Proiecția cilindrică centrografică modificată de Mercator

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Proiecția Mercator a Pământului între 82 ° S și 82 ° N.

Proiecția cilindografică centrografică modificată de Mercator sau mai simplu proiecția Mercator este o proiecție cartografică conformă și cilindrică propusă în 1569 de geograful și cartograful flamand Gerardo Mercatore .

Reprezentarea Mercator este o dezvoltare cilindrică directă modificată printr-un procedeu mixt geometric-analitic care face hărțile izogonice (unghiuri egale în traseu). A devenit cea mai utilizată proiecție cartografică pentru diagrame nautice datorită proprietății sale de a reprezenta linii cu unghi constant de direcție ( linii romb ) cu segmente drepte.

În timp ce scala distanței este constantă în fiecare direcție în jurul fiecărui punct, păstrând astfel unghiurile și formele obiectelor mici (ceea ce face proiecția conformă), proiecția Mercator distorsionează din ce în ce mai mult dimensiunea și formele obiectelor extinse trecând de la ecuator la poli , la care scara hărții crește la valori infinite (conform unei grile de latitudini în creștere).

Descriere

Proiecția Mercator cu indicatorul de deformare Tissot
Harta lui Mercatore Nova și Aucta Orbis Terrae Descriere ad Usum Navigantium Emendata (1569)

De-a lungul secolelor, s-au propus zeci de sisteme de proiecție ale Pământului sau părți ale acestuia, sub formă plană, unde punctele geografice determinate pe aceste hărți nu corespundeau în „conformitate” sau „izogonism” ( greacă dl iso = egal, gonios = unghi) cu aceleași puncte luate pe planetă. Prin izogonism trebuie să înțelegem: latitudinea și longitudinea unui punct generic pe o hartă geografică (exprimate în grade, minute și secunde de arc) trebuie să fie egale sau conforme cu latitudinea și longitudinea (exprimate în grade, minute și secunde de același punct identificat pe Pământ și invers.

În acest sens, a fost interesat geograful, cartograful și matematicianul flamand Gerhard Kremer, cunoscut sub numele de "Mercatore" ( Belgia 1512 - Duisburg 1594). rezolva. Omul de știință, vizionând diferitele proiecții existente, a ales Proiecția Cilindrică Centrală sau Centrografică pentru Dezvoltare ca o „pânză” pentru a fi refăcută, deoarece avea deja avantajul de a avea:

  • paralelismul și echidistanța meridianelor, care nu au variat scara longitudinilor "λ",
  • intersecția ortogonală între meridiane și paralele care a permis corectarea liniilor rombale,
  • izometria de la ecuator (cadrul cilindric care înconjoară Pământul este tangent la ecuator, din care proiecție cilindrică centrală), a făcut orice punct sau mai multe puncte luate pe hartă, la aceeași distanță comparativ cu Pământul sau invers.

Dezavantajele acestei proiecții au fost:

  • limitează reprezentarea pe cilindru a diferitelor regiuni ale teritoriului terestru, până la înălțimea paralelei 80, în timp ce întreaga zonă care înconjoară polii nu putea fi reprezentată. Acest lucru s-a datorat faptului că punctul de vedere poziționat în centrul Pământului, a proiectat imaginile polilor la 90 °, făcându-le paralele cu perimetrul cilindrului în sine, făcându-i să se întâlnească doar la infinit, dar mai presus de toate ...
  • legea distribuției paralelelor, care nu a conformat carta.

Mercator, luând notă de acest lucru, a dezvoltat o formulă matematică constând din: o integrală definită, care înmulțește funcția trigonometrică secantă referită la latitudinea "φ", la diferitele distanțe "d" de ecuator și care este egală cu cea naturală logaritmul tangentei, care se înmulțește cu 45 ° adăugat la latitudinea "φ" a punctului de interes împărțit la 2 (a se vedea formula generică de mai jos). Cu această formulă, el a modificat doar legea distribuției paralelelor proiecției cilindrice, obținând astfel mult căutatul izogonism și dând viață „diagramei analitice a lui Mercator la latitudini în creștere” (φ, c).

Intervenția lui Mercator este de natură să „deformeze”, întinzându-l manual, proiecția centrografică în funcția sa secantă, astfel încât să poată aranja paralelele diferit de modul în care au fost inițial și, în consecință, deformează și latitudinile. De fapt, latitudinea în creștere „φc” ar trebui înțeleasă ca deformarea analitică și progresivă, numai pe harta geografică, a latitudinii unui punct de interes în funcție de distanța sa de ecuator.

Pentru a determina pe hartă distanța sau latitudinea oricărei paralele față de Ecuator, meridianul sferei terestre este împărțit în părți infinitezimale ale paralelei ( ). De exemplu, măsura 0 '- 1' = dφ ∙ secdφ corespunde lungimii 0 - 1 = dφ de pe pământ . Măsura 1 '- 2' = dφ ∙ sec2dφ și așa mai departe corespunde lungimii 1 - 2 = , de unde și formula binecunoscută:

  • Latitudine crescândă:

În navigația pentru distanțe sferice mari> 500 mile (sau navigație oceanică), ofițerii de punte, în plus față de ajutorul hărților nautice ale Mercator (linia romb), utilizează navigația analitică ca contra-verificare, calculând distanța de la portul de plecare până la portul de sosire, utilizând formula matematică adecvată pentru calcularea latitudinii în creștere "φc", conform următoarei formule:

Pentru a evita formula și a accelera calculul, se utilizează tabele nautice speciale, întocmite conform acestei formule.

Proprietate și detalii istorice

În 1569, Mercatore a publicat un planisfer mare de 202x124 cm, tipărit pe optsprezece coli diferite. Ca în orice proiecție cilindrică , paralelele și meridianele sunt reprezentate prin linii drepte perpendiculare una pe cealaltă. Distorsiunea inevitabilă est-vest a hărții, care crește odată cu distanța de la ecuator, este însoțită de o dilatație identică nord-sud, astfel încât, în fiecare punct, scala distanței est-vest este aceeași cu scala nord-sud , realizând proiecția conformă . Prin urmare, o hartă Mercator nu poate acoperi niciodată pe deplin zonele din apropierea polilor, deoarece scala distanței presupune valori infinite în acel punct. Fiind o proiecție conformă, unghiurile sunt păstrate din fiecare poziție, în timp ce scala distanțelor variază de la punct la punct, distorsionând forma obiectelor geografice. În special, zonele apropiate de poli sunt mai afectate, făcând o imagine a planetei cu atât mai distorsionată cu cât te apropii de poli. De fapt, la latitudini mai mari de 70 ° nord sau sud, proiecția Mercator este practic inutilizabilă.

O hartă stelară cu o proiecție cilindrică similară cu proiecția Mercator, din cartea Xin Yi Xiang Fa Yao , publicată în 1092 de omul de știință chinez Su Song . [1] [2]

Toate liniile de direcție constantă ( liniile rotunde - cele care determină un unghi constant cu meridianele) sunt reprezentate pe o hartă Mercator prin segmente drepte. Acestea sunt exact tipul de traseu urmat de obicei de nave pe mare, unde busola este utilizată pentru a indica direcțiile geografice și pentru a orienta navele. Cele două proprietăți, de conformitate și rectiliniu rombice linii, fac proiecția Mercator deosebit de potrivite pentru navigația maritimă: rute și indicare sunt măsurate prin vânt au crescut și echer , iar direcțiile corespunzătoare sunt transferate cu ușurință de la punct la punct pe hartă , cu ajutorul unei paralele rigla sau o pereche de paranteze de navigare.

Numele dat de Mercator hărții sale mondiale ( Nova și Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate : „descriere nouă și sporită a Pământului corectată pentru utilizarea navigației”) arată că aceasta a fost deja concepută pentru navigația marină. Deși metoda de construcție a hărții nu este explicată de autor, Mercator a folosit probabil o metodă grafică, trasând câteva linii romb trase anterior pe o sferă într-o rețea pătrată și ajustând spațiul dintre paralele astfel încât aceste linii să devină drepte, marcând același unghi pe glob cu meridianele.

Dezvoltarea proiecției Mercator reprezintă cel mai semnificativ pas în cartografia nautică din secolul al XVI-lea . Cu toate acestea, a fost cu mult înaintea timpului său, deoarece vechile tehnici de navigație și inspecție nu erau compatibile cu utilizarea sa în navigație. De fapt, două probleme principale și-au limitat aplicarea imediată: imposibilitatea la acel moment de a determina longitudinea pe mare cu o precizie adecvată și faptul că în navigație s-a făcut referire la direcții magnetice, mai degrabă decât geografice . Abia la mijlocul secolului al XVIII-lea , după ce a fost inventat cronometrul nautic și a fost cunoscută distribuția spațială a declinării magnetice , proiecția Mercator a putut fi adoptată pe deplin de către marinari.

Mai mulți alți autori sunt asociați cu dezvoltarea proiecției Mercator:

  • Germanul Erhard Etzlaub (c. 1460-1532), care a tipărit hărți miniaturale de busolă (aprox. 10x8 cm) din Europa și părți din Africa, latitudini 67 ° -0 °, pentru a permite ajustări la cadranul său solar portabil, se credea pentru zeci de ani să fi conceput „o proiecție identică cu cea a lui Mercator”. S-a dovedit recent falsitatea acestei afirmații, care provine din cercetări dubioase care datează din 1917 .
  • Matematicianul și cosmograful portughez Pedro Nunes (1502–1578), care a descris pentru prima dată linia rombului și utilizarea acesteia în navigația maritimă, și a sugerat construirea mai multor diagrame nautice la scară largă diferite într-o proiecție cilindrică echidistantă pentru a reprezenta lumea cu cel mai mic unghi de distorsiune (1537).
  • Matematicianul englez Edward Wright (c. 1558–1615), care a formalizat mai întâi matematica proiecției Mercator (1599) și a publicat tabele exacte pentru construcția sa (1599, 1610).
  • Matematicienii englezi Thomas Harriot (1560–1621) și Henry Bond (c.1600 - 1678) care, independent (c. 1600 și 1645), au asociat proiecția Mercator cu formula sa logaritmică modernă, dedusă ulterior din calcul.

Matematica proiecției

Relația dintre poziția verticală pe harta Mercator (abscisa din grafic) și latitudinea (ordonata din grafic).

Următoarele ecuații determină coordonatele carteziene Și a unui punct de pe harta Mercator începând de la coordonatele de latitudine geografică și longitudine (cu meridianul din centrul hărții este indicat):

Funcțiile inverse determină coordonatele geografice pornind de la coordonatele carteziene raportate în harta Mercator:

Scara hărții Mercator este proporțională cu secanta latitudinii , devenind în mod arbitrar mare lângă poli, unde . Prin urmare, după cum se poate deduce din formule, coordonatele dintre poli sunt .

Derivarea proiecției

Proiecția cilindrică a lui Mercator.

Presupunem Pământul cu o formă sferică (în realitate, este un geoid , dar, pentru simplitate, asumăm forma sferică, deoarece diferența este irelevantă pe hărțile la scară mică).

Ne putem imagina proiecția Mercator imaginându-ne un cilindru înfășurat în jurul sferei pământului și tangent la acesta de-a lungul suprafeței ecuatorului. Axa pământului coincide cu axa cilindrului și planurile care trec prin axa pământului, care „taie” sfera de-a lungul meridianelor, intersectează și suprafața cilindrului de-a lungul generatoarelor sale. Prin urmare, proiectând din centrul Pământului, toate punctele meridianelor de pe suprafața cilindrului, aceste meridiane corespund pe cilindru liniilor generatoare.

Prin tăierea suprafeței cilindrului de-a lungul unuia dintre generatoarele sale și răspândirea acestuia pe un plan (hârtia), meridianele care pe sferă converg în poli, pe hârtie sunt reprezentate prin linii drepte verticale și paralele, care, prin urmare, nu converg niciodată . Pe hartă, ecuatorul și paralelele sunt reprezentate în loc de linii orizontale.

Pe hârtie, datorită paralelismului meridianelor, lungimea întinderilor de paralel între două meridiane este întotdeauna aceeași: este, prin urmare, dilatată, pe măsură ce latitudinea crește, în raport cu situația reală a sferei terestre. Cu alte cuvinte, distanța dintre două meridiane, aparent constantă pe hartă, corespunde unei distanțe reale pe sfera terestră care scade odată cu creșterea latitudinii (nord sau sud). Cele două distanțe, reale și aparente, sunt legate de factor .

Pentru a menține raportul de formă al obiectelor mici neschimbat la orice latitudine, dilatația de pe harta distanței dintre meridiane este, de asemenea, potrivită cu o dilatare egală a distanței dintre paralele. Această cerință de similitudine se impune pe pătratele de latură infinitesimală orientate în funcție de meridian și de liniile paralele

De aici și coordonata este doar o funcție a latitudinii cu din care se obține, funcția căutată se obține prin integrare

Prin plasarea originii coordonatelor astfel încât pentru , valoarea constantei de integrare ( ).

Aplicații

Efectul de distorsiune a zonelor
Proiecția sinusoidală de conservare a zonelor

Ca orice hartă de proiecție care încearcă să reprezinte o suprafață curbată pe o foaie plană, forma hărții este o distorsiune a formei reale a suprafeței pământului. Proiecția Mercator exagerează dimensiunea zonelor departe de ecuator. De exemplu:

  • Groenlanda este reprezentată cu o suprafață echivalentă cu cea a întregului teritoriu al Africii , când, în realitate, aria acestei zone este de aproximativ 14 ori mai mare decât cea a Groenlandei.
  • Alaska este reprezentată cu o zonă similară, dacă nu chiar mai mare decât cea a Braziliei , când zona Braziliei este de fapt de peste 5 ori mai mare decât cea din Alaska.
  • Finlanda este reprezentată cu o extensie nord-sud mai mare decât cea a Indiei , când în realitate este adevărat opusul.

Deși proiecția Mercator este încă în uz comun pentru navigatori, datorită proprietăților sale unice, cartografii sunt de acord că nu este potrivită pentru o reprezentare globală a întregii planete, datorită efectelor sale de distorsionare a zonei. Mercator însuși a folosit o proiecție sinusoidală a ariei egale pentru a reprezenta ariile relative. Ca o consecință a acestor critici, atlasele geografice moderne nu mai folosesc proiecția Mercator pentru hărțile întregii planete și pentru zone îndepărtate de ecuator, preferând alte proiecții cilindrice sau o formă de proiecție sinusoidală (zonă egală). Cu toate acestea, proiecția Mercator este încă utilizată în mod obișnuit pentru zone apropiate de ecuator, unde distorsiunea este minimă.

Web Mercator

Pentru serviciile de cartografiere online, cum ar fi Google Maps , Bing Maps și OpenStreetMap , se utilizează o versiune simplificată a proiecției Mercator, cunoscută sub numele de Web Mercator (denumită și Google Web Mercator , Spherical Mercator , WGS 84 Web Mercator sau WGS 84 / Pseudo- Mercator ).

Deși nu este un sistem de referință geodezic recunoscut, acesta este codificat oficial ca EPSG: 3857. [3]

Problemele se datorează utilizării unui model sferic pentru conversia coordonatelor pe baza unui model elipsoidal; în plus, această proiecție nu este conformă. Din aceste motive, pot exista diferențe de peste 40 de kilometri în ceea ce privește proiecția conformă Mercator. [3] [4]

Folosind proiecția Web Mercator , se ia în considerare o latitudine maximă egală cu ± 85,05113 grade, când coordonata este egal cu . Mai precis:

Notă

  1. ^ Needham, volumul 3, 227
  2. ^ Needham, Volumul 4, Partea 3, 569
  3. ^ a b EPSG: 3857 , pe epsg-registry.org .
  4. ^ Implementare practică Web Mercator Map Projection ( PDF ) [ link rupt ] , pe earth-info.nga.mil .

Bibliografie

  • Needham, Joseph (1986). Știință și civilizație în China: volumul 3-4 . Taipei: Caves Books Ltd.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității LCCN (EN) sh2003001211 · GND (DE) 4380201-1 · BNF (FR) cb14648830n (dată) · BNE (ES) XX4793961 (dată)