Probleme Hilbert
Problemele lui Hilbert constituie o listă cu 23 de probleme matematice întocmite de David Hilbert și prezentate la 8 august 1900 la conferința sa la Congresul internațional al matematicienilor desfășurat la Paris .
Toate problemele prezentate atunci erau încă nerezolvate și multe dintre ele au avut un impact major asupra matematicii secolului XX . De fapt, la această conferință, Hilbert a prezentat 10 dintre problemele din lista finală (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 și 22), în timp ce lista completă a fost publicată ulterior [1] .
Inspirată de inițiativa lui Hilbert este propunerea de la sfârșitul secolului al XX-lea de către Clay Mathematical Institute a unei liste cu așa-numitele 7 probleme ale mileniului . Ipoteza Riemann este singura problemă prezentă în ambele liste.
Descriere
În formularea clasică a problemelor dată de David Hilbert , problemele 3, 7, 10, 11, 14, 17, 18, 19 și 20 au o dovadă acceptată cu consens universal.
Problemele 1, 2, 5, 9, 13, 15, 21, 22, au o soluție neacceptată de toți matematicienii sau au o soluție care nu toată lumea crede că rezolvă problema (de exemplu problema 1).
Problemele 8 ( ipoteza Riemann ) și 12 sunt nerezolvate.
Problemele 4, 6, 16, 23 sunt prea vagi pentru a avea o soluție. „A douăzeci și patra problemă”, care atunci nu era prezentată de Hilbert, ar intra și ea în această din urmă categorie.
Lista a 23 de probleme
Cele 23 de probleme ale lui Hilbert sunt:
| Problemă | Scurta descriere | Starea actuală a problemei |
| Problema 1 | Ipoteza continuumului , adică determinarea dacă există mulțimi a căror cardinalitate este inclusă între cea a numerelor întregi și cea a numerelor reale . | Rezoluție parțial acceptată |
| Problema 2 | Se poate dovedi că ansamblul axiomelor aritmeticii este consistent? | Rezoluție parțial acceptată |
| Problema 3 | Având în vedere două poliedre de același volum, este posibil să le tăiați pe amândouă în același set de poliedre mai mici? | S-a rezolvat |
| Problema 4 | Construiți toate valorile în care liniile sunt geodezice . | Prea vag |
| Problema 5 | Toate grupurile vor continua automat grupurile diferențiale ? | Rezoluție parțial acceptată |
| Problema 6 | Axiomatizează toată fizica . | Prea vag |
| Problema 7 | Dat fiind un ge 0,1 algebric și b irațional , este numărul a b întotdeauna transcendent ? | Parțial rezolvat |
| Problema 8 | Dovediți ipoteza Riemann . | Deschis |
| Problema 9 | Generalizați legea reciprocității în orice câmp numeric algebric. | Rezoluție parțial acceptată |
| Problema 10 | Găsiți un algoritm care determină dacă o ecuație diofantină dată cu n necunoscute are o soluție. | S-a dovedit irezolubil |
| Problema 11 | Clasifice forme pătratice în cazul coeficienților într - un algebrică număr de câmp. | S-a rezolvat |
| Problema 12 | Extindeți teorema Kronecker-Weber asupra extensiilor abeliene ale numerelor raționale la extensiile abeliene ale câmpurilor numerice arbitrare. | Deschis |
| Problema 13 | Rezolvați ecuația generală a gradului al șaptelea folosind funcții cu doar două argumente. | Parțial fix |
| Problema 14 | Determinați dacă inelul invarianților unui grup algebric care acționează asupra unui inel de polinoame este întotdeauna generat finit . | S-a rezolvat |
| Problema 15 | Fundament riguros al calculului enumerativ al lui Schubert. | Rezoluție parțial acceptată |
| Problema 16 | Topologia curbelor și suprafețelor algebrice. | Prea vag |
| Problema 17 | Determinați dacă funcțiile raționale non-negative pot fi exprimate ca niște coeficienți ai sumelor de pătrate. | S-a rezolvat |
| Problema 18 | Există o teselare a spațiului anisoedric? Care este cel mai dens ambalaj de sfere ? | S-a rezolvat |
| Problema 19 | Soluțiile problemelor variaționale regulate sunt întotdeauna analitice ? | S-a rezolvat |
| Problema 20 | Toate problemele variaționale cu anumite condiții limită au o soluție? | S-a rezolvat |
| Problema 21 | Dovada existenței ecuațiilor diferențiale liniare cu un grup de monodromie prescris. | Rezoluție parțial acceptată |
| Problema 22 | Uniformizarea relațiilor analitice prin intermediul funcțiilor automorfe . | Rezoluție parțial acceptată |
| Problema 23 | Dezvoltați în continuare calculul variațiilor . | Prea vag |
Problema 1
Ipoteza continuum afirmă că nu există o mulțime infinită a cărei cardinalitate este strict inclusă între cea a mulțimii întregi și cea a mulțimii numerelor reale. Kurt Gödel și Paul Cohen au demonstrat că ipoteza nu poate fi nici dovedită, nici infirmată de axiomele ZFC . Nu există un consens în rândul matematicienilor cu privire la rezolvarea sau nu a problemei.
Multimea numerelor reale poate fi dotata cu structura unui set bine ordonat ? Această întrebare este parțial nerezolvată, deoarece este legată de axioma de alegere Zermelo-Fraenkel (sau de lema Zorn echivalentă); în 1963 s- a arătat că axioma alegerii este independentă de toate celelalte axiome din teoria mulțimilor, astfel încât nu este posibil să ne bazăm pe aceasta din urmă pentru a rezolva problema bunei ordonări a mulțimii numerelor reale.
Problema 2
Răspunsul la problema 2 este nu și nu doar pentru aritmetică. De fapt, teorema incompletitudinii lui Gödel stabilește că coerența unui sistem formal suficient de puternic pentru a genera aritmetică nu poate fi dovedită în cadrul sistemului însuși.
Problema 3
Având în vedere două poliedre de același volum, este posibil să le tăiați pe amândouă în același set de poliedre mai mici? Max Dehn a demonstrat în 1902 , prin dezvoltarea teoriei invarianților a lui Dehn , că acest lucru nu este posibil în general; un rezultat similar a fost obținut independent de WFKagon în 1903 .
Problema 4
O formulare echivalentă este următoarea: găsiți toate geometriile (mai precis metricele acestora) în care distanța cea mai mică dintre două puncte este o linie dreaptă. Problema inițială a lui Hilbert este considerată prea vagă pentru a admite un răspuns definitiv. Cu toate acestea, din original este posibil să se deducă formularea următoarei probleme: să găsim toate geometriile astfel încât, în ceea ce privește geometria euclidiană, să mențină axiomele incidenței și ordinii, trebuie să mențină (chiar dacă într-o formă slabă) de congruență și trebuie să omită echivalentul postulatului paralel. Această problemă a fost rezolvată de Georg Hamel .
Problema 5
O formulare echivalentă este: putem evita cerința diferențierii pentru funcțiile care definesc un grup continuu de transformări? Răspunsul pozitiv a fost găsit de John von Neumann în 1930 pentru grupurile bicompacte (cu extindere în 1952 la grupurile compacte local de Andrew M. Gleason); ulterior rezolvat și pentru cei abelieni și cu extensii de către Montgomery, Zipin și Yamabe în 1952 și 1953 . [2]
Problema 6
Având în vedere domeniul său general de aplicare, această problemă a rămas încă nerezolvată. O axiomatizare parțială se referă la postulatele mecanicii cuantice , care ar fi „completate” de o teorie a gravitației cuantice .
Problema 7
Răspunsul este pozitiv în cazul special în care b este algebric, așa cum s-a dovedit în 1934 de Aleksander Gelfond cu Teorema lui Gelfond. Cu toate acestea, în cazul generic, problema rămâne nerezolvată.
Problema 8
Ipoteza Riemann nu a fost până acum nici infirmată, nici dovedită; una dintre cele mai faimoase încercări de demonstrație, care s-a dovedit ulterior nereușită, a fost făcută de Louis de Branges .
Problema 9
Problema a fost rezolvată de Emil Artin în 1927 , cu teorema reciprocității lui Artin .
Problema 10
Răspunsul negativ (adică imposibilitatea de a găsi o soluție generală) se datorează lucrărilor Julia Robinson , Hilary Putnam și Martin Davis și, în cele din urmă , Teorema lui Matiyasevich , 1970 .
Problema 11
Problema 12
Această extensie a fost realizată prin utilizarea funcțiilor holomorfe în mai multe variabile, care au proprietăți similare funcției exponențiale și funcțiilor modulare eliptice.
Problema 13
A treisprezecea problemă a lui Hilbert întreabă dacă ecuațiile de gradul șapte pot fi rezolvate folosind o compoziție de adunare , scădere , multiplicare și divizare , precum și un număr finit de funcții algebrice de cel mult două variabile. Inițial, comunitatea matematică a crezut că problema a fost complet rezolvată de matematicienii ruși Vladimir Igorevich Arnol'd și Andrey Nikolyevich Kolmogorov în 1957. Cu toate acestea, Kolmogorov și Arnold au soluționat o singură variantă a problemei. Soluția lor a implicat ceea ce matematicienii numesc funcții continue , care sunt funcții fără discontinuități bruște sau cuspizi. Acestea includ operații familiare precum sinus , cosinus și funcții exponențiale , precum și funcții mai exotice. Dar cercetătorii nu sunt de acord că Hilbert era interesat de acest tip de abordare. Mulți matematicieni cred că Hilbert a însemnat funcții algebrice , nu funcții continue. Deci problema, până în prezent, este rezolvată doar parțial. [3]
Problema 14
Problema 15
Problema 16
Problema 17
Problema 18
În 1928 Karl Reinhardt a găsit un poliedru anisoedric, care este capabil să teseleze spațiul, dar care nu este regiunea fundamentală a oricărei acțiuni a grupului de simetrii asupra spațiului teselat. Hilbert a formulat întrebarea făcând referire la spațiul euclidian tridimensional, deoarece el credea că probabil nu exista o astfel de teselare pentru avion, în timp ce, de fapt, a fost găsită în 1935 de Heinrich Heesch.
Dovada conjecturii lui Kepler a fost realizată de Thomas Hales în 1998. Deși după prima revizuire dovada a fost considerată „99%” corectă, dovada formală a fost finalizată și verificată abia în 2014.
Problema 19
Rezolvat independent de John Nash și Ennio De Giorgi în 1957 .
Problema 20
Problema 21
Problema 22
Problema 23
Problema 24
În timp ce Hilbert pregătea lista problemelor, el a compilat și un altul care nu a fost inclus, referitor la criterii de simplitate și metodă generală. Descoperirea existenței problemei 24 se datorează lui Rüdiger Thiele .
Notă
- ^ În germană, a apărut în Göttinger Nachrichten , 1900, pp. 253-297 și Archiv der Mathematik und Physik , 3dser., Vol. 1 (1901), pp. 44-63, 213-237. O traducere în limba engleză a fost publicată în 1902 de Mary Frances Winston Newson (în: ( EN ) David Hilbert , Mathematical Problems ( abstract ), în Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 8, nr. 10, 1902, pp. 437 -439 . )
- ^ (EN) Andrew Karam, Algebra minciunii este folosită pentru a ajuta la rezolvarea celei de-a cincea probleme a lui Hilbert, în Știința și vremurile sale: Înțelegerea semnificației sociale a descoperirii științifice, Farmington Hills, Gale Group, 2001, ISBN 978-0-7876-3933-4 .
- ^ https://www.quantamagazine.org/mathematicians-probe-unsolved-hilbert-polynomial-problem-20210114/
Bibliografie
- Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). Provocarea Hilbert . Presa Universitatii Oxford. ISBN 0198506511
- Umberto Bottazzini , Problemele lui Hilbert, un program de cercetare pentru „generațiile viitoare” , Scrisoarea matematică PRISTEM nr.50-51
- ( EN ) David Hilbert , Mathematical Problems ( abstract ), în Buletinul Societății Americane de Matematică , vol. 8, nr. 10, 1902, pp. 437-439.
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre problemele lui Hilbert
linkuri externe
- ( RO ) Lista celor 23 de probleme, cu descrierea celor rezolvate , pe mathacademy.com . Adus la 12 august 2004 (arhivat din original la 7 septembrie 2004) .
- ( EN ) Traducere în engleză a prelegerii lui Hilbert , pe aleph0.clarku.edu .
- ( RO ) Detalii despre soluția problemei 18 , pe math.pitt.edu .
- ( RO ) „Despre a 24-a problemă a lui Hilbert: raport despre o nouă sursă și câteva observații”. ( PDF ), pe ams.org .
- ( EN ) Conferință susținută de Hilbert la Congresul internațional al matematicienilor de la Paris din 1900 ( PDF ), pe mat.uc.pt.
| Controlul autorității | GND (DE) 4159859-3 · BNF (FR) cb123904018 (data) |
|---|
