Probleme nerezolvate în matematică

Istoria matematicii a fost întotdeauna împânzită de problema problemelor nerezolvate , adică acele supoziții și întrebări pentru care nu numai răspunsul nu este cunoscut, dar care par a fi provocări care nu pot fi atacate prin mijloacele de investigare matematică a timpul în care sunt propuse. Soluția lor, care a avut loc uneori secole mai târziu, s-a dovedit adesea capabilă să deschidă noi orizonturi dezvoltării gândirii matematice, necesitând, uneori, încadrarea problemei într-un context matematic diferit de cel al formulării originale.

Istorie

Problemele deschise au avut întotdeauna o mare importanță în matematică, contribuind la marcarea istoriei sale, deoarece întrebările formulate în această categorie de probleme „uneori [...] luminează evoluțiile viitoare ale acestei discipline” ^[1] . Dar eficacitatea acestei precognitii prospective este adesea contrazisă de o observație care provine tocmai din considerații istorice și retrospective: istoria matematicii , de fapt, învață cum rezolvarea problemelor deschise a avut loc foarte des prin abordări și evoluții neașteptate și imprevizibile. timpul formulării lor sau, uneori (ca în cazul ultimei teoreme a lui Fermat , născut într-un context care ar putea fi definit ca aritmetică „ euleriană ”), prin plasarea într-un alt domeniu specializat ^[1] .

Există numeroase exemple ale acestei ineficiențe predictive pe căile viitoare luate de progresele în cunoașterea matematică: printre acestea, există soluția întrebărilor bine-cunoscute privind duplicarea cubului și trisecția unghiului cu rigla și busola , probleme care au persistat de milenii înainte.acela era familiarizat cu tehnici noi și înainte de a identifica contextul matematic potrivit în care urma să fie plasată căutarea soluției lor (rezolvată cu o imposibilitate). Acesta din urmă, de fapt, se dovedește a fi foarte diferit de cel în care a fost localizată inițial problema ^[1] .

Apoi, în unele cazuri, o soluție „negativă” s-a dovedit foarte fructuoasă, demonstrând imposibilitatea rezultatului propus de întrebare. Exemple remarcabile în acest sens sunt cele două mari probleme deschise moștenite din matematica greacă : duplicarea cubului și independența celui de- al cincilea postulat al lui Euclid (așa-numita „axiomă a paralelelor”) în cadrul postulatelor geometrice sistematizate în Elementele al lui Euclid ^[1] . Soluția celor din urmă a necesitat descoperirea că există așa-numitele geometrii neeuclidiene , în care postulatul al cincilea nu este satisfăcut, care au deschis noi căi pentru studiul și înțelegerea matematicii, cu studiul geometriilor în funcție de grupul lor de simetrii ^[1] .

Studiul pătratului cercului, pe de altă parte, a condus la distincția dintre numerele algebrice și numerele transcendente , care implică atât algebra abstractă, cât și analiza matematică , având în vedere că demonstrarea transcendenței pi a cerut instrumente și metode infinitesimale. calcul. ^[1] .

În ciuda profunzimii întrebărilor subiacente și a tehnicilor matematice care permit „tractabilitatea” lor, multe probleme deschise admit o formulare în termeni foarte elementari și extrem de simpli, accesibili chiar și pentru înțelegerea unui profan al subiectului: exemple de aceste formulări elementare sunt problemele de construcție menționate mai sus cu rigla și busola, la care pot fi adăugate altele, cum ar fi conjectura Goldbach , referitoare la formele de regularitate în distribuția numerelor prime sau teorema celor patru culori sau faimoasa teoremă a lui Fermat .

Probleme propuse pentru secolul al XX-lea

Tocmai din cauza efectelor pe care aceste probleme le pot avea asupra dezvoltării viitoare a studiului matematicii, uneori s-a considerat utilă compilarea listelor pentru identificarea problemelor considerate foarte semnificative. Un exemplu celebru este cel al problemelor lui Hilbert , o listă de 23 de întrebări nerezolvate compilate de David Hilbert și propuse, în vara anului 1900 , comunității matematice internaționale care s-a întâlnit la Congresul internațional al matematicienilor de la Paris . Prezența problemelor lui Hilbert a repercutat în istoria matematicii până în secolul XX.

Un alt exemplu din secolul al XX-lea este Problemele Landau propuse în 1912 de Edmund Landau . Sunt renumite și problemele așa-numitei cărți scoțiene , o colecție de întrebări matematice și probleme matematice nerezolvate (în special în domeniul analizei funcționale ) compilate în anii treizeci ai secolului al XX-lea în cadrul întâlnirilor conviviale ale profesorilor și studenților faimosului studiu matematic. școala din Lviv , în Polonia. , un cenaclu cultural care includea figuri ale unor matematicieni eminenți, precum Stefan Banach , Stanisław Ulam , Alfred Tarski , Hugo Steinhaus , Stanisław Mazur , Juliusz Paweł Schauder și mulți alții ^[2] .

secolul 21

Provocarea s-a repetat pe măsură ce se apropia începutul secolului 21 , când, tot pe impulsul Uniunii Matematice Internaționale , prin Vladimir Igorevič Arnol'd , a fost sugerată redactarea listelor similare cu cea a lui Hilbert, prin supunerea atenției Congresul internațional de matematică din anul 2000 , declarat de ONU Anul internațional al matematicii .

Printre listele produse pentru secolul 21 se numără problemele Smale , propuse de Stephen Smale , Fields Medalist și Wolf Prize for Mathematics . Un alt exemplu celebru este lista problemelor pentru mileniu formulată de Clay Mathematical Institute , la soluția fiecăruia dintre care este legat un premiu generos (1 milion de dolari SUA) promis de însăși Fundația Clay ^[1] .

Exemple notabile

Această secțiune conține unele dintre cele mai semnificative probleme care au fost propuse ca o provocare pentru comunitatea matematică și au fost clasificate, pentru o perioadă mai mult sau mai puțin lungă de timp, sau sunt încă, printre întrebările nesoluționate din istoria matematicii .

Probleme Hilbert

Același subiect în detaliu: problemele lui Hilbert .

Problemele lui Hilbert constituie unul dintre cele mai faimoase exemple: este o listă cu 23 de probleme matematice , întocmită de David Hilbert , dintre care zece au fost prezentate la 8 august 1900 în cadrul conferinței pe care a ținut-o la Congresul internațional al matematicienilor desfășurat la Paris .

Unele dintre problemele lui Hilbert au găsit soluții în anii următori, adesea după ce au rezistat mult timp atacurilor matematicienilor: căutarea soluțiilor la aceste probleme a avut un impact major asupra dezvoltării matematicii între secolele XX și XXI.

Problemele școlii de matematică din Liov

Același subiect în detaliu: carte scoțiană .

Pentru Enflo (dreapta) a primit o gâscă vie de la Stanisław Mazur , în 1972 , un premiu promis în anii 1930 pentru soluționarea problemei 153 din Cartea scoțiană .

Problemele așa-numitei cărți scoțiene au apărut în faimoasa școală matematică din Lviv , Polonia , care a fost responsabilă de evoluțiile fundamentale în analiza funcțională prin figuri eminente ale matematicienilor, precum Stefan Banach , Stanisław Ulam , Alfred Tarski , Hugo Steinhaus , Stanisław Mazur , Juliusz Paweł Schauder și mulți alții. Numele colecției derivă din cel al cafelei scoțiene , locul care a fost sediul întâlnirilor informale ale studenților și profesorilor care au animat celebra asociație științifică.

Problemele pentru mileniu

Același subiect în detaliu: Probleme pentru mileniu .

Cele șapte probleme pentru mileniu , indicate în 2000 de Institutul de Matematică Clay , sunt:

P versus NP
Conjectură Hodge
Conjectura Poincaré (rezolvată în anii 1960 pentru dimensiuni mai mari de 4; 1982 pentru cazul cu patru dimensiuni; 2002 pentru cazul cu trei dimensiuni)
Ipoteza Riemann
Teoria Yang-Mills
Ecuațiile Navier-Stokes
Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer

Probleme celebre nerezolvate

Conjectura primelor gemene
Determinarea numărului de pătrate magice de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$
Conjectura lui Gilbreath
Conjectura lui Goldbach
Slabă conjectură Goldbach
Valorile $g(k)$ ${\ displaystyle g (k)}$ $g (k)$ Și $G(k)$ ${\ displaystyle G (k)}$ $G (k)$ în problema Waring
Conjectura lui Erdő asupra progresiilor aritmetice
Conjectura Erdős-Gyárfás
Conjectura Erdős-Straus
Conjectura lui Toeplitz
Cuboid perfect
A șaisprezecea problemă Hilbert
Probleme Landau
Problema Brocard
Problema Galois inversă
Problemă limitată Burnside
Problema canapelei
Conjectura lui Polignac
Problemă generalizată a înălțimii stelelor
Conjectură Collatz
Conjectura lui Schanuel
Conjectură abc
Găsiți o formulă pentru probabilitatea ca două elemente alese aleatoriu să genereze grupul simetric $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$
Dovada infinității primelor Mersenne ( conjectura Lenstra-Pomerance-Wagstaff ) sau, echivalent, dovada infinității numerelor perfecte
Existența infinitelor prime regulate
Numerele prime regulate sunt aprox $e^{-{\frac {1}{2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$ $și ^ {{- {\ frac {1} {2}}}}$ din toate numerele prime (procent de aproximativ 61%)
Existența primelor Cullen
Demonstrarea infinitului primei 10 palindromi de bază
Existența numerelor perfecte impare
Existența unor numere ciudate fatidice
Existența unui număr ușor abundent
Existența infinitelor cvadrupluri ale primilor
Existența unui număr aproape perfect
Existența numerelor prime infinite de Sophie Germain
Existența unui număr Wall-Sun-Sun
Modelarea fuziunilor găurilor negre
Care este cel mai mic număr Riesel ?
Care este cel mai mic număr Sierpiński ?
Fiecare număr Fermat este compus din $n>4$ ${\ displaystyle n> 4}$ $n> 4$ ?
Este Euler-Mascheroni constant irațional ?
Este finalizat fiecare grup twist la sfârșitul prezentării ?

Probleme rezolvate recent

Următoarele sunt exemple de „ probleme deschise ” care au rezistat mult timp căutării soluțiilor, înainte de a fi soluționate începând cu ultimele decenii ale secolului al XX-lea:

Teorema Green-Tao , 2004
Conjectura lui Poincaré (anii 1960 pentru dimensiuni mai mari de 4; 1982 pentru cazul cu patru dimensiuni; 2002 pentru cazul cu trei dimensiuni)
Teorema lui Mihăilescu , 2002
Teorema Taniyama-Shimura , 1999
Conjectura lui Kepler , 1998
Ultima teoremă a lui Fermat , 1994
Teorema lui De Branges , 1984
Teorema celor patru culori , 1977

Notă

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Claudio Procesi , Probleme nerezolvate în matematică , în Enciclopedia științei și tehnologiei , Institutul Enciclopediei Italiene, 2007.
^ Bożena Myciek, Călătoria sentimentală a polonezilor la Leopopli , în MG Bartolini, G. Brogi Bercoff (editat de), Kiev și Lviv. Textul cultural , 2007, p. 113.

Bibliografie

Claudio Procesi , Matematică: probleme deschise , Enciclopedia științei și tehnologiei (2007), Institutul enciclopediei italiene Treccani .
Fan Chung, Ron Graham (1999): Erdos on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems , AK Peters, ISBN 156881111X
Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer, Richard K. Guy (1994): Probleme nerezolvate în geometrie , Springer, ISBN 0387975063
Richard K. Guy (2004): Probleme nerezolvate în teoria numerelor , Springer, ISBN 0387208607
Victor Klee, Stan Wagon (1996): Probleme vechi și noi nerezolvate în geometria plană și teoria numerelor , The Mathematical Association of America, ISBN 0883853159
Florentin Smarandache (2000): Definiții, probleme rezolvate și nerezolvate, conjecturi și teoreme în teoria numerelor și geometrie , Amer Research, ISBN 187958574X
Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava (2018): Ușor, într-adevăr ... foarte greu! , Hoepli - Milano, ISBN 978-88-203-8556-9

Elemente conexe

Citare

Problemele demne de atac își dovedesc valoarea luptând - Piet Hein ( 1905 - 1996 )

Problemele care merită să fie atacate își dovedesc valoarea prin lupta înapoi.

linkuri externe

( EN ) Winkelmann, Jörg, „ Câteva probleme matematice ”. 3 februarie 2004.
( EN ) Lista linkurilor către probleme matematice nerezolvate, premii și studii. , pe geocities.com . Adus la 21 noiembrie 2005 (arhivat din original la 28 aprilie 2001) .

Portalul de matematică

Portal de istorie

[C._Procesi-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Claudio Procesi , Probleme nerezolvate în matematică , în Enciclopedia științei și tehnologiei , Institutul Enciclopediei Italiene, 2007.

[B._Myciek,_113-2] Bożena Myciek, Călătoria sentimentală a polonezilor la Leopopli , în MG Bartolini, G. Brogi Bercoff (editat de), Kiev și Lviv. Textul cultural , 2007, p. 113.

[1]

[2]