Probabilitate condițională

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În teoria probabilității, probabilitatea condițională a unui eveniment A față de un eveniment B este probabilitatea ca A să apară, știind că B a avut loc. Această probabilitate, indicată sau , exprimă o „corectare” a așteptărilor pentru A , dictată de observația lui B.

Deoarece, așa cum se va vedea în definiția următoare, apare în numitor, are sens numai dacă B are o probabilitate de zero de a se produce.
Este util să rețineți că notația cu simbolul „ Bara verticală ” este comună cu definiția conectivului logic NAND .

Exemplu

De exemplu, probabilitatea de a arunca "4" pe o rolă de matriță cu șase fețe (eveniment A ) are probabilitatea P (A) = 1/6 de apariție. Dar știind că rezultatul rulării este un număr între „4”, „5” și „6” (eveniment B ), probabilitatea lui A devine

.

Luați în considerare acest al doilea exemplu, probabilitatea de a arunca "1" pe o matriță comună (eveniment A ) are probabilitatea P (A) = 1/6 de apariție. Dar știind că rezultatul rulării este un număr între „4”, „5” și „6” (eveniment B ), probabilitatea lui A devine

.

Definiție

Probabilitatea A condiționată de B este

,

unde este este probabilitatea comună a celor două evenimente sau probabilitatea ca ambele să apară.

În termeni mai riguroși, având în vedere un spațiu măsurabil de măsură P , fiecare eveniment B moștenește o structură a spațiului măsurat , restricționând seturile măsurabile la cele conținute în B și induce o nouă măsură pe , cu . De sine este un spațiu probabilizat ( ) și B nu este neglijabil ( ), apoi redimensionarea la se obține spațiul probabilizat a probabilităților condiționate de B.

Proprietate

Formula probabilității condiționale ne permite să descriem probabilitatea comună ca

Adică, probabilitatea ca atât A cât și B să apară este egală cu probabilitatea ca B să apară înmulțit cu probabilitatea ca A să apară presupunând că B a apărut.

Două evenimente A și B sunt independente atunci când se menține una dintre cele trei ecuații echivalente

  • ;
  • ;
  • .

Pentru a găsi probabilitatea evenimentului din dreapta negat (numit și complementar) se poate utiliza următoarea formulă:

.

Cazuri speciale

Dacă A și B sunt evenimente disjuncte , adică dacă , probabilitățile lor condiționate sunt zero: știind că unul dintre cele două evenimente a avut loc, este imposibil ca și celălalt să se fi produs.

Dacă evenimentul A implică evenimentul B , adică dacă , atunci intersecția lor este A , deci Și:

  • ( A implică B );
  • ( B este necesar pentru A ).

În cazul unei măsuri de probabilitate uniforme pe un spațiu Ω finit , această formulă pentru P (A | B) exprimă definiția clasică a probabilității ca „cazuri favorabile ( A ) peste cazuri posibile ( B )”.
În schimb, pentru P (B | A) obținem valoarea 1 pe care, pentru un număr finit de valori, Bayes însuși a interpretat-o ​​în sens larg ca certitudinea că întregul este condiționat de parte.

Alte definiții

Speranța condiționată a unei variabile aleatorii X la un eveniment B este speranța lui X calculată pe probabilități (condiționat de B ).

Probabilitatea unui eveniment A poate fi condiționată de o variabilă discretă aleatorie X , dând naștere unei noi variabile aleatoare, , care pentru X = x ia valoarea .

Aplicații

Teorema lui Bayes exprimă egalitate simetrică a teoremei probabilității compuse ca

.

Această teoremă stă la baza inferenței bayesiene în statistici , unde P se numește „probabilitatea a priori a lui B ” și P B „probabilitatea a posteriori a lui B ”.

Paradoxuri

Multe paradoxuri sunt legate de probabilitatea condițională și derivă atât dintr-o formulare incorectă a problemei, cât și din confuzia lui P (A | B) cu P (A) sau cu P (B | A) .

Exemple particulare sunt paradoxul cu două plicuri , paradoxul cu doi copii , problema Monty Hall și paradoxul Simpson .

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică