Problema lui Kepler în relativitatea generală

Problema lui Kepler în relativitatea generală implică rezolvarea mișcării a două corpuri sferice care interacționează între ele prin intermediul gravitației , așa cum este descris de teoria relativității generale .

De obicei, și în acest articol, se presupune că un corp are masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ neglijabil în comparație cu masa $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ al altui corp; aceasta este o bună aproximare în cazul unei planete care se rotește în jurul Soarelui sau a unui foton care trece printr-o stea. În astfel de cazuri, se poate presupune că doar cel mai greu corp contribuie la curbura spațiului-timp și că acesta este fixat în spațiu. Acest spațiu-timp curbat este descris de soluția lui Schwarzschild la ecuațiile lui Einstein în vidul relativității generale. Mișcarea corpului mai ușor (mai târziu va fi numită „particulă”) este definită prin intermediul geodeziei spațiu-timp a soluției Schwarzschild. Se presupune aici că corpul mai ușor are un punct, astfel încât forțele mareelor să poată fi ignorate.

Aceste soluții geodezice justifică anomala precesiune a planetei Mercur , care este principala dovadă care susține teoria relativității generale. Ei descriu, de asemenea, devierea luminii într-un câmp gravitațional, o altă predicție utilizată notoriu ca dovadă pentru relativitatea generală.

Dezintegrarea orbitală datorată emisiei de radiații gravitaționale nu este definită de soluția Schwarzschild.

Context istoric și înțelegere intuitivă

Același subiect în detaliu:Dovada relativității generale .

În absența oricărei alte forțe, o particulă care orbitează alta sub influența gravitației newtoniene urmează etern aceeași elipsă perfectă. Prezența altor forțe (cum ar fi gravitația de pe alte planete) face ca această elipsă să se rotească treptat. Viteza ( rata ) acestei rotații (numită precesie orbitală) poate fi măsurată cu o precizie extremă. Viteza poate fi prezisă și prin cunoașterea mărimilor și direcțiilor celorlalte forțe. Cu toate acestea, predicțiile gravitației newtoniene nu se potrivesc cu observațiile, așa cum s-a dedus în 1859 din observațiile lui Mercur.

În 1859, Urbain Le Verrier a descoperit că precesiunea orbitală a planetei Mercur nu era suficientă în comparație cu ceea ce ar fi trebuit să fie; elipsa orbitei sale s-a rotit (în precesiune) puțin mai repede decât a prezis teoria tradițională a gravitației newtoniene, chiar și după luarea în considerare a tuturor efectelor celorlalte planete. ^[1] Efectul este mic (aproximativ 43 de secunde de rotație pe secol), dar mult peste eroarea de măsurare (aproximativ 0,1 secunde de arc pe secol). Le Verrier a înțeles imediat importanța descoperirii sale, provocând astronomii și fizicienii să o pună la îndoială. Au fost propuse mai multe explicații clasice, cum ar fi praful interplanetar, aplatizarea polară neobservată a Soarelui , o lună de Mercur încă nedescoperită sau o nouă planetă numită Vulcan . ^[2] După ce aceste explicații au fost considerate de mică valoare, unii fizicieni au fost ispitiți de o ipoteză mai radicală, greșită având în vedere legea pătrată inversă a gravitației Newton . De exemplu, unii fizicieni au propus o lege a puterii cu un exponent ușor diferit de 2.

Alții au susținut că legea lui Newton ar trebui completată cu un potențial dependent de viteză. Cu toate acestea, acest lucru implica un conflict cu dinamica cerească newtoniană. În tratatul său de mecanică cerească, Laplace arătase că, dacă influența gravitațională nu acționează instantaneu, atunci mișcarea planetelor nu ar păstra exact impulsul (o parte a momentului trebuie deci atribuită mediatorului interacțiunii gravitaționale, în mod similar în momentul în care este atribuit mediatorului interacțiunii electromagnetice). După cum s-a observat din punctul de vedere newtonian, dacă influența gravitațională se propagă cu o viteză finită, atunci în toate momentele, o planetă este atrasă de un punct în care Soarele era cu ceva timp înainte și nu spre poziția instantanee a soarelui. Sub ipoteza fundamentelor clasice, Laplace arătase că, dacă gravitația se propagă cu o viteză de ordinea vitezei luminii, atunci sistemul solar ar fi instabil și nu va exista mult timp. Observația că sistemul solar este vechi ne permite să plasăm o limită inferioară vitezei gravitaționale, care este cu multe ordine de mărime mai rapidă decât viteza luminii. ^[2] Estimarea lui Laplace pentru viteza gravitațională nu este exactă, deoarece într-o teorie de câmp care respectă principiul relativității, atracția unei sarcini punctuale care se deplasează cu o viteză constantă este spre poziția instantanee extrapolată, nu spre poziția aparentă pe care pare să o aibă. ocupa când observi ^[3]

Pentru a evita aceste probleme, între 1870 și 1900 mulți oameni de știință au folosit legile electrodinamicii lui Wilhelm Eduard Weber , Carl Friedrich Gauß , Bernhard Riemann pentru a produce orbite stabile și a explica deplasarea periheliului orbitei lui Mercur . În 1890, Lévy a reușit să facă acest lucru combinând legile lui Weber și Riemann, pentru care viteza gravitațională este în teoria sa egală cu cea a luminii . Și într-o altă încercare, Paul Gerber (1898) a reușit la fel să obțină formula corectă pentru schimbarea periheliului (care era identică cu cea folosită mai târziu de Einstein). Cu toate acestea, din moment ce legile de bază ale lui Weber și ale altora erau greșite (de exemplu, legea lui Weber a fost înlocuită de teoria lui Maxwell), aceste ipoteze au fost respinse. ^[4] O altă încercare făcută de Hendrik Lorentz (1900), care folosise deja teoria lui Maxwell, a produs o schimbare de periheliu prea mică. ^[2]

În jurul anilor 1904–1905, lucrările lui Hendrik Lorentz , Henri Poincaré și , în cele din urmă , teoria relativității speciale a lui Albert Einstein , au exclus posibilitatea propagării oricărui efect mai rapid decât viteza luminii . Rezultă că legea gravitațională a lui Newton ar fi trebuit înlocuită cu o altă lege, compatibilă cu principiul relativității, deși limita newtoniană a rămas valabilă în circumstanțe în care efectele relativiste erau neglijabile. Astfel de încercări au fost făcute de Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) și Arnold Sommerfeld (1910). ^[5] În 1907 Einstein a ajuns la concluzia că era nevoie de un moștenitor al relativității speciale pentru a atinge acest obiectiv. Din 1907 până în 1915, Einstein a încercat treptat să se împingă spre o nouă teorie, folosindu-și principiul echivalenței ca concept cheie pentru a atinge obiectivul. Conform acestui principiu, un câmp gravitațional uniform acționează în același mod asupra a tot ceea ce se află în interiorul său și, în consecință, nu poate fi detectat de un observator care cade liber. În schimb, toate efectele gravitaționale locale ar trebui să fie reproductibile într-un cadru de referință care accelerează liniar și invers. Astfel, gravitația acționează ca o forță fictivă, cum ar fi forța centrifugă sau forța Coriolis , rezultată dintr-un cadru de referință accelerat; toate forțele fictive sunt proporționale cu masa inerțială , la fel ca gravitația. Pentru a reconcilia gravitația cu relativitatea specială prin încorporarea principiului echivalenței , trebuie sacrificat ceva; că ceva era ipoteza clasică de lungă durată că spațiul nostru era supus legilor geometriei euclidiene , de exemplu, faptul că teorema pitagoreică este experimentală adevărată. Einstein a folosit o geometrie mai generală , pseudo-geometria lui Riemann , pentru a permite curbura spațiului și a timpului , o condiție necesară pentru reconciliere; după opt ani de muncă (1907–1915), a reușit să descopere modul precis în care spațiul-timp ar fi curbat pentru a reproduce legile fizice observate în natură, în special gravitația. Gravitația este distinctă de forțele fictive, centrifuge și Coriolis în sensul că curbura spațiu-timpului este considerată fizic reală, în timp ce forțele fictive nu sunt considerate forțe. Primele soluții adevărate ale ecuațiilor sale de câmp au explicat precesiunea anormală a lui Mercur prin prezicerea unei curburi neobișnuite de lumină, care a fost confirmată după publicarea teoriei sale. Aceste soluții sunt explicate mai jos.

Domeniu de aplicare geometric

În geometria euclidiană normală, triunghiurile respectă teorema lui Pitagora , care afirmă că distanța pătrată $ds^{2}$ ${\ displaystyle ds ^ {2}}$ $ds ^ 2$ între două puncte din spațiu este suma pătratelor componentelor sale perpendiculare

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,\!

{\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \, \!}

{\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \, \!}

unde este $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ , $d y$ ${\ displaystyle dy}$ $dy$ Și $d z$ ${\ displaystyle dz}$ $dz$ reprezintă diferențele infinitezimale dintre cele două puncte de-a lungul axelor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ a unui sistem de coordonate cartezian (adăugați figura aici). Acum imaginați-vă o lume în care acest lucru nu este chiar adevărat, o lume în care distanța este dată în schimb de

ds^{2}=F(x,y,z)dx^{2}+G(x,y,z)dy^{2}+H(x,y,z)dz^{2}\,\!

{\ displaystyle ds ^ {2} = F (x, y, z) dx ^ {2} + G (x, y, z) dy ^ {2} + H (x, y, z) dz ^ {2} \, \!}

{\ displaystyle ds ^ {2} = F (x, y, z) dx ^ {2} + G (x, y, z) dy ^ {2} + H (x, y, z) dz ^ {2} \, \!}

unde este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ sunt funcții arbitrare de poziție. Nu este dificil să ne imaginăm o astfel de lume: trăim în ea. Suprafața lumii este curbată, ceea ce face inutilă realizarea unei hărți perfect precise și plate. Sistemele de coordonate non-carteziene descriu acest bine, de exemplu, în coordonate sferice ( $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ), se poate scrie distanța euclidiană

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\,\!

{\ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2} \, \!}

{\ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2} \, \!}

Un alt exemplu ar fi o lume în care conducătorii obișnuiau să măsoare lungimea nu ar fi de încredere, schimbându-și lungimea cu poziția lor și chiar cu orientarea lor. În cel mai general caz, termenii încrucișați trebuie permiși la calcularea distanței $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ :

ds^{2}=g_{xx}dx^{2}+g_{xy}dxdy+g_{xz}dxdz+\cdots +g_{zy}dzdy+g_{zz}dz^{2}\,\!

{\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {xx} dx ^ {2} + g_ {xy} dxdy + g_ {xz} dxdz + \ cdots + g_ {zy} dzdy + g_ {zz} dz ^ {2} \ , \!}

{\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {xx} dx ^ {2} + g_ {xy} dxdy + g_ {xz} dxdz + \ cdots + g_ {zy} dzdy + g_ {zz} dz ^ {2} \ , \!}

unde nouă funcții $g_{xx}$ ${\ displaystyle g_ {xx}}$ ${\ displaystyle g_ {xx}}$ , $g_{xy}$ ${\ displaystyle g_ {xy}}$ ${\ displaystyle g_ {xy}}$ constituie tensorul metric , care definește geometria spațiului în geometria Riemann . În exemplul coordonatelor sferice de mai sus, nu există termeni transversali; singurele componente ale tensorului metric altul decât zero sunt $g_{rr}=1,g_{\theta \theta }=r^{2}$ ${\ displaystyle g_ {rr} = 1, g _ {\ theta \ theta} = r ^ {2}}$ ${\ displaystyle g_ {rr} = 1, g _ {\ theta \ theta} = r ^ {2}}$ , Și $g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}{\theta }$ ${\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2} sin ^ {2} {\ theta}}$ ${\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2} sin ^ {2} {\ theta}}$ .

În teoria sa relativă specială, Albert Einstein a demonstrat această distanță $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ între două puncte spațiale nu este constantă, ci depinde de mișcarea observatorului. Cu toate acestea, există o măsură de separare între două puncte în spațiu-timp - numită „ timp adecvat ” și notată cu simbolul $d\tau$ ${\ displaystyle d \ tau}$ $d \ tau$ - care este invariant; cu alte cuvinte, nu depinde de mișcarea observatorului.

c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\,\!

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \, \!}

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \, \!}

care poate fi scris cu coordonate sferice în felul următor:

c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\,\!

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2} \, \!}

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dr ^ {2} -r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2} \, \!}

Această formulă este extensia naturală a teoremei lui Pitagora și se păstrează în mod similar numai atunci când nu există o curbură a spațiului-timp. În relativitatea generală , totuși, spațiul și timpul pot avea curbură, deci această formulă a distanței trebuie schimbată într-o formă mai generală:

c^{2}d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,\!

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} \, \!}

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} \, \!}

la fel cum am generalizat formula pentru măsurarea distanței până la suprafața Pământului. Forma exactă a metricei $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ depinde de masa gravitativă, de impuls și de energie, așa cum este descris de ecuațiile de câmp ale lui Einstein . Einstein a dezvoltat aceste ecuații de câmp pentru a satisface legile naturii cunoscute atunci, dar, cu toate acestea, au prezis fenomene nemaivăzute până acum (cum ar fi curbura luminii datorită gravitației), care au fost ulterior confirmate.

Metrica Schwarzschild

O soluție pentru ecuațiile de câmp ale lui Einstein este metrica Schwarzschild , corespunzătoare câmpului gravitațional al unui corp sferic simetric, nerotabil, fără sarcină și masă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Soluția lui Schwarzschild poate fi scrisă ca:

c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}

{\ displaystyle c ^ {2} {d \ tau} ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ frac {r_ {s}} {r}}}} - r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2}}

{\ displaystyle c ^ {2} {d \ tau} ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ frac {r_ {s}} {r}}}} - r ^ {2} d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2}}

unde este:

\tau

{\ displaystyle \ tau}

\ tau

este timpul potrivit (timpul măsurat de un ceas care se mișcă cu particula) în secunde ,

c

{\ displaystyle c}

c

este viteza luminii în metri pe secundă,

t

{\ displaystyle t}

t

este coordonata timpului (măsurată de un ceas staționar la infinit) în secunde,

r

{\ displaystyle r}

r

este coordonata radială (circumferința unui cerc centrat pe stea împărțit la

2\pi

{\ displaystyle 2 \ pi}

2 \ pi

) în metri,

\theta

{\ displaystyle \ theta}

\ theta

este colatitudinea (unghiul de la nord) în radiani ,

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

este longitudinea în radiani și

r_{s}

{\ displaystyle r_ {s}}

r_ {s}

este raza Schwarzschild (în metri) a corpului masiv, care este legată de masa sa

M.

{\ displaystyle M}

M.

din

r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}

{\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}

{\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}

unde este

G.

{\ displaystyle G}

G.

este constanta gravitationala . ^[6]

Teoria clasică newtoniană a gravitației este recuperată în limită ca raport ${\frac {r_{s}}{r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r_ {s}} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r_ {s}} {r}}}$ merge la zero. În această limită, metrica revine în forma dată mai sus pentru relativitatea specială. În practică, acest raport este aproape întotdeauna extrem de mic. De exemplu, raza Schwarzschild $r_{s}$ ${\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ din Pământ are aproximativ 9 mm , în timp ce un satelit pe o orbită geosincronă are o rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ care este de aproximativ patru miliarde de ori mai mare, la 42.164 km . Chiar și pentru suprafața Pământului, corecțiile pentru gravitația newtoniană sunt doar o parte dintr-un miliard. Raportul devine mare doar lângă găurile negre și obiecte ultra-dense, cum ar fi stelele cu neutroni .

Ecuația geodezică

Conform teoriei relativității generale a lui Einstein, particulele de masă neglijabilă se deplasează de-a lungul geodeziei în spațiu-timp. Într-un spațiu-timp necurbat, departe de sursa gravitației, aceste geodezii corespund liniilor drepte; cu toate acestea, se pot abate de la linii drepte atunci când spațiul-timp este curbat. Ecuația pentru liniile geodezice este ^[7]

{\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {dq ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {dq}} {\ frac {dx ^ {\ lambda}} {dq}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {dq ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ nu \ lambda} ^ {\ mu} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {dq}} {\ frac {dx ^ {\ lambda}} {dq}} = 0}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ reprezintă simbolul Christoffel și variabila $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ parametrizează calea particulei prin spațiu-timp , așa-numita sa linie universală . Simbolul Christoffel depinde doar de tensorul metric $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ , sau mai bine zis cum se schimbă odată cu poziția. Variabila $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este un multiplu constant al timpului adecvat $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ pentru orbite de tip timp (care sunt traversate de particule masive), și este de obicei considerat a fi egal cu acesta. Pentru orbite ușoare (sau zero) (care sunt traversate de particule fără masă, cum ar fi fotonii ), timpul potrivit este zero și, strict vorbind, nu poate fi folosit ca variabilă $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Cu toate acestea, orbitele de tip lumină pot fi derivate ca limită ultrarelativistă a orbitelor de tip timp, adică limita ca masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ a particulelor merge la zero, păstrându-și energia totală fixă.

Putem simplifica problema folosind simetria pentru a elimina o variabilă luată în considerare. Deoarece metrica Schwarzschild este simetrică cu cca $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ , orice geodezie care începe să se miște în acel plan va rămâne în acel plan la nesfârșit (planul este total geodezic ). Apoi, orientăm sistemul de coordonate astfel încât orbita particulei să fie în acel plan și fixăm coordonatele $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ca ${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ astfel încât metrica (a acestui plan) să se simplifice la:

c^{2}d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ frac {r_ {s}} {r}}}} - r ^ {2} d \ varphi ^ {2}.}

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ frac {r_ {s}} {r}}}} - r ^ {2} d \ varphi ^ {2}.}

Prin urmare, pot fi identificate două constante de mișcare (vezi derivarea dată în abordarea lagrangiană )

r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

{\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {d \ varphi} {d \ tau}} = {\ frac {L} {m}},}

{\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {d \ varphi} {d \ tau}} = {\ frac {L} {m}},}

\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.

{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) {\ frac {dt} {d \ tau}} = {\ frac {E} {mc ^ {2}} }.}

{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) {\ frac {dt} {d \ tau}} = {\ frac {E} {mc ^ {2}} }.}

Prin substituirea acestor constante în definiția metricei Schwarzschild

c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},

{\ displaystyle c ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} \ left ({\ frac {dt} {d \ tau}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {1 - {\ frac {r_ {s}} {r}}}} \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} -r ^ {2} \ left ({\ frac {d \ varphi} {d \ tau}} \ right) ^ {2},}

{\ displaystyle c ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} \ left ({\ frac {dt} {d \ tau}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {1 - {\ frac {r_ {s}} {r}}}} \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} -r ^ {2} \ left ({\ frac {d \ varphi} {d \ tau}} \ right) ^ {2},}

obținem ecuația mișcării pentru particulă:

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\right).

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = {\ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) \ left (c ^ {2} + {\ frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2 }}} \ dreapta).}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = {\ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) \ left (c ^ {2} + {\ frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2 }}} \ dreapta).}

Dependența de timpul adecvat poate fi eliminată folosind definiția lui $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {mr^{2}}{L}}\right)^{2},

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {d \ tau} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {mr ^ {2}} {L}} \ right) ^ {2},}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {d \ tau} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {mr ^ {2}} {L}} \ right) ^ {2},}

care dă ecuația orbitei:

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} = {\ frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} - \ left (1- {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) \ left ({\ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} = {\ frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} - \ left (1- {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) \ left ({\ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} \ right)}

unde, din motive de scurtă durată, cele două scale de lungime, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , sunt definite de:

a={\frac {L}{mc}},

{\ displaystyle a = {\ frac {L} {mc}},}

{\ displaystyle a = {\ frac {L} {mc}},}

b={\frac {cL}{E}}.

{\ displaystyle b = {\ frac {cL} {E}}.}

{\ displaystyle b = {\ frac {cL} {E}}.}

Aceeași ecuație poate fi, de asemenea, derivată folosind o abordare lagrangiană ^[8] sau ecuația Hamilton - Jacobi ^[9] (a se vedea mai jos ). Soluția ecuației orbitale este:

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.

{\ displaystyle \ varphi = \ int {\ frac {dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ frac {1} {b ^ {2}}} - \ left (1 - {\ frac {r_ { s}} {r}} \ right) \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ right)}}}} }

{\ displaystyle \ varphi = \ int {\ frac {dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ frac {1} {b ^ {2}}} - \ left (1 - {\ frac {r_ { s}} {r}} \ right) \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ right)}}}} }

Formula aproximativă pentru curbura luminii

Măsurătorile făcute de Eddington în 1919 cu privire la deviația luminii pe care steaua a cauzat-o de forța gravitațională a soarelui a adus întreaga lume să accepte relativitatea generală .

În limita ca masă de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ a particulelor merge la zero (sau, echivalent, ca scala lungimii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ merge la infinit), ecuația pentru orbită devine:

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}

{\ displaystyle \ varphi = \ int {\ frac {dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ frac {1} {b ^ {2}}} - \ left (1 - {\ frac {r_ { s}} {r}} \ right) {\ frac {1} {r ^ {2}}}}}}}

{\ displaystyle \ varphi = \ int {\ frac {dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ frac {1} {b ^ {2}}} - \ left (1 - {\ frac {r_ { s}} {r}} \ right) {\ frac {1} {r ^ {2}}}}}}}

Extinderea puterilor de ${\frac {r_{s}}{r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r_ {s}} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r_ {s}} {r}}}$ , termenul de ordine dominantă din această formulă dă deviația unghiulară aproximativă $d\varphi$ ${\ displaystyle d \ varphi}$ ${\ displaystyle d \ varphi}$ pentru o particulă fără masă care vine de la infinit și revine la infinit:

\delta \varphi \approx {\frac {2r_{s}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.

{\ displaystyle \ delta \ varphi \ approx {\ frac {2r_ {s}} {b}} = {\ frac {4GM} {c ^ {2} b}}.}

{\ displaystyle \ delta \ varphi \ approx {\ frac {2r_ {s}} {b}} = {\ frac {4GM} {c ^ {2} b}}.}

Aici, $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ poate fi interpretat ca distanța unei abordări mai apropiate. Deși această formulă este aproximativă, este exactă pentru majoritatea măsurătorilor fenomenului lentilei gravitaționale , datorită micții raportului ${\frac {r_{s}}{r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r_ {s}} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r_ {s}} {r}}}$ . Pentru lumina care pășunește suprafața soarelui, deviația unghiulară aproximativă este de aproximativ 1,75 secunde de arc .

Relația mecanicii clasice și precesiunea orbitelor eliptice

Ecuația mișcării pentru particula derivată mai sus

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}+{\frac {r_{s}L^{2}}{m^{2}r^{3}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = {\ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - c ^ {2} + {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} {r}} - {\ frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2}}} + { \ frac {r_ {s} L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = {\ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - c ^ {2} + {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} {r}} - {\ frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2}}} + { \ frac {r_ {s} L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {3}}}}

poate fi rescris utilizând definiția razei Schwarzschild $r_{s}$ ${\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ ca:

{\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = \ left [{\ frac {E ^ {2}} {2mc ^ {2}}} - {\ frac {1} {2}} mc ^ {2} \ right] + {\ frac {GMm} {r}} - {\ frac {L ^ {2}} { 2mr ^ {2}}} + {\ frac {GML ^ {2}} {c ^ {2} mr ^ {3}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {dr} {d \ tau}} \ right) ^ {2} = \ left [{\ frac {E ^ {2}} {2mc ^ {2}}} - {\ frac {1} {2}} mc ^ {2} \ right] + {\ frac {GMm} {r}} - {\ frac {L ^ {2}} { 2mr ^ {2}}} + {\ frac {GML ^ {2}} {c ^ {2} mr ^ {3}}}}

care este echivalent cu o particulă care se mișcă într-un potențial efectiv unidimensional

V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}.

{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {GMm} {r}} + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - {\ frac {GML ^ {2}} { c ^ {2} mr ^ {3}}}.}

{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {GMm} {r}} + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - {\ frac {GML ^ {2}} { c ^ {2} mr ^ {3}}}.}

Primii termeni sunt energii clasice bine cunoscute, primul fiind energia potențială newtoniană atractivă gravitațional și al doilea corespunzând energiei potențiale „centrifuge” respingătoare; Cu toate acestea, al treilea termen este o energie atractivă unică pentru relativitatea generală . Așa cum se arată mai jos și în altă parte , această energie inversă cubică determină treptat orbitele eliptice să preceseze cu un unghi $\delta \varphi$ ${\ displaystyle \ delta \ varphi}$ $\ delta \ varphi$ pentru revoluție:

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}

{\ displaystyle \ delta \ varphi \ approx {\ frac {6 \ pi GM} {c ^ {2} A \ left (1-e ^ {2} \ right)}}}

{\ displaystyle \ delta \ varphi \ approx {\ frac {6 \ pi GM} {c ^ {2} A \ left (1-e ^ {2} \ right)}}}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este axa semi-majoră și $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este excentricitate.

Al treilea termen este atractiv și domină în valori de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ mic, oferind o rază critică internă $r_{interno}$ ${\ displaystyle r_ {internal}}$ ${\ displaystyle r_ {internal}}$ unde o particulă este inexorabil trasă spre interior $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ ; această rază internă este o funcție a impulsului unghiular al particulei pe unitate de masă sau, în mod echivalent, scala lungimii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ definit mai sus.

Orbitele circulare și stabilitatea acestora

Potențial radial eficient pentru diferitele momente unghiulare. La raze mici, energia scade precipitat, împingând particula inexorabil spre interior pentru r = 0. Cu toate acestea, atunci când impulsul unghiular a / r _s = L / mcr _s este egal cu rădăcina pătrată a lui

3

{\ displaystyle 3}

3

, o orbită circulară metastabilă este posibilă pentru raza evidențiată cu un cerc verde. În momentele unghiulare superioare, există o barieră centrifugă semnificativă (curbă portocalie) și o rază interioară instabilă, evidențiată în roșu.

Potențialul real $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ poate fi rescris din punct de vedere al lungimilor $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$

V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right]

{\ displaystyle V (r) = {\ frac {mc ^ {2}} {2}} \ left [- {\ frac {r_ {s}} {r}} + {\ frac {a ^ {2}} {r ^ {2}}} - {\ frac {r_ {s} a ^ {2}} {r ^ {3}}} \ right]}

{\ displaystyle V (r) = {\ frac {mc ^ {2}} {2}} \ left [- {\ frac {r_ {s}} {r}} + {\ frac {a ^ {2}} {r ^ {2}}} - {\ frac {r_ {s} a ^ {2}} {r ^ {3}}} \ right]}

Orbitele circulare sunt posibile atunci când forța efectivă este zero:

F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0

{\ displaystyle F = - {\ frac {dV} {dr}} = - {\ frac {mc ^ {2}} {2r ^ {4}}} \ left [r_ {s} r ^ {2} -2a ^ {2} r + 3r_ {s} a ^ {2} \ right] = 0}

{\ displaystyle F = - {\ frac {dV} {dr}} = - {\ frac {mc ^ {2}} {2r ^ {4}}} \ left [r_ {s} r ^ {2} -2a ^ {2} r + 3r_ {s} a ^ {2} \ right] = 0}

adică, atunci când două forțe atractive - gravitația newtoniană (primul termen) și atracția unică pentru relativitatea generală (al treilea termen) - sunt echilibrate exact de forța centrifugă respingătoare (al doilea termen). Ci sono due raggi dove questo bilanciamento può accadere, definito qui come $r_{inner}$ $r_{inner}$ $r_{inner}$ e $r_{outer}$ $r_{outer}$ $r_{outer}$ :

r_{\mathrm {outer} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)

r_{\mathrm {outer} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)

r_{\mathrm {outer} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)

r_{\mathrm {inner} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}}

r_{\mathrm {inner} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}}

r_{\mathrm {inner} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}}

che sono ottenute usando la formula quadratica . Il raggio interno $r_{inner}$ $r_{inner}$ $r_{inner}$ è instabile, poiché la terza forza attrattiva aumenta molto più velocemente delle altre due forze quando $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ diventa piccolo; se la particella scivola leggermente verso l'interno da $r_{inner}$ $r_{inner}$ $r_{inner}$ (dove tutte e tre le forze sono in equilibrio), la terza forza domina le altre due, trascinando la particella inesorabilmente verso l'interno per $r=0$ ${\displaystyle r=0}$ $r=0$ . Nel raggio esterno, comunque, le orbite circolari sono stabili; il terzo termine è meno importante e il sistema si comporta in modo più simile al problema di Keplero non-relativistico.

Quando $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ è molto più grande di $r_{s}$ $r_{s}$ $r_{s}$ (caso classico), queste formule diventano approssimativamente:

r_{\mathrm {outer} }\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}

r_{\mathrm {outer} }\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}

r_{\mathrm {outer} }\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}

r_{\mathrm {inner} }\approx {\frac {3}{2}}r_{s}

r_{\mathrm {inner} }\approx {\frac {3}{2}}r_{s}

r_{\mathrm {inner} }\approx {\frac {3}{2}}r_{s}

I raggi stabili e instabili sono tracciati rispetto al momento angolare normalizzato a / r _s = L / mcr _s rispettivamente in blu e rosso. Queste curve si incontrano in un'unica orbita circolare (cerchio verde), quando il momento angolare normalizzato è pari alla radice quadrata di tre. Per evidenziare meglio, il raggio classico previsto dall' accelerazione centripeta e la legge gravitazionale di Newton è tracciata in nero.

Sostituendo le definizioni di $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $r_{s}$ $r_{s}$ $r_{s}$ in $r_{outer}$ $r_{outer}$ $r_{outer}$ si ottiene la formula classica per una particella orbitante una massa $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ in un cerchio:

r_{\mathrm {outer} }^{3}\approx {\frac {GM}{\omega _{\varphi }^{2}}}

r_{\mathrm {outer} }^{3}\approx {\frac {GM}{\omega _{\varphi }^{2}}}

r_{\mathrm {outer} }^{3}\approx {\frac {GM}{\omega _{\varphi }^{2}}}

dove $\omega _{\varphi }$ $\omega _{\varphi }$ $\omega _{\varphi }$ è la velocità angolare orbitale della particella. Questa formula è ottenuta nella meccanica non-relativistica impostando la forza centrifuga uguale alla forza gravitazionale newtoniana:

{\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega r

{\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega r

{\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega r

dove $\mu$ $\mu$ $\mu$ è la massa ridotta .
Nella nostra notazione, la velocità orbitale classica è uguale a:

\omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}

\omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}

\omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}

Nell'altro estremo, quando $a^{2}$ $a^{2}$ $a^2$ avvicina soprattutto a $3r_{s}^{2}$ $3r_{s}^{2}$ $3r_{s}^{2}$ , i due raggi convergono in un unico valore

r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{s}

r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{s}

r_{\mathrm {outer} }\approx r_{\mathrm {inner} }\approx 3r_{s}

Le soluzioni quadratiche sopra assicurano che $r_{outer}$ $r_{outer}$ $r_{outer}$ è sempre maggiore di $3r_{s}$ $3r_{s}$ $3r_{s}$ , laddove $r_{inner}$ $r_{inner}$ $r_{inner}$ si trova fra ${\frac {3}{2}}r_{s}$ ${\frac {3}{2}}r_{s}$ ${\frac {3}{2}}r_{s}$ e $3r_{s}$ $3r_{s}$ $3r_{s}$ . Le orbite circolari più piccole di ${\frac {3}{2}}r_{s}$ ${\frac {3}{2}}r_{s}$ ${\frac {3}{2}}r_{s}$ non sono possibili. Per le particelle senza massa, $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ va all'infinito, il che implica che vi sia un'orbita circolare per i fotoni per $r_{inner}={\frac {3}{2}}r_{s}$ $r_{inner}={\frac {3}{2}}r_{s}$ $r_{inner}={\frac {3}{2}}r_{s}$ . La sfera di questo raggio è talvolta nota come sfera fotonica .

Precessione delle orbite ellittiche

Nel problema di Keplero non relativistico, una particella segue eternamente la stessa ellisse perfetta (orbita verde). La relatività generale introduce una terza forza che attrae la particella leggermente più forte della gravità newtoniana, soprattutto per piccoli raggi. Questa terza forza fa sì che l'orbita ellittica della particella subisca una precessione (orbita grigio-azzurra) nella direzione della sua rotazione; questo effetto è stato misurato nei pianeti Mercurio , Venere e Terra . Il punto giallo dentro le orbite rappresenta il centro di attrazione, come ad. es. il Sole .

La velocità ( rate ) di precessione orbitale può essere ricavata utilizzando questo potenziale effettivo radiale $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ . Una piccola deviazione radiale da un'orbita circolare di raggio $r_{outer}$ $r_{outer}$ $r_{outer}$ oscillerà stabilmente con una frequenza angolare

\omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}

\omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}

\omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}

che è pari a:

\omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}

\omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}

\omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}

Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati e espandendo usando il teorema binomiale si ottiene la formula:

\omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)

\omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)

\omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)

Moltiplicando per il periodo $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ di una rivoluzione si ottiene la precessione dell'orbita per rivoluzione:

\delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}

\delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}

\delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}

dove abbiamo usato $\omega _{\varphi }T=2\pi$ $\omega _{\varphi }T=2\pi$ $\omega _{\varphi }T=2\pi$ e la definizione della scala di lunghezza $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ . Sostituendo la definizione del raggio di Schwarzschild $r_{s}$ $r_{s}$ $r_{s}$ si ha:

\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}

\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}

\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}

Questa può essere semplificata usando il semiasse dell'orbita ellittica $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ e l'eccentricità $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ correlata tramite la formula :

{\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=A\left(1-e^{2}\right)

{\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=A\left(1-e^{2}\right)

{\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=A\left(1-e^{2}\right)

per dare la forma più comune dell'angolo di precessione

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}

Soluzione orbitale usando funzioni ellittiche

L'equazione per l'orbita

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)

può essere semplificata introducendo una variabile senza dimensione:

\zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}

\zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}

\zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}

in modo che si riduca a:

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},

dove la costante, i coefficienti senza dimensione $g_{2}$ $g_{2}$ $g_2$ e $g_{3}$ $g_{3}$ $g_{3}$ sono definiti tramite

{\begin{aligned}g_{2}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{s}^{2}}{4a^{2}}},\\g_{3}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{s}^{2}}{24a^{2}}}-{\frac {r_{s}^{2}}{16b^{2}}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}g_{2}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{s}^{2}}{4a^{2}}},\\g_{3}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{s}^{2}}{24a^{2}}}-{\frac {r_{s}^{2}}{16b^{2}}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}g_{2}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{s}^{2}}{4a^{2}}},\\g_{3}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{s}^{2}}{24a^{2}}}-{\frac {r_{s}^{2}}{16b^{2}}}.\end{aligned}}

La soluzione di questa equazione orbitale è data da:

\varphi -\varphi _{0}=\int {\frac {d\zeta }{\sqrt {4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}}}}.

\varphi -\varphi _{0}=\int {\frac {d\zeta }{\sqrt {4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}}}}.

\varphi -\varphi _{0}=\int {\frac {d\zeta }{\sqrt {4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}}}}.

Ne consegue che, fino ad un cambiamento di fase, $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})$ $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})$ $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})$ , dove $\wp$ $\wp$ $\wp$ è la funzione ellittica di Weierstrass con i parametri $g_{2}$ $g_{2}$ $g_2$ e $g_{3}$ $g_{3}$ $g_{3}$ , e $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ è una costante di integrazione (possibilmente complessa ).

Carattere qualitativo di possibili orbite

Le orbite sono definite dall'equazione di moto:

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},

Se il discriminante $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$ $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$ $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$ è maggiore di zero, l' equazione cubica

G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=0\,

G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=0\,

G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=0\,

avrà tre radici reali e distinte, $e_{1},\;e_{2}$ $e_{1},\;e_{2}$ $e_{1},\;e_{2}$ , ed $e_{3}$ $e_{3}$ $e_{3}$ , che possono essere elencate in ordine decrescente:

e_{1}>e_{2}>e_{3}.

e_{1}>e_{2}>e_{3}.

e_{1}>e_{2}>e_{3}.

In tali casi, la soluzione $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})$ $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})$ $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})$ è una funzione ellittica con due semi-periodi, uno completamente reale

\omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}

\omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}

\omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}

e un altro completamente immaginario

\omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}

\omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}

\omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}

.

La radice restante definisce un semi-periodo complesso $\omega _{2}=-\omega _{1}-\omega _{3}$ $\omega _{2}=-\omega _{1}-\omega _{3}$ $\omega _{2}=-\omega _{1}-\omega _{3}$ . Questi tre semi-periodi sono correlati alle radici corrispondenti per mezzo dell'equazione $\wp (\omega _{i})=e_{i}$ $\wp (\omega _{i})=e_{i}$ $\wp (\omega _{i})=e_{i}$ , dove $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ può essere uguale a $1,\;2$ $1,\;2$ $1,\;2$ o $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ . Quindi, $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ è posto uguale a ognuno di questi semi-periodi, la derivata di $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ è zero, indicando un periapside o un apoapside , i punti di approccio rispettivamente più vicini o più lontani.

{\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ \mathrm {quando} \ \zeta =\wp (-\omega _{i})=e_{i}

{\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ \mathrm {quando} \ \zeta =\wp (-\omega _{i})=e_{i}

{\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ \mathrm {quando} \ \zeta =\wp (-\omega _{i})=e_{i}

,

dato che

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)

.

Le radici $e_{i}$ $e_{i}$ $e_{i}$ sono i valori critici di $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ per quanto riguarda $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ , ie, i valori dove la derivata è uguale a zero.

Il carattere qualitativo delle orbite dipende dalla scelta di $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ . Le soluzioni con $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ pari a $\omega _{2}$ $\omega _{2}$ $\omega _{2}$ corrispondono a orbite oscillatorie che variano tra $\zeta =e_{2}$ $\zeta =e_{2}$ $\zeta =e_{2}$ e $\zeta =e_{3}$ $\zeta =e_{3}$ $\zeta =e_{3}$ , oppure divergono all'infinito $\left(\zeta =-{\frac {1}{12}}\right)$ $\left(\zeta =-{\frac {1}{12}}\right)$ $\left(\zeta =-{\frac {1}{12}}\right)$ . Diversamente, le soluzioni con $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ pari a $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ (oa ogni altro numero reale) corrispondono a orbite che decadono a raggio zero, dato che (per essere un numero reale ) $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ non può essere inferiore a $e_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ e perciò aumenta inesorabilmente all'infinito.

Orbite quasi ellittiche

Le soluzioni $\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})$ $\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})$ $\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})$ in cui $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ pari a $\omega _{2}$ $\omega _{2}$ $\omega _{2}$ danno un valore reale di $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ a condizione che l'energia $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ soddisfi la disuguaglianza $E^{2}<m^{2}c^{4}$ $E^{2}<m^{2}c^{4}$ $E^{2}<m^{2}c^{4}$ . Per tali soluzioni, la variabile $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ è confinata tra $e_{3}\leq \zeta \leq e_{2}$ $e_{3}\leq \zeta \leq e_{2}$ $e_{3}\leq \zeta \leq e_{2}$ . Se entrambe le radici sono maggiori di $-{\frac {1}{12}}$ $-{\frac {1}{12}}$ $-{\frac {1}{12}}$ , allora $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ non diventerà mai $-{\frac {1}{12}}$ $-{\frac {1}{12}}$ $-{\frac {1}{12}}$ , il punto in cui il raggio $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ va all'infinito. Perciò, tali soluzioni corrispondono a un'orbita ellittica in graduale precessione. Dato che la particella (o pianeta) ruota intorno alla origine, il suo raggio oscilla tra un raggio minimo

r_{min}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{2}}}

r_{min}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{2}}}

r_{min}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{2}}}

e un raggio massimo

r_{max}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{1}}}

r_{max}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{1}}}

r_{max}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{1}}}

.

che corrisponde al valore di $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ ai due estremi ( extrema ) del raggio. La periodicità reale della funzione ellittica di Weierstrass è $2\omega _{1}$ $2\omega _{1}$ $2\omega _{1}$ ; così la particella ritorna allo stesso raggio dopo aver girato con un angolo di $2\omega _{1}$ $2\omega _{1}$ $2\omega _{1}$ , che può non essere uguale a $2\pi$ $2\pi$ $2\pi$ . Perciò, l'orbita è in precessione. In generale, la quantità di precessione per orbita ( $2\omega _{1}-2\pi$ $2\omega _{1}-2\pi$ $2\omega _{1}-2\pi$ ) è abbastanza piccola.

Orbite circolari stabili

Un caso speciale si verifica quando $2e_{2}=2e_{3}=-e_{3}$ $2e_{2}=2e_{3}=-e_{3}$ $2e_{2}=2e_{3}=-e_{3}$ , ie, due delle radici di $G(\zeta )$ $G(\zeta )$ $G(\zeta )$ sono uguali e negative, mentre la terza è positiva. In questo caso c'è una soluzione con la costante $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ , pari alla radice ripetuta, $e=e_{2}=e_{3}$ $e=e_{2}=e_{3}$ $e=e_{2}=e_{3}$ . Ciò corrisponde a orbite circolari, in particolare, alla soluzione classica $r_{outer}$ $r_{outer}$ $r_{outer}$ derivata sopra; come qui dimostrato, i raggi di queste orbite devono essere maggiori di $3r_{s}$ $3r_{s}$ $3r_{s}$ . Tali orbite circolari sono stabili, perché una piccola perturbazione dei parametri separerebbe le radici ripetute, risultanti in un'orbita quasi-ellittica. Ad esempio, dando un piccolo "colpetto" radiale a una particella in una classica orbita circolare la si spinge in un'orbita ellittica che gradualmente va in precessione.

Orbite illimitate

Un'orbita illimitata si verifica quando va all'infinito, corrispondente a $\zeta =-{\frac {1}{12}}$ $\zeta =-{\frac {1}{12}}$ $\zeta =-{\frac {1}{12}}$ . Le orbite illimitate corrispondono a un'orbita oscillatoria in cui $-{\frac {1}{12}}$ $-{\frac {1}{12}}$ $-{\frac {1}{12}}$ cade tra le due radici limitanti, ie, quando $e_{3}\leq -{\frac {1}{12}}\leq \zeta \leq e_{2}$ $e_{3}\leq -{\frac {1}{12}}\leq \zeta \leq e_{2}$ $e_{3}\leq -{\frac {1}{12}}\leq \zeta \leq e_{2}$ .

Orbite circolari asintotiche

Un altro caso particolare succede quando $-e_{3}=2e_{2}=2e_{1}$ $-e_{3}=2e_{2}=2e_{1}$ $-e_{3}=2e_{2}=2e_{1}$ , ie, due delle radici di $G(\zeta )$ $G(\zeta )$ $G(\zeta )$ sono uguali e positive, mentre la terza radice $e_{3}$ $e_{3}$ $e_{3}$ è negativa. Indicando la radice ripetuta con $e={\frac {n^{2}}{3}}$ $e={\frac {n^{2}}{3}}$ $e={\frac {n^{2}}{3}}$ , le orbite sono asintoticamente circolari all'infinito $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ positivo e negativo:

\zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{2}}{\cosh ^{2}n\varphi }}.

\zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{2}}{\cosh ^{2}n\varphi }}.

\zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{2}}{\cosh ^{2}n\varphi }}.

come può essere verificato per mezzo della sostituzione. Come $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ va all'infinito positivo o negativo, l'orbita si avvicina asintoticamente al cerchio:

{\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.

{\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.

{\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.

In tali casi, il raggio dell'orbita deve rimanere tra $2r_{s}$ $2r_{s}$ $2r_{s}$ e $3r_{s}$ $3r_{s}$ $3r_{s}$ .

La formula asintotica può anche essere derivata dall'espressione per la funzione ellittica di Weierstrass in termini di funzioni ellittiche di Jacobi

\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}

\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}

\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}

dove $w=(\phi -\phi _{0}){\sqrt {e_{1}-e_{3}}}$ $w=(\phi -\phi _{0}){\sqrt {e_{1}-e_{3}}}$ $w=(\phi -\phi _{0}){\sqrt {e_{1}-e_{3}}}$ e il modulo pari a:

k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}

k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}

k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}

Nel limite, come $e_{2}$ $e_{2}$ $e_{2}$ si avvicina a $e_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ , il modulo tende a $1$ ${\displaystyle 1}$ $1$ e $w$ ${\displaystyle w}$ $w$ va a $n(\varphi -\varphi _{0})$ $n(\varphi -\varphi _{0})$ $n(\varphi -\varphi _{0})$ . Infine scegliendo $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ come numero immaginario $iK^{\prime }$ $iK^{\prime }$ $iK^{\prime }$ (un quarto periodo) dà la formula asintotica sopra.

Orbite decadenti

Le soluzioni reali per $\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})$ $\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})$ $\zeta =\wp (\phi -\phi _{0})$ in cui $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ $\varphi _{0}$ è pari a $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ (oa qualche altro numero reale ) hanno la proprietà per cui $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ non è mai minore di $e_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ . Dato che l'equazione di moto

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)

è positiva per tutti i valori di $\zeta >e_{1}$ $\zeta >e_{1}$ $\zeta >e_{1}$ , $\zeta$ $\zeta$ $\zeta$ aumenta illimitatamente, corrispondente alla particella che cade inesorabilmente per l'origine $r=0$ ${\displaystyle r=0}$ $r=0$ .

Le diminuzioni sperimentalmente osservate del periodo orbitale della pulsar binaria PSR B1913+16 (puntini blu) trova quasi esattamente riscontro nelle previsioni della relatività generale (curva nera).

Correzioni alle soluzioni geodetiche

Lo stesso argomento in dettaglio: PSR B1913+16 e Radiazione gravitazionale .

Secondo la relatività generale , due corpi girando uno sull'altro emetteranno radiazione gravitazionale , facendo sì che le orbite siano leggermente diverse rispetto alle geodetiche calcolate sopra. Questo è stato osservato indirettamente in un sistema di stella binaria conosciuto come PSR B1913+16 , per cui Russell Alan Hulse e Joseph Hooton Taylor Jr. vennero insigniti nel 1993 del Premio Nobel per la fisica . Le due stelle di neutroni di questo sistema sono estremamente vicine e ruotano quasi l'un l'altra molto velocemente, completando una rivoluzione in più o meno 465 minuti. La loro orbita è fortemente ellittica, con un' eccentricità di 0,62 (62%). Secondo la relatività generale, il breve periodo orbitale e l'alta eccentricità farebbero del sistema un eccellente emettitore di radiazione gravitazionale, perdendo così energia e riducendo ulteriormente il periodo orbitale. La diminuzione osservata nel periodo orbitale per più di trent'anni combacia con le previsioni della relatività generale anche nell'ambito delle più precise misurazioni. La relatività generale prevede che, nel giro di altri 300 milioni di anni, questi due astri si metteranno a spirale l'uno nell'altro.

Due stelle di neutroni rotanti rapidamente l'una intorno all'altra gradualmente perdono energia emettendo radiazione gravitazionale. Mentre esse perdono energia, girano intorno l'una verso l'altra più rapidamente e sempre più vicine.

Sono state calcolate le formule che definiscono la perdita di energia e il momento angolare dovuto alla radiazione gravitazionale dei due corpi del problema di Kepler. ^[10] Il tasso di energia persa (in media su un'orbita completa) è dato da ^[11]

-\langle {\frac {dE}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)

-\langle {\frac {dE}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)

-\langle {\frac {dE}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)

dove $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ è l' eccentricità orbitale e $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ è il semiasse maggiore dell'orbita ellittica . Le parentesi angolari sul lato sinistro dell'equazione rappresentano la media su una singola orbita. Allo stesso modo, il tasso medio di perdita del momento angolare è uguale a:

-\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)

-\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)

-\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)

Le perdite in energia e momento angolare aumentano significativamente come l'eccentricità si avvicina a $1$ ${\displaystyle 1}$ $1$ , ie, come l'ellisse dell'orbita diventa sempre più allungata. Anche le perdite di radiazione aumentano significativamente con il diminuire della dimensione $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ dell'orbita.

Derivazioni matematiche dell'equazione orbitale

Approccio di Hamilton–Jacobi

L'equazione orbitale può essere derivata dall' equazione di Hamilton-Jacobi . Il vantaggio di questo approccio è che si mette sullo stesso piano il moto della particella con la propagazione di un'onda, e porta ordinatamente dentro la derivazione della deflessione della luce per mezzo della gravità nella relatività generale , attraverso il principio di Fermat . L'idea di base è che, a causa del rallentamento gravitazionale del tempo, le parti di un fronte d'onda più vicino a una massa gravitante si muovono più lentamente rispetto a quelle più lontane, curvando così la direzione di propagazione del fronte dell'onda (aggiungi figura).

Usando la covarianza generica, l' equazione di Hamilton-Jacobi per una singola particella di coordinate arbitrarie può essere espressa come:

g^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial x^{\nu }}}=m^{2}c^{2}.

g^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial x^{\nu }}}=m^{2}c^{2}.

g^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial x^{\nu }}}=m^{2}c^{2}.

Usando la metrica di Schwarzschild $g^{\mu \nu }$ $g^{\mu \nu }$ $g^{\mu \nu}$ , questa equazione diventa:

{\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \varphi }}\right)^{2}=m^{2}c^{2}

{\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \varphi }}\right)^{2}=m^{2}c^{2}

{\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \varphi }}\right)^{2}=m^{2}c^{2}

dove abbiamo di nuovo orientato il sistema di coordinate sferiche con il piano dell'orbita. Il tempo $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ e la longitudine $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ sono coordinate cicliche, in modo che la soluzione per l'azione possa essere scritta come:

{\mathcal {S}}=-Et+L\varphi +{\mathcal {S}}_{r}(r)\,

{\mathcal {S}}=-Et+L\varphi +{\mathcal {S}}_{r}(r)\,

{\mathcal {S}}=-Et+L\varphi +{\mathcal {S}}_{r}(r)\,

dove $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ e $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ rappresentano di nuovo rispettivamente l' energia della particella e il momento angolare . L' equazione di Hamilton-Jacobi fornisce una soluzione integrale per la parte radiale dell'azione:

{\mathcal {\mathcal {S}}}_{r}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}.

{\mathcal {\mathcal {S}}}_{r}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}.

{\mathcal {\mathcal {S}}}_{r}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}.

Prendendo la derivata dell'azione nel solito modo

{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial L}}=\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {S}}_{r}}{\partial L}}=\mathrm {costante}

{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial L}}=\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {S}}_{r}}{\partial L}}=\mathrm {costante}

{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial L}}=\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {S}}_{r}}{\partial L}}=\mathrm {costante}

si ottiene l'equazione orbitale derivata precedentemente:

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).

Questo approccio può essere anche utilizzato per derivare la velocità ( rate ) di precessione orbitale in modo elegante. ^[12]

Nel limite di massa zero $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ (o, in modo equivalente, $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ infinito), la parte radiale della funzione principale di Hamilton $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ diventa:

S_{r}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\left(r-r_{s}\right)^{2}}}-{\frac {b^{2}}{r\left(r-r_{s}\right)}}}}

S_{r}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\left(r-r_{s}\right)^{2}}}-{\frac {b^{2}}{r\left(r-r_{s}\right)}}}}

S_{r}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\left(r-r_{s}\right)^{2}}}-{\frac {b^{2}}{r\left(r-r_{s}\right)}}}}

da cui può essere derivata l'equazione per la deflessione della luce.

Approccio lagrangiano

Nella relatività generale , le particelle libere di massa trascurabile $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ seguono le geodetiche nello spazio-tempo , a causa del principio di equivalenza . Le geodetiche nello spazio-tempo sono definite come curve per cui le piccole variazioni locali nella loro coordinate (tenendo i loro eventi estremi fissi) non apportano modifiche significative nella loro lunghezza complessiva $s$ ${\displaystyle s}$ $s$ . Ciò può essere espresso matematicamente usando il calcolo delle variazioni :

0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau

0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau

0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau

dove $\tau$ $\tau$ $\tau$ è il tempo proprio , $s=c\tau$ $s=c\tau$ $s=c\tau$ è la lunghezza dell'arco nello spazio-tempo e $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ viene definito come:

2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}

2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}

2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2}

in analogia con l' energia cinetica . Se la derivata rispetto al tempo proprio è rappresentata per brevità da un punto

{\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}

{\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}

{\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}

$T$ ${\displaystyle T}$ $T$ può essere scritta come:

2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}

2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}

2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}

I fattori della costante (come $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ o la radice quadrata di $2$ ${\displaystyle 2}$ $2$ ) non incidono sulla risposta al problema variazionale, quindi, tenendo la variazione all'interno dell'integrale si ottiene il principio di Hamilton :

0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .

0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .

0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .

La soluzione del problema variazionale è data dalle equazioni di Lagranges :

{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.

{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.

{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.

Quando applicate a $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ e $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ , queste equazioni rivelano due costanti di moto

{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,

le quali possomo essere scritte come le equazioni per $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ e $E$ ${\displaystyle E}$ $E$

r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.

\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.

\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.

Come mostrato sopra , con la sostituzione di queste equazioni dentro la definizione della metrica di Schwarzschild si ottiene l'equazione per l'orbita.

Principio di Hamilton

L'integrale dell' azione per una particella influenzata soltanto dalla gravità è:

S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq}

S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq}

S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq}

dove $\tau$ $\tau$ $\tau$ è il tempo proprio e $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ è ogni parametrizzazione regolare della linea di universo della particella. Se a questa si applica il calcolo delle variazioni , si ottengono di nuovo le equazioni per una geodetica. I calcoli sono semplificati, se prima prendiamo la variazione del quadrato dell'integrando. Per la metrica e le coordinate di questo caso, quella quadrata è:

\left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}

\left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}

\left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}

Prendendo la variazioni di questa, otteniamo:

\delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]

\delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]

\delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right]

Se variamo soltanto rispetto alla longitudine $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ , otteniamo:

2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}

2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}

2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}

dividiamo per $2c{\frac {d\tau }{dq}}$ $2c{\frac {d\tau }{dq}}$ $2c{\frac {d\tau }{dq}}$ per ottenere la variazione dell'integrando stesso

c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}

c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}

c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}

Perciò abbiamo:

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq}

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq}

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq}

L'integrazione delle parti dà

0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}

0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}

0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}

La variazione della longitudine è assunta uguale a zero nei punti finali, così il primo termine scompare. L'integrale può essere fatto diverso da zero tramite una scelta ostinata ( perverse ) di $\delta \varphi$ $\delta \varphi$ $\delta \varphi$ salvo che l'altro fattore interno sia ovunque zero. Così otteniamo l'equazione di moto:

{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0

{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0

{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0

Se variamo soltanto rispetto al tempo $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ , otteniamo:

2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}}

2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}}

2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}}

dividiamo per $2c{\frac {d\tau }{dq}}$ $2c{\frac {d\tau }{dq}}$ $2c{\frac {d\tau }{dq}}$ per ottenere la variazione dell'integrando stesso

c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}

c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}

c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}

Così abbiamo:

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}

L'integrazione delle parti dà

0=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}

0=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}

0=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq}

,

fornendo l'equazione di moto:

{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0

{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0

{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0

Se integriamo queste equazioni di moto e determiniamo le costanti di integrazione, otteniamo di nuovo le equazioni

r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.

\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.

\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.

Queste due equazioni per le costanti di moto $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ ed $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ possono essere combinate per formare un'equazione che è valida anche per i fotoni e altre particelle senza massa per cui il tempo proprio lungo una geodetica è zero.

{\frac {r^{2}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{s}}{r}}

{\frac {r^{2}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{s}}{r}}

{\frac {r^{2}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{s}}{r}}

Note

^ ( EN ) UJJ Le Verrier , Titolo sconosciuto , in Comptes Revues d'Academie de la Science de Paris , vol. 49, 1859, pp. 379–?.
^ ^a ^b ^c Pais 1982
^ Le conferenze di Feynman sulla Fisica, vol. II, offrono una trattazione accurata del problema analogo nell'elettromagnetismo. Feynman dimostra che, per una carica in moto, il campo non radiativo è un'attrazione/repulsione, non verso la posizione apparente delle particelle, ma verso la posizione estrapolata nell'ipotesi che la particella prosegua in linea retta ea velocità costante. Questa è una proprietà notevole dei potenziali di Liénard-Wiechert . Presumibilmente lo stesso vale per la gravità linearizzata.
^ Roseveare 1982
^ Walter 2007
^ Landau 1975.
^ Weinberg 1972.
^ Whittaker 1937.
^ Landau e Lifshitz (1975), pp. 306–309.
^ ( EN ) Peters PC, Mathews J., Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit , in Physical Review , vol. 131, 1963, pp. 435–?, DOI : 10.1103/PhysRev.131.435 .
^ Landau e Lifshitz, p. 356–357.
^ Landau e Lifshitz (1975), pp. 307–308.

Bibliografia

( EN ) R Adler, Bazin M.; Schiffer M.,Introduction to General Relativity , New York, McGraw-Hill Book Company, 1965, pp. 177 –193, ISBN 978-0-07-000420-7 .
( EN ) A. Einstein , The Meaning of Relativity , 5ª ed., Princeton, NJ, Princeton University Press, 1956, pp. 92–97, ISBN 978-0-691-02352-6 .
( EN ) Y Hagihara , Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild , in Japanese Journal of Astronomy and Geophysics , vol. 8, 1931, pp. 67–176, ISSN 0368-346X ( WC · ACNP ) .
( EN ) C. Lanczos , The Variational Principles of Mechanics , 4ª ed., New York, Dover Publications, 1986, pp. 330–338, ISBN 978-0-486-65067-8 .
( EN ) LD Landau e EM Lifshitz , The Classical Theory of Fields , Course of Theoretical Physics , vol. 2, 4ª inglese rivisitata, New York, Pergamon Press, 1975, pp. 299–309, ISBN 978-0-08-018176-9 .
( EN ) CW Misner , Thorne, K e Wheeler, JA , Gravitation , San Francisco, WH Freeman, 1973, capitolo 25 (pp. 636–687), §33.5 (pp. 897–901), and §40.5 (pp. 1110–1116), ISBN 978-0-7167-0344-0 . (vedi Gravitazione (libro) .)
( EN ) A. Pais , Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein , Oxford University Press, 1982, pp. 253–256, ISBN 0-19-520438-7 .
( EN ) W. Pauli , Theory of Relativity , Tradotto da G. Field, New York, Dover Publications, 1958, pp. 40–41, 166–169, ISBN 978-0-486-64152-2 .
( EN ) W. Rindler , Essential Relativity: Special, General, and Cosmological , 2ª rivisitata, New York, Springer Verlag, 1977, pp. 143–149, ISBN 978-0-387-10090-6 .
( EN ) Roseveare, NT,Mercury's perihelion, from Leverrier to Einstein , Oxford, University Press, 1982, ISBN 0-19-858174-2 .
( EN ) JL Synge , Relativity: The General Theory , Amsterdam, North-Holland Publishing, 1960, pp. 289–298, ISBN 978-0-7204-0066-3 .
( EN ) RM Wald , General Relativity , Chicago, The University of Chicago Press, 1984, pp. 136–146, ISBN 978-0-226-87032-8 .
( EN ) Walter, S., Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910 , in Renn, J. (a cura di), The Genesis of General Relativity , vol. 3, Berlino, Springer, 2007, pp. 193–252.
( EN ) S. Weinberg , Gravitation and Cosmology , New York, John Wiley and Sons, 1972, pp. 185–201, ISBN 978-0-471-92567-5 .
( EN ) ET Whittaker , A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies , 4ª ed., New York, Dover Publications, 1937, pp. 389–393, ISBN 978-1-114-28944-4 .

Voci correlate

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Fisica

[1] ( EN ) UJJ Le Verrier , Titolo sconosciuto , in Comptes Revues d'Academie de la Science de Paris , vol. 49, 1859, pp. 379–?.

[pais_1982-2] Pais 1982

[3] Le conferenze di Feynman sulla Fisica, vol. II, offrono una trattazione accurata del problema analogo nell'elettromagnetismo. Feynman dimostra che, per una carica in moto, il campo non radiativo è un'attrazione/repulsione, non verso la posizione apparente delle particelle, ma verso la posizione estrapolata nell'ipotesi che la particella prosegua in linea retta ea velocità costante. Questa è una proprietà notevole dei potenziali di Liénard-Wiechert . Presumibilmente lo stesso vale per la gravità linearizzata.

[4] Roseveare 1982

[5] Walter 2007

[landau_1975-6] Landau 1975.

[7] Weinberg 1972.

[8] Whittaker 1937.

[ll_1975_HJ-9] Landau e Lifshitz (1975), pp. 306–309.

[10] ( EN ) Peters PC, Mathews J., Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit , in Physical Review , vol. 131, 1963, pp. 435–?, DOI : 10.1103/PhysRev.131.435 .

[11] Landau e Lifshitz, p. 356–357.

[12] Landau e Lifshitz (1975), pp. 307–308.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

V · D · M Relatività generale
Equazioni di campo di Einstein · Formulazione matematica · Risorse		$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}$
Concetti fondamentali	Relatività speciale · Principio di equivalenza · Linea di universo · Geometria di Riemann
Fenomeni	Problema di Keplero · Lenti · Onde · Frame-dragging · Effetto geodetico · Orizzonte degli eventi · Singolarità · Buco nero
Equazioni	Gravità linearizzata · Formalismo post-newtoniano · Equazioni di campo di Einstein · Equazioni di Friedmann · Formalismo ADM · Formalismo BSSN
Teorie avanzate	Kaluza–Klein · Gravità quantistica
Soluzioni	Schwarzschild · Reissner-Nordström · Gödel · Kerr · Kerr-Newman · Kasner · Taub-NUT · Milne · Robertson-Walker · Onde pp
Scienziati	Einstein · Minkowski · Eddington · Lemaître · Schwarzschild · Robertson · Kerr · Friedman · Chandrasekhar · Hawking