Proiecție (geometrie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Proiecția ortogonală a unui cub pe un plan vertical.

În algebra liniară și analiza funcțională , o proiecție este o transformare liniară definit de un spațiu vectorial în sine ( endomorfism ) care este idempotent , adică astfel încât : aplicarea transformării de două ori dă același rezultat ca aplicarea ei o dată (prin urmare imaginea rămâne neschimbată).

Deși definiția este destul de abstractă, este un concept matematic similar cu (și oarecum legat de) proiecția cartografică .

Proiecții ortogonale

Transformarea P este o proiecție ortogonală pe linia m .

În plan cartezian sau în spațiu

Într-un spațiu euclidian , cum ar fi planul cartezian sau spațiul tridimensional, o proiecție ortogonală pe un subspatiu dat (de exemplu, o linie sau un plan ) este o funcție care mută fiecare punct din spațiu la un punct de de-a lungul unei direcții perpendiculare pe .

De exemplu, proiecția planului cartezian pe axa abscisei este funcția:

iar proiecția pe ordonate este funcția

Într-un spațiu vectorial

De sine este un subspatiu vectorial al spatiului euclidian -dimensional , proiecția ortogonală pe este definit prin setarea:

o bază ortonormală pentru spațiul euclidian, ale cărui primii transportatorii reprezintă o bază pentru . Scrierea vectorilor prin vectorii coordonatelor lor față de bază , proiecția pe este funcția:

În mod echivalent, dacă Și sunt vectori ai Și produsul scalar standard se numește proiecție de lung vectorul , unde numărul:

se numește coeficient Fourier . Purtători Și ele sunt apoi perpendiculare. [1]

Operator și matrice de proiecție

Un endomorfism a unui spațiu vectorial este un operator de proiecție dacă este idempotent , adică dacă . Endomorfismele definite mai sus sunt, prin urmare, toate proiecțiile.

În mod similar, o matrice pătrată este o matrice de proiecție dacă (unde se utilizează produsul între matrice ). De exemplu:

este o matrice de proiecție.

Această noțiune este strâns legată de cea a unui operator de proiecție, deoarece fiecare matrice reprezintă un endomorfism al . În special, tocmai descris reprezintă proiecția ortogonală pe plan orizontal :

Următoarele matrice reprezintă proiecții ortogonale ale planului pe o linie dreaptă:

Următoarea matrice reprezintă o proiecție neortogonală pe linia abscisei:

Proprietate

De sine sunt operatori sau matrici de proiecție, au următoarele proprietăți:

  • pentru orice număr natural .
  • Valorile proprii posibile ale sunt +1 și 0.
  • De sine Și „anulați-vă reciproc”, adică , apoi suma lor este încă un operator de proiecție (sau matrice).
  • Nucleul și imaginea unei proiecții sunt în sumă directă.

Notă

  1. ^ S. Lang , pagina 152 .

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 37794
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică