produs Kronecker

În matematică , în domeniul algebrei liniare , produsul Kronecker, notat prin $\otimes$ ${\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ , Este o operațiune între două matrici de dimensiuni arbitrare, se aplică întotdeauna, spre deosebire de alte obicei mai mult multiplicarea matricelor .

Definiție

Dacă A este o matrice m × n și B este o matrice p q ×, atunci produsul lor Kronecker $A\otimes B$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ este un punct de topire x nq matrice definită în blocuri după cum urmează:

$\ A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}$ ${\ Displaystyle \ A \ otimes B = {\ begin {bmatrix} a_ {11} B & \ cdots & a_ {1n} B \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} B & \ cdots & a_ {mn} B \ end {bmatrix}}}$ ${\ Displaystyle \ A \ otimes B = {\ begin {bmatrix} a_ {11} B & \ cdots & a_ {1n} B \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} B & \ cdots & a_ {mn} B \ end {bmatrix}}}$

Adică, ceea ce face fiecare termen explicit:

$\ A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$ ${\ Displaystyle \ A \ otimes B = {\ begin {bmatrix} a_ {11} B_ {11} & a_ {11} B_ {12} & \ cdots & a_ {11} B_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} B_ {11} & a_ {1n} B_ {12} & \ cdots & a_ {1n} B_ {1q} \\ a_ {11} B_ {21} & a_ {11} B_ {22} & \ cdots & a_ {11} B_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} B_ {21} & a_ {1n} B_ {22} & \ cdots & a_ {1n} B_ {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {11} B_ {p1} & a_ {11} B_ {p2} & \ cdots & a_ {11} B_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} B_ {p1} & a_ {1n} B_ {p2} & \ cdots & a_ {1n} B_ {pq} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ ddots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a_ {m1} B_ {11} & a_ {m1} {B_ 12} & \ cdots & a_ {m1} B_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} B_ {11} & a_ {mn} B_ {12} & \ cdots & a_ {mn} B_ {1q} \\ a_ {m1} B_ {21} & a_ {m1} B_ {22} & \ cdots & a_ {m1} B_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {} mn B_ {21} & a_ {mn } B_ {22} & \ cdots & a_ {} B_ mn {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} {B_ p1} & a_ {m1} B_ {p2} & \ cdots & a_ {m1} B_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} B_ {p1} & a_ {mn} B_ {p2} & \ cdots & a_ {} B_ mn {pq} \ end {bmatrix}}.}$ ${\ Displaystyle \ A \ otimes B = {\ begin {bmatrix} a_ {11} B_ {11} & a_ {11} B_ {12} & \ cdots & a_ {11} B_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} B_ {11} & a_ {1n} B_ {12} & \ cdots & a_ {1n} B_ {1q} \\ a_ {11} B_ {21} & a_ {11} B_ {22} & \ cdots & a_ {11} B_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} B_ {21} & a_ {1n} B_ {22} & \ cdots & a_ {1n} B_ {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {11} B_ {p1} & a_ {11} B_ {p2} & \ cdots & a_ {11} B_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} B_ {p1} & a_ {1n} B_ {p2} & \ cdots & a_ {1n} B_ {pq} \\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ ddots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a_ {m1} B_ {11} & a_ {m1} {B_ 12} & \ cdots & a_ {m1} B_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} B_ {11} & a_ {mn} B_ {12} & \ cdots & a_ {mn} B_ {1q} \\ a_ {m1} B_ {21} & a_ {m1} B_ {22} & \ cdots & a_ {m1} B_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {} mn B_ {21} & a_ {mn } B_ {22} & \ cdots & a_ {} B_ mn {2q} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots &&& \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} {B_ p1} & a_ {m1} B_ {p2} & \ cdots & a_ {m1} B_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} B_ {p1} & a_ {mn} B_ {p2} & \ cdots & a_ {} B_ mn {pq} \ end {bmatrix}}.}$

Rețineți că acest produs nu este o extensie a menționat mai sus „rând prin coloană“ multiplicare, ca și înmulțirea între 3 x 2 și o matrice de 2 x 3 produce o matrice de 6 x 6, nu un 3 × 3.

Exemplu

${\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3\\2&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 3&2\cdot 0&2\cdot 3\\1\cdot 2&1\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 1\\3\cdot 0&3\cdot 3&1\cdot 0&1\cdot 3\\3\cdot 2&3\cdot 1&1\cdot 2&1\cdot 1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{bmatrix}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ otimes {\ begin {bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 3 & 2 \ cdot 0 & 2 \ cdot 3 \\ 1 \ cdot 2 & 1 \ cdot 1 & 2 \ cdot 2 & 2 \ cdot 1 \\ 3 \ cdot 0 & 3 \ cdot 3 & 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 3 \\ 3 \ cdot 2 & 3 \ cdot 1 & 1 \ cdot 2 & 1 \ cdot 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ otimes {\ begin {bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 3 & 2 \ cdot 0 & 2 \ cdot 3 \\ 1 \ cdot 2 & 1 \ cdot 1 & 2 \ cdot 2 & 2 \ cdot 1 \\ 3 \ cdot 0 & 3 \ cdot 3 & 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 3 \\ 3 \ cdot 2 & 3 \ cdot 1 & 1 \ cdot 2 & 1 \ cdot 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Proprietate

Bilinearity și asociativitatea

Produsul Kronecker este un caz special al unui produs tensor , prin urmare, este biliniară și asociativă :

A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\qquad

{\ Displaystyle A \ otimes (B + C) = A \ otimes B + A \ otimes C \ prototipurilor}

{\ Displaystyle A \ otimes (B + C) = A \ otimes B + A \ otimes C \ prototipurilor}

(În cazul în care B și C sunt de aceeași dimensiune)

(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\qquad

{\ Displaystyle (A + B) \ otimes C = A \ otimes C + B \ otimes C \ prototipurilor}

{\ Displaystyle (A + B) \ otimes C = A \ otimes C + B \ otimes C \ prototipurilor}

(În cazul în care A și B au aceeași dimensiune)

(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),

{\ Displaystyle (kA) \ otimes B = A \ otimes (kB) = k (A \ otimes B)}

{\ Displaystyle (kA) \ otimes B = A \ otimes (kB) = k (A \ otimes B)}

(k scalar )

(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),

{\ Displaystyle (A \ otimes B) \ otimes C = A \ otimes (B \ otimes C),}

{\ Displaystyle (A \ otimes B) \ otimes C = A \ otimes (B \ otimes C),}

Acest produs nu este comutativă, cu toate acestea $A\otimes B$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ Și $B\otimes A$ ${\ B displaystyle \ otimes A}$ ${\ B displaystyle \ otimes A}$ acestea sunt echivalente de permutare, adică, există permutare matrici P și Q astfel încât $A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q$ ${\ Displaystyle A \ otimes B = P \ (B \ otimes A) \, Q}$ ${\ Displaystyle A \ otimes B = P \ (B \ otimes A) \, Q}$ . Dacă A și B sunt pătrate , atunci ele sunt similare cu permutare, adică P = Q ^T

Produs mixt

Dacă A, B, C și D sunt matrice astfel încât există produsul-rând prin coloană între A și C și între B și D, atunci există, de asemenea, există $(A\otimes B)\cdot (C\otimes D)$ ${\ Displaystyle (A \ otimes B) \ cdot (C \ otimes D)}$ ${\ Displaystyle (A \ otimes B) \ cdot (C \ otimes D)}$ și este în valoare de faptul că

(A\otimes B)\cdot (C\otimes D)=(A\cdot C)\otimes (B\cdot D)

{\ Displaystyle (A \ otimes B) \ cdot (C \ otimes D) = (A \ cdot C) \ otimes (B \ cdot D)}

{\ Displaystyle (A \ otimes B) \ cdot (C \ otimes D) = (A \ cdot C) \ otimes (B \ cdot D)}

.

Rezultă că $A\otimes B$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ este inversabilă dacă și numai dacă A și B sunt inversabilă și inversul este dată de $(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.$ ${\ Displaystyle (A \ otimes B) ^ {- 1} = A ^ {- 1} \ otimes B ^ {-. 1}}$ ${\ Displaystyle (A \ otimes B) ^ {- 1} = A ^ {- 1} \ otimes B ^ {-. 1}}$

Spectru

Fie A și B să fie pătrate de ordinul neq respectiv și lăsa λ _1, ..., λ _{n fi} autovalorile lui A, μ _1, ..., _q μ cele ale B. Apoi, autovalorile $A\otimes B$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ Sunt

\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.

{\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ mu _ {j}, \ prototipurilor i = 1, \ ldots, n, \, j = 1, \ ldots, q.}

{\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ mu _ {j}, \ prototipurilor i = 1, \ ldots, n, \, j = 1, \ ldots, q.}

Rezultă că linia este $\operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} A\cdot \operatorname {tr} B$ ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (A \ otimes B) = \ operatorname {tr} A \ cdot \ operatorname {tr} B}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (A \ otimes B) = \ operatorname {tr} A \ cdot \ operatorname {tr} B}$ și că determinant este $\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}\cdot (\det B)^{n}$ ${\ Displaystyle \ det (A \ otimes B) = (\ det A) ^ {q} \ cdot (\ det B) ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ det (A \ otimes B) = (\ det A) ^ {q} \ cdot (\ det B) ^ {n}}$ .

valorile singular

Fie A și B să fie matrici dreptunghiulare cu zero non- valori singulare , respectiv $\sigma _{A,i}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {A, i}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {A, i}}$ , I = 1, .., r _A e $\sigma _{B,j}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {B, j}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {B, j}}$ , J = 1, .., r _B.

Apoi, produsul $A\otimes B$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ are _RaRb valori singulare care sunt exact $\sigma _{A,i}\cdot \sigma _{B,j}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {A, i} \ cdot \ sigma _ {B, j}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {A, i} \ cdot \ sigma _ {B, j}}$ , I = 1, .., r _A, j = 1, .., r _B.

Deoarece rangul unei matrice este egal cu numărul de valori singulare nenule, atunci este $\operatorname {rank} (A\otimes B)=\operatorname {rank} A\cdot \operatorname {rank} B$ ${\ Displaystyle \ operatorname {rank} (A \ otimes B) = \ operatorname {rank} A \ cdot \ operatorname {rank} B}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {rank} (A \ otimes B) = \ operatorname {rank} A \ cdot \ operatorname {rank} B}$ .

Relațiile cu produsul abstract tensorial

Produsul Kronecker între matrice corespunde produsului tensorial abstract hărților liniare. Mai exact, în cazul în care matricele A și B reprezintă transformările liniare V ₁ → W ₁ și V ₂ → W _2, atunci matricea $A\otimes B$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ ${\ Displaystyle A \ otimes B}$ reprezintă produsul tensorial între cele două hărți V ₁ $\otimes$ ${\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ V ₂ → W ₁ $\otimes$ ${\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ W _2.

Aplicații în graficul de potrivire

De sine $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ sunt matricele de adiacenta două grafice neponderați, atunci $A=A_{1}\otimes A_{2}+{\overline {A_{1}}}\otimes {\overline {A_{2}}}$ ${\ Displaystyle A = A_ {1} \ otimes A_ {2} + {\ overline {A_ {1}}} \ otimes {\ overline {A_ {2}}}}$ ${\ Displaystyle A = A_ {1} \ otimes A_ {2} + {\ overline {A_ {1}}} \ otimes {\ overline {A_ {2}}}}$ este matricea de adiacenta a unui grafic, numit asociere, ale cărei noduri corespund sarcinilor între nodurile din cele două grafice originale și al căror maxim / clici maxime corespund / meciuri maxime maxime dintre cele două grafice originale.

ecuații Matrix

Produsul Kronecker poate fi utilizat pentru reprezentarea unor ecuații matrice. De exemplu, să considerăm AXB ecuația = C, unde A, B și C sunt date matrici și X este necunoscută. Putem rescrie această ecuație ca

(B^{\top }\otimes A)\,\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C

{\ Displaystyle (B ^ {\ sus} \ otimes A) \, \ operatorname {vec} X = \ operatorname {vec} C}

{\ Displaystyle (B ^ {\ sus} \ otimes A) \, \ operatorname {vec} X = \ operatorname {vec} C}

unde în cazul în care X este de ordinul m × n, vec (X) reprezintă vectorul de dimensiune m × n format prin intrările X scrise în ordine de coloană, adică

\operatorname {vec} X=[x_{11},x_{21},\ldots ,x_{m1},x_{12},x_{22},\ldots ,x_{m2},\ldots ,x_{1n},x_{2n},\ldots ,x_{mn}]^{\top }.

{\ Displaystyle \ operatorname {vec} X = [X_ {11}, X_ {21}, \ ldots, X_ {m1}, X_ {12}, X_ {22}, \ ldots, X_ {m2}, \ ldots, X_ {1n}, X_ {2n}, \ ldots, X_ {mn}] ^ {\ sus}.}

{\ Displaystyle \ operatorname {vec} X = [X_ {11}, X_ {21}, \ ldots, X_ {m1}, X_ {12}, X_ {22}, \ ldots, X_ {m2}, \ ldots, X_ {1n}, X_ {2n}, \ ldots, X_ {mn}] ^ {\ sus}.}

.

Din proprietățile menționate până acum, rezultă că ecuația AXB = C are o soluție unică dacă și numai dacă A și B sunt non-singular.

Istorie

Produsul Kronecker este numit după Leopold Kronecker , dar există puține dovezi că Kronecker a fost primul care să definească și să o folosească. De fapt, a fost , de asemenea , utilizat în trecut sub numele de matrice Zehfuss, de Johann Georg Zehfuss . ^[1]

Notă

^ Zehfuss Biografie , la mathshistory.st-andrews.ac.uk.

linkuri externe

(RO) Produs de Kronecker , în planetmath .
(RO) Eric W. Weisstein, Kronecker Produs în mathworld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Zehfuss Biografie , la mathshistory.st-andrews.ac.uk.

[1]