Proiecție (geometrie)
În algebra liniară și analiza funcțională , o proiecție este o transformare liniară definit de un spațiu vectorial în sine ( endomorfism ) care este idempotent , adică astfel încât : aplicarea transformării de două ori dă același rezultat ca aplicarea ei o dată (prin urmare imaginea rămâne neschimbată).
Deși definiția este destul de abstractă, este un concept matematic similar cu (și oarecum legat de) proiecția cartografică .
Proiecții ortogonale
În plan cartezian sau în spațiu
Într-un spațiu euclidian , cum ar fi planul cartezian sau spațiul tridimensional, o proiecție ortogonală pe un subspatiu dat (de exemplu, o linie sau un plan ) este o funcție care mută fiecare punct din spațiu la un punct de de-a lungul unei direcții perpendiculare pe .
De exemplu, proiecția planului cartezian pe axa abscisei este funcția:
iar proiecția pe ordonate este funcția
Într-un spațiu vectorial
De sine este un subspatiu vectorial al spatiului euclidian -dimensional , proiecția ortogonală pe este definit prin setarea:
o bază ortonormală pentru spațiul euclidian, ale cărui primii transportatorii reprezintă o bază pentru . Scrierea vectorilor prin vectorii coordonatelor lor față de bază , proiecția pe este funcția:
În mod echivalent, dacă Și sunt vectori ai Și produsul scalar standard se numește proiecție de lung vectorul , unde numărul:
se numește coeficient Fourier . Purtători Și ele sunt apoi perpendiculare. [1]
Operator și matrice de proiecție
Un endomorfism a unui spațiu vectorial este un operator de proiecție dacă este idempotent , adică dacă . Endomorfismele definite mai sus sunt, prin urmare, toate proiecțiile.
În mod similar, o matrice pătrată este o matrice de proiecție dacă (unde se utilizează produsul între matrice ). De exemplu:
este o matrice de proiecție.
Această noțiune este strâns legată de cea a unui operator de proiecție, deoarece fiecare matrice reprezintă un endomorfism al . În special, tocmai descris reprezintă proiecția ortogonală pe plan orizontal :
Următoarele matrice reprezintă proiecții ortogonale ale planului pe o linie dreaptă:
Următoarea matrice reprezintă o proiecție neortogonală pe linia abscisei:
Proprietate
De sine sunt operatori sau matrici de proiecție, au următoarele proprietăți:
- pentru orice număr natural .
- Valorile proprii posibile ale sunt +1 și 0.
- De sine Și „anulați-vă reciproc”, adică , apoi suma lor este încă un operator de proiecție (sau matrice).
- Nucleul și imaginea unei proiecții sunt în sumă directă.
Notă
Bibliografie
- Serge Lang, Algebra liniară, Torino, Bollati Basic Books, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
- ( EN ) N. Dunford și JT Schwartz, Operatori lineari, Partea I: Teorie generală , Interscience, 1958.
- ( EN ) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000, ISBN 978-0-89871-454-8 .
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în proiecție
linkuri externe
- ( EN ) MI Voitsekhovskii, Proiector , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
- ( EN ) AB Ivanov, Proiecție , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
- ( RO ) Prelegere MIT Linear Algebra despre matrici de proiecție la Google Video, de la MIT OpenCourseWare
- ( EN ) Tutorial pentru proiecții geometrice plane - un tutorial simplu de urmat care explică diferitele tipuri de proiecții geometrice plane.
- (EN) Craig Thomas (1882) A Treatise on Projections from the University of Michigan Historical Math Collection.
Controlul autorității | Tezaur BNCF 37794 |
---|