}} {S}}}$ $F (A) = {\ frac {S_ {A}} {S}}$ . Raportul indică frecvența $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ a evenimentului favorabil „ieșirea numărului par”. În plus, pentru legea numărului mare cu un număr foarte mare de rulouri, valoarea lui $F(A)$ ${\ displaystyle F (A)}$ $FACE)$ tinde spre cea a $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ ceea ce este interpretat, prin definiția frecventistă a probabilității descrisă mai jos, ca limita la care tinde $F(A)$ ${\ displaystyle F (A)}$ $FACE)$ .

Definiția frequentist

Definiția clasică vă permite să calculați efectiv probabilitatea în multe situații. În plus, este o definiție operațională și oferă astfel o metodă de calcul. Cu toate acestea, are mai multe aspecte negative deloc neglijabile:

din punct de vedere formal, este o definiție circulară: necesită ca toate cazurile să aibă aceeași probabilitate, care este totuși ceea ce vrem să definim;
nu definește probabilitatea în cazul evenimentelor neechrobabile;
presupune un număr finit de rezultate posibile și, în consecință, nu poate fi utilizat continuu .

Pentru a depăși aceste dificultăți, von Mises a propus să definească probabilitatea unui eveniment ca limită la care tinde frecvența relativă a evenimentului pe măsură ce numărul experimentelor crește :

P(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n_{A}}{n}}.

{\ displaystyle P (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {n_ {A}} {n}}.}

{\ displaystyle P (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {n_ {A}} {n}}.}

Definiția frecventistă se aplică experimentelor aleatorii ale căror evenimente elementare nu sunt considerate la fel de posibile, dar presupune că experimentul este repetabil de mai multe ori, în mod ideal infinit, în aceleași condiții.

Această definiție ne permite, de asemenea, să calculăm probabilitatea multor evenimente și din aceasta derivăm aceleași trei reguli care decurg din definiția clasică. De fapt, este suficient să se înlocuiască raportul dintre numărul de cazuri favorabile n _A și numărul de cazuri posibile n cu limita raportului pentru n tendința la infinit.

In orice caz:

„limita” frecvențelor relative nu este comparabilă cu conceptul matematic analog; de exemplu, având în vedere o secvență { a _n }, spunem că a este limita sa dacă pentru fiecare ε> 0 există un număr natural N astfel încât | a _n - a | <ε pentru fiecare n > N și, oricât de dat este ε, este întotdeauna posibil să se calculeze N ; în definiția frecventistă, pe de altă parte, N nu este întotdeauna calculabil;
nu toate experimentele sunt repetabile; de exemplu, cu siguranță are sens să ne întrebăm care este probabilitatea că există viață pe Marte sau că în 50 de ani natalitatea în Africa va deveni jumătate din cea actuală, dar în astfel de cazuri nu este posibil să ne imaginăm experimente repetabile la nesfârșit .

Definiție subiectivă

Bruno de Finetti

De Finetti și Savage ^{[7] au} propus o definiție a probabilității aplicabile experimentelor aleatorii ale căror evenimente elementare nu sunt considerate la fel de posibile și care nu sunt neapărat repetabile de mai multe ori în aceleași condiții: probabilitatea unui eveniment este prețul pe care un individ îl consideră echitabil de plătit pentru a primi 1 dacă evenimentul are loc, 0 dacă evenimentul nu are loc .

Pentru a face definiția aplicabilă în mod concret, se adaugă un criteriu de consistență: probabilitățile evenimentelor trebuie atribuite în așa fel încât să nu fie posibil să se obțină un anumit câștig sau pierdere .

În acest fel, este posibil să derivăm din definiția subiectivă aceleași trei reguli deja văzute.

$P(A)\in [0;1]$ ${\ displaystyle P (A) \ în [0; 1]}$ ${\ displaystyle P (A) \ în [0; 1]}$ : de fapt daca ar fi $P(A)<0$ ${\ displaystyle P (A) <0}$ ${\ displaystyle P (A) <0}$ ai avea un anumit câștig, invers, dacă ar fi $P(A)>1$ ${\ displaystyle P (A)> 1}$ ${\ displaystyle P (A)> 1}$ ar exista o anumită pierdere;
$P(\Omega )=1$ ${\ displaystyle P (\ Omega) = 1}$ $P (\ Omega) = 1$ : dacă evenimentul este sigur, veți primi cu siguranță 1, dar dacă da $P(\Omega )<1$ ${\ displaystyle P (\ Omega) <1}$ ${\ displaystyle P (\ Omega) <1}$ ai avea un anumit câștig, egal cu $1-P(\Omega )>0$ ${\ displaystyle 1-P (\ Omega)> 0}$ ${\ displaystyle 1-P (\ Omega)> 0}$ , dacă ar fi $P(\Omega )>1$ ${\ displaystyle P (\ Omega)> 1}$ ${\ displaystyle P (\ Omega)> 1}$ ar exista o anumită pierdere;
de sine $A\cap B=\varnothing ,P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing, P (A \ cup B) = P (A) + P (B)}$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing, P (A \ cup B) = P (A) + P (B)}$ . Se observă preliminar că dacă n evenimente $A_{1},\dots ,A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {1}, \ dots, A_ {n}}$ $A_1, \ dots, A_n$ sunt incompatibile (nu pot apărea împreună) și necesare (unul dintre ele trebuie să apară în mod necesar), atunci unul are $\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} P (A_ {i}) = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} P (A_ {i}) = 1}$ : de fapt platesti $P(A_{i})$ ${\ displaystyle P (A_ {i})}$ ${\ displaystyle P (A_ {i})}$ pentru fiecare eveniment $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ , deci dacă suma ar fi mai mică de 1 ați avea un anumit câștig, dacă ar fi mai mare ați avea o anumită pierdere. Evenimentele incompatibile A și B și evenimentul complement al unirii lor sunt apoi luate în considerare; cele trei evenimente sunt incompatibile și necesare și avem:
$P(A)+P(B)+P({\overline {A\cup B}})=1.$ ${\ displaystyle P (A) + P (B) + P ({\ overline {A \ cup B}}) = 1.}$ $P (A) + P (B) + P (\ overline {A \ cup B}) = 1.$
Cu toate acestea, unirea lui A și B și complementul său sunt, de asemenea, incompatibile:
$P(A\cup B)+P({\overline {A\cup B}})=1.$ ${\ displaystyle P (A \ cup B) + P ({\ overline {A \ cup B}}) = 1.}$ $P (A \ cup B) + P (\ overline {A \ cup B}) = 1.$
Din cele două egalități rezultă:
de sine $A\cap B=\varnothing$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing}$ $A \ cap B = \ varnothing$ , asa de $P(A\cup B)=P(A)+P(B).$ ${\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B).}$ $P (A \ cup B) = P (A) + P (B).$

Prin urmare, definiția subiectivă permite calcularea probabilității evenimentelor chiar și atunci când evenimentele elementare nu sunt echiprobabile și când experimentul nu poate fi repetat. Cu toate acestea, rămâne bazată pe opinia indivizilor, care pot avea pofte de risc diferite. Gândiți-vă doar că mulți ar fi dispuși să joace 1 euro pentru a câștiga 1000, dar puțini ar juca un milion de euro pentru a câștiga un miliard.

Definiție axiomatică

Andrey Kolmogorov

Abordarea axiomatică a probabilității a fost propusă de Andrey Nikolaevich Kolmogorov în 1933 în Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ( Conceptele fundamentale ale calculului probabilității ), dezvoltând cercetarea care a fost acum cristalizată în dezbaterea celor care considerau probabilitatea drept limite ale frecvențelor relative (cf. frequentista ) și cei care caută o justificare pentru aceasta.

Trebuie remarcat faptul că definiția axiomatică nu este o definiție operațională și nu oferă îndrumări cu privire la modul de calcul al probabilității. Prin urmare, este o definiție care poate fi utilizată atât în contextul unei abordări obiectiviviste, cât și în contextul unei abordări subiectiviste.

Numele derivă din procedura pentru „axiomatizare”, prin urmare, în identificarea conceptelor primitive, din acestea în identificarea postulatelor din care au fost apoi definite teoremele .

Abordarea axiomatică pleacă de la conceptul de σ-algebră sau clasă aditivă. Având în vedere orice experiment aleatoriu, posibilele sale rezultate constituie elementele unui set Ω non-gol, numit spațiu eșantion , și fiecare eveniment este un subset de Ω. Probabilitatea este privită, ca o primă aproximare, ca o măsură , adică ca o funcție care asociază fiecărui subset de Ω un număr real non-negativ astfel încât suma probabilităților tuturor evenimentelor să fie egală cu 1.

Dacă Ω are cardinalitate finită n sau cardinalitate infinită numărabilă, mulțimea tuturor subseturilor sale, numită mulțimea de părți , are, respectiv, cardinalitatea 2 ⁿ sau cardinalitatea continuumului . Cu toate acestea, dacă Ω are cardinalitatea continuumului, setul său de părți are o cardinalitate mai mare și este „prea mare” pentru ca o măsură să fie definită pe acesta. Prin urmare, sunt luate în considerare numai subseturile lui Ω care constituie o clasă aditivă ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , adică un set ne-gol ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ astfel încât

dacă aparține unui eveniment A ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , complementul său îi aparține și:

A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow {\overline {A}}\in {\mathcal {A}};

{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow {\ overline {A}} \ in {\ mathcal {A}};}

{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow {\ overline {A}} \ in {\ mathcal {A}};}

dacă o infinitate de evenimente numărabilă, A ₁ , A ₂ , ... A _n , ..., aparține ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , evenimentul constituit de unirea lor îi aparține și:

\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {A}}.

{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N}, A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} \ in {\ mathcal {A}}.}

{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N}, A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} \ in {\ mathcal {A}}.}

O clasă aditivă este, prin urmare, un subset al setului de părți ale lui Ω care este închis în raport cu complementul și operațiile de unire numărabile.

Se poate adăuga că o clasă aditivă este, de asemenea, închisă în raport cu intersecția, finită sau numărabilă, deoarece prin legile lui De Morgan avem:

\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}={\overline {\bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\overline {A_{i}}}}}\in {\mathcal {A}},

{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N}, A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ bigcap _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} = {\ overline {\ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} {\ overline {A_ {i}}}}} \ in {\ mathcal {A}},}

{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N}, A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ bigcap _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} = {\ overline {\ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} {\ overline {A_ {i}}}}} \ in {\ mathcal {A}},}

unde al doilea membru al egalității aparține clasei ca complement al unei uniuni numărabile a complementelor seturilor care îi aparțin.

Sunt prezentate următoarele axiome (care includ cele trei reguli care pot fi obținute din definițiile anterioare):

Evenimentele sunt subseturi ale unui spațiu Ω și formează o clasă aditivă ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ .
La fiecare eveniment $A\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$ $A \ in {\ mathcal {A}}$ se atribuie un număr real non-negativ P ( A ), numit probabilitatea lui A.
P (Ω) = 1, adică probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu 1.
Dacă intersecția dintre două evenimente A și B este goală, atunci P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ).
Dacă A _n este o succesiune descendentă de evenimente și ca infinit n intersecția lui A _n tinde spre mulțimea goală, atunci P (A _n) tinde la zero: ^[8]

A_{n}\downarrow \varnothing \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }P(A_{n})=0.

{\ displaystyle A_ {n} \ downarrow \ varnothing \ Rightarrow \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P (A_ {n}) = 0.}

{\ displaystyle A_ {n} \ downarrow \ varnothing \ Rightarrow \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P (A_ {n}) = 0.}

Funcția P ( A ) se numește funcția de probabilitate sau, de asemenea, distribuția de probabilitate . Buldoexcavatorul $\ (\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ${\ displaystyle \ (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ $\ (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)$ se numește spațiu de probabilitate .

Din axiome obținem imediat câteva proprietăți elementare ale probabilității:

Dacă P ( A ) este probabilitatea unui eveniment A , probabilitatea evenimentului complementar este 1- P ( A ). De fapt, întrucât intersecția lui A și complementul său este goală și unirea lor este Ω, din axiomele 3 și 4 obținem:

P(A)+P({\overline {A}})=P(A\cup {\overline {A}})=P(\Omega )=1.

{\ displaystyle P (A) + P ({\ overline {A}}) = P (A \ cup {\ overline {A}}) = P (\ Omega) = 1.}

{\ displaystyle P (A) + P ({\ overline {A}}) = P (A \ cup {\ overline {A}}) = P (\ Omega) = 1.}

Probabilitatea evenimentului imposibil este zero. De fapt, setul gol este complementul lui Ω și avem:

P(\varnothing )=P({\overline {\Omega }})=1-P(\Omega )=1-1=0.

{\ displaystyle P (\ varnothing) = P ({\ overline {\ Omega}}) = 1-P (\ Omega) = 1-1 = 0.}

{\ displaystyle P (\ varnothing) = P ({\ overline {\ Omega}}) = 1-P (\ Omega) = 1-1 = 0.}

Probabilitatea unui eveniment este mai mică sau egală cu 1. De fapt, deoarece probabilitatea nu este negativă pentru a doua axiomă, avem:

P(A)=1-P({\overline {A}})\leq 1.

{\ displaystyle P (A) = 1-P ({\ overline {A}}) \ leq 1.}

{\ displaystyle P (A) = 1-P ({\ overline {A}}) \ leq 1.}

Dacă un eveniment A este inclus într-un eveniment B , atunci probabilitatea acestuia este mai mică sau egală cu cea a lui B. De fapt, dacă B include A, acesta poate fi exprimat ca o uniune de seturi disjuncte și avem:

A\subseteq B\Rightarrow P(B)=P(A\cup ({\overline {A}}\cap B))=P(A)+P({\overline {A}}\cap B)\geq P(A).

{\ displaystyle A \ subseteq B \ Rightarrow P (B) = P (A \ cup ({\ overline {A}} \ cap B)) = P (A) + P ({\ overline {A}} \ cap B ) \ geq P (A).}

{\ displaystyle A \ subseteq B \ Rightarrow P (B) = P (A \ cup ({\ overline {A}} \ cap B)) = P (A) + P ({\ overline {A}} \ cap B ) \ geq P (A).}

Teoreme de bază

Unele teoreme și concepte fundamentale derivă din axiomele menționate mai sus.

Teorema probabilității totale vă permite să calculați probabilitatea unirii a două sau mai multe evenimente sau probabilitatea ca cel puțin unul dintre ele să apară. Este suma probabilităților evenimentelor individuale dacă acestea sunt incompatibile două câte două; în caz contrar, suma probabilităților intersecțiilor două la două trebuie scăzută din sumă, apoi trebuie adăugată suma probabilităților intersecțiilor trei la trei și așa mai departe. De exemplu, în cazul a trei evenimente:

P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).

{\ displaystyle P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C) -P (A \ cap B) -P (A \ cap C) -P (B \ cap C) + P (A \ cap B \ cap C).}

{\ displaystyle P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C) -P (A \ cap B) -P (A \ cap C) -P (B \ cap C) + P (A \ cap B \ cap C).}

Se numește probabilitate condițională a lui A dat B și se scrie $P(A|B)$ ${\ displaystyle P (A | B)}$ $P (A | B)$ , probabilitatea ca evenimentul A să aibă loc atunci când se știe că B a avut loc:

P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.

{\ displaystyle P (A | B) = {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}}.}

{\ displaystyle P (A | B) = {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}}.}

Prin acest concept ajungem lateorema probabilității compuse , care permite calcularea probabilității intersecției a două sau mai multe evenimente sau a probabilității ca acestea să apară toate. În cazul a două evenimente (care pot fi generalizate), avem:

P(A\cap B)=P(A|B)P(B).

{\ displaystyle P (A \ cap B) = P (A | B) P (B).}

{\ displaystyle P (A \ cap B) = P (A | B) P (B).}

De sine $P(A|B)=P(A)$ ${\ displaystyle P (A | B) = P (A)}$ $P (A | B) = P (A)$ , cele două evenimente A și B sunt definite independent stochastic (sau probabilistic ) și din aceeași definiție rezultă o formulare diferită a probabilității compuse, un caz particular al celei anterioare: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ${\ displaystyle P (A \ cap B) = P (A) P (B)}$ $P (A \ cap B) = P (A) P (B)$ .

Teorema lui Bayes vă permite să calculați probabilitatea posterioară a unui eveniment $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ , când se știe că a avut loc un eveniment E. De sine $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ aparține unui set finit sau numărabil de două-la-două evenimente incompatibile, iar dacă E apare atunci unul dintre evenimentele acelui set apare neapărat (și doar unul, deoarece acestea sunt incompatibile), atunci, cunoscând probabilitățile a priori ale evenimente $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ și probabilități condiționale $P(E|A_{i})$ ${\ displaystyle P (E | A_ {i})}$ ${\ displaystyle P (E | A_ {i})}$ și știind că E a apărut, se poate calcula probabilitatea posterioară a unui anumit $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ :

P(A_{i}|E)={\frac {P(E|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{j}P(E|A_{j})P(A_{j})}}

{\ displaystyle P (A_ {i} | E) = {\ frac {P (E | A_ {i}) P (A_ {i})} {\ sum _ {j} P (E | A_ {j}) P (A_ {j})}}}

P (A_ {i} | E) = {\ frac {P (E | A_ {i}) P (A_ {i})} {\ sum _ {{j}} P (E | A_ {j}) P (A_ {j})}}

Mai discursiv: dacă cunoaștem atât probabilitățile a priori ale diferitelor „cauze” posibile ale lui E (dar nu știm efectul careia dintre ele s-a produs E ), cât și probabilitățile condiționate ale lui E date de fiecare dintre cauze, este este posibil să se calculeze probabilitatea ca E să apară din cauza unei cauze anume.

Dificultate în utilizarea probabilităților

Câte capcane există în raționamentul despre probabilități - dincolo de dificultățile de înțelegere a probabilității care poate fi - este evidențiat de niște așa-numiți paradoxuri, unde în realitate sunt întrebări cu răspunsuri contraintuitive:

în paradoxul celor trei cărți , eroarea constă de obicei în a nu identifica corect care sunt evenimentele: laturile cărților și nu cărțile în sine;
în paradoxul celor doi copii eroarea constă de obicei în a nu distinge evenimente diferite, adică în a considera un singur eveniment acelea care sunt în realitate două;
în problema Monty Hall dificultatea constă în primul rând în acceptarea ideii că o informație nouă poate modifica probabilitățile evenimentelor, fără ca lumea reală să se schimbe, cealaltă greșeală constă în a nu analiza complet și, prin urmare, a evalua corect noile informații dobândite.

O altă sursă de confuzie poate fi dată prin presupunerea (greșită) că faptul că un eveniment are probabilitatea 1 implică faptul că se întâmplă întotdeauna (mai degrabă decât aproape sigur ).

Notă

^ 9 se obține cu cele șase combinații (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), ( 3,3,3), 10 cu cele șase combinații (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4, 4 ), (3,3,4), 11 cu (1,4,6), (2,3,6), (2,4,5), (1,5,5), (3, 3,5 ), (3,3,4) și 12 cu (1,5,6), (2,4,6), (2,5,5), (3,4,5), (3, 3,6 ), (4,4,4). Cu toate acestea, în timp ce o combinație de trei numere egale poate apărea într-un singur mod, unul cu două numere egale poate apărea în trei moduri diferite, unul cu trei numere diferite în șase moduri diferite. Prin urmare, este posibil să se obțină 10 și 11 în 27 de moduri (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3), 9 și 12 în 25 de moduri (6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1).
^ Conform Cavalerului, fiind 1/6 probabilitatea de 6 cu o matriță, în patru aruncări probabilitatea ar fi 4 × 1/6 = 2/3; probabilitatea de a dubla 6 în două aruncări este în schimb 1/36 și, pentru a ajunge la 2/3, sunt necesare 24 de aruncări: 24 × 1/36 = 2/3. În realitate, probabilitatea de a obține cel puțin un 6 se calculează cel mai bine pornind de la evenimentul complementar, „nu 6 în patru rulouri”, care este (5/6) ⁴ și scăzând acest lucru din 1, obținând 51,8%; în același mod se calculează că probabilitatea de cel puțin o dublă 6 din 24 aruncări este 1 - (35/36) ²⁴ = 49%.
^ Reeditarea traducerii în limba engleză este disponibilă la http://www.stat.ucla.edu/history/huygens.pdf Arhivat 31 octombrie 2014 la Internet Archive.
^ De exemplu, când se aruncă o matriță, setul Ω este alcătuit din cele șase rezultate {1,2,3,4,5,6}; evenimentul „lasă 3” este reprezentat de setul {3}, evenimentul „lasă un număr par” este reprezentat de setul {2,4,6}.
^ De exemplu, lipindu-se de rolul unei matrițe, dacă A = {2} și B = {4,6}, evenimentul A ∪ B este {2,4,6}, adică „apare un număr par” . Dacă, pe de altă parte, A = "apare un număr par" și B = "apare un număr mai mic sau egal cu 3", A ∩ B = {2}.
^(RO) IUPAC Gold Book, „probabilitate”
^ Abordarea subiectivă a fost anticipată de Ramsey în 1926 .
^ Se spune că o succesiune de seturi este în scădere dacă fiecare set include următoarea. Vezi limita stabilită.

Bibliografie

Remo Cacciafesta, Lecții de calcul al probabilității , Veschi, Roma, 1983
Giorgio Dall'Aglio, Calculul probabilităților , Zanichelli, Bologna, 2003
Domenico Piccolo, Statistici , Il Mulino, Bologna, 1998, Partea a doua, Capitolul VIII, pp. 215–291
Keith Devlin , Scrisoarea lui Pascal. Istoria ecuației care a fondat teoria probabilității , Rizzoli, 2008
Giancarlo Rota și Joseph PS Kung, Probabilitate , Enciclopedia secolului XX (1980), Institutul Enciclopediei italiene Treccani
Eugenio Regazzini, Probabilitate , Enciclopedia științei și tehnologiei (2007), Institutul enciclopediei italiene Treccani

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate despre probabilitate
Wikibooks conține texte sau manuale despre probabilități
Wikționarul conține lema dicționarului „ probabilitate ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în funcție de probabilitate