Programul Erlangen
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În 1872, Felix Klein a publicat manifestul unui program de cercetare sub numele de Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen . Cu Programul Erlangen ( Programul Erlanger ) (Klein era atunci la Erlangen ) a propus o nouă soluție la problema modului de clasificare și caracterizare a geometriilor bazate pe geometria proiectivă și teoria grupurilor.
Descriere
În acea perioadă a apărut deja o familie de noi geometrii neeuclidiene , fără însă o clarificare adecvată a relațiilor dintre ele. Sugestia lui Klein a fost revoluționară din trei motive:
- geometria proiectivă a fost evidențiată ca context de unire pentru toate celelalte geometrii pe care le-a considerat. În special, geometria euclidiană a fost mai restrictivă decât geometria afină, care la rândul ei a fost mai restrictivă decât geometria proiectivă.
- Klein a sugerat că teoria grupurilor, o ramură a matematicii care folosește metode algebrice pentru a abstractiza conceptul de simetrie , a fost cel mai bun instrument pentru organizarea cunoștințelor geometrice. La acea vreme fusese deja introdus în teoria ecuațiilor sub forma teoriei lui Galois .
- Klein a făcut mai explicită ideea că fiecare limbaj geometric are propriile sale concepte, astfel încât, de exemplu, geometria proiectivă consideră pe bună dreptate secțiunile conice, dar nu cercurile sau unghiurile, deoarece aceste noțiuni nu sunt invariante în ceea ce privește transformările proiective (acest lucru este bine cunoscut în geometria perspectivă ) . Modul în care diferite limbi de geometrie se reunesc poate fi explicat prin modul în care subgrupurile unui grup de simetrie se raportează între ele.
Probleme ale secolului al XIX-lea
Există o singură „geometrie” sau sunt multe? De pe vremea lui Euclid , termenul „geometrie” indică geometria spațiului euclidian în două dimensiuni (geometrie plană) sau în trei dimensiuni ( geometrie solidă ). În prima jumătate a secolului al XIX-lea au existat mai multe evoluții care au complicat situația. Aplicațiile au necesitat studiul geometriei la dimensiuni superioare. Analiza scrupuloasă a fundamentelor geometriei euclidiene tradiționale a relevat independența axiomei paralelelor față de celelalte axiome și acest lucru a decretat nașterea geometriilor neeuclidiene . Klein a propus ideea că toate aceste noi geometrii nu erau decât cazuri speciale de geometrie proiectivă, așa cum fusese dezvoltată de Jean-Victor Poncelet , Ferdinand Möbius , Arthur Cayley și alții. Klein a sugerat, de asemenea, fizicienilor matematici că chiar și o mică dezvoltare a geometriei din punct de vedere proiectiv le-ar putea aduce beneficii substanțiale. [ fără sursă ] .
Fiecare geometrie Klein a asociat un grup de simetrii . Ierarhia geometriei este apoi reprezentată printr-o ierarhie a acestor grupuri și o ierarhie a invarianților acestora. De exemplu: lungimile, unghiurile și zonele sunt păstrate de simetriile geometriei euclidiene, în timp ce doar structura incidenței și raportul transversal sunt păstrate prin transformările proiective mai generale. Conceptul de paralelism , care se păstrează în geometria afină , nu are niciun sens în geometria proiectivă . Apoi, prin extragerea grupului de simetrii care stau la baza unei anumite geometrii, relația dintre diferite geometrii poate fi restabilită la nivel de grup. Deoarece grupul de geometrie afină este un subgrup al grupului de geometrie proiectivă, orice noțiune care este invariantă în geometria proiectivă este neapărat invariantă și în geometria afină, dar nu și invers. Când adăugați simetrii noi, veți obține o teorie mai puternică, dar cu mai puține concepte și teoreme (care vor fi mai profunde și mai generale).
Spații omogene
Cu alte cuvinte, „spațiile tradiționale” sunt spații omogene, dar nu cu un singur grup fix. Dacă schimbați grupul, limbajul geometric se schimbă. În limbajul de astăzi, grupurile luate în considerare în geometria clasică sunt toate cunoscute sub numele de grupuri Lie : sunt grupurile clasice . Relațiile specifice sunt descrise destul de simplu în limbaj tehnic.
Exemple
De exemplu, grupul de geometrie proiectivă în dimensiunile „n” este grupul de simetrii ale spațiului proiectiv „n” -dimensional ( coeficientul grupului liniar de ordine „n” +1, în raport cu subgrupul matricelor scalare ). Grupul afin va fi subgrupul care menține (prin cartografierea lui în sine, nu punctual) „ hiperplanul la infinit ” care a fost ales. Acest subgrup are o structură cunoscută (produsul semi-direct al grupului liniar de grad "n" cu subgrupul de traduceri ). Această descriere ne spune apoi care sunt proprietățile „afine”. În ceea ce privește geometria plană euclidiană , conceptul de " paralelogram " este afin, deoarece transformările afine păstrează această proprietate. Conceptul de „cerc”, pe de altă parte, nu este afin, deoarece o distorsiune afină poate trimite un cerc într-o elipsă.
Pentru a explica cu exactitate care este relația dintre geometria afină și geometria euclidiană, trebuie să identificăm acum grupul de geometrie euclidiană din cadrul grupului afin. Grupul euclidian se dovedește a fi (în descrierea anterioară a grupului afin) produsul semi-direct al grupului ortogonal (rotații și reflexii) cu traducerile.
