Proprietăți (matematică)

În matematică , conceptul de proprietate corespunde ideii intuitive a unei caracteristici pe care un obiect o poate avea sau nu.

În mod formal, o proprietate $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este dat de o formulă $\phi _{P}$ ${\ displaystyle \ phi _ {P}}$ $\ phi_P$ cu o singură variabilă gratuită $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Se va spune că $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ verifica proprietatea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ (sau echivalent cu proprietatea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ merită $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ) dacă este valabilă $\phi _{P}(y/x)$ ${\ displaystyle \ phi _ {P} (y / x)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {P} (y / x)}$ (cel mai adesea scris simplu $\phi _{P}(y)$ ${\ displaystyle \ phi _ {P} (y)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {P} (y)}$ ).

Pentru a simplifica notația, proprietatea este de obicei identificată cu formula și apoi va fi scrisă $P(y)$ ${\ displaystyle P (y)}$ $P (y)$ in loc de $\phi _{P}(y/x)$ ${\ displaystyle \ phi _ {P} (y / x)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {P} (y / x)}$ sau $\phi _{P}(y)$ ${\ displaystyle \ phi _ {P} (y)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {P} (y)}$ .

Definiție alternativă

O altă definiție dată adesea este următoarea: o proprietate $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este dat pur și simplu de un set $X_{P}$ ${\ displaystyle X_ {P}}$ ${\ displaystyle X_ {P}}$ ; se va spune că $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ verificați calitatea de proprietar $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ (sau $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ merită $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ) de sine $Y\in X_{P}$ ${\ displaystyle Y \ în X_ {P}}$ ${\ displaystyle Y \ în X_ {P}}$ .

La fel ca în prima definiție, în practică se folosește întotdeauna o notație simplificată în care o proprietate și setul care o definește sunt același obiect $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Prin urmare, se va spune că $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ verifica $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ dacă pur și simplu $y\in P$ ${\ displaystyle y \ în P}$ ${\ displaystyle y \ în P}$ .

Această a doua definiție (care definește în esență o proprietate ca o relație unară ) nu este exact echivalentă cu prima.

Având un set $X_{P}$ ${\ displaystyle X_ {P}}$ ${\ displaystyle X_ {P}}$ este ușor să găsești formula corespunzătoare $\phi _{P}$ ${\ displaystyle \ phi _ {P}}$ $\ phi_P$ : va fi pur și simplu funcția indicator a $X_{P}$ ${\ displaystyle X_ {P}}$ ${\ displaystyle X_ {P}}$ ; de aceea o proprietate definită cu un set poate fi definită și cu o formulă. Cu toate acestea, inversul nu este adevărat: elementele care verifică o formulă $\phi _{P}$ ${\ displaystyle \ phi _ {P}}$ $\ phi_P$ pot constitui o clasă proprie și, în acest caz, setul corespunzător $X_{P}$ ${\ displaystyle X_ {P}}$ ${\ displaystyle X_ {P}}$ nu exista.

De exemplu, în teoria mulțimilor Zermelo - Fraenkel , proprietatea de a fi un ordinal poate fi definită în primul mod, dar nu în al doilea, deoarece clasa $SAU Nu.$ ${\ displaystyle ON}$ ${\ displaystyle ON}$ numerele ordinale sunt adecvate.

Pe de altă parte, în multe situații există mai multe seturi decât formule, deci invers - abstractizând din proprietatea unică , există proprietăți care pot fi formalizate cu a doua definiție, dar nu cu prima.

De exemplu, subseturile de numere naturale au cardinalitatea continuumului , dar formulele exprimabile au cardinalitatea numărabilului ; prin urmare proprietățile conform celei de-a doua definiții sunt mult mai multe decât în conformitate cu prima.

În practică, prima definiție este considerată poate mai greoaie, dar mai generală, deoarece rareori are sens să definim o proprietate ca o funcție a unui set care nu poate fi definit printr-o formulă. Este, de asemenea, cu siguranță mai constructiv.

Exemple

Proprietatea „fi un număr par” este definită de formulă $P(x)=\exists a<x:(x=a+a)$ ${\ displaystyle P (x) = \ există un <x: (x = a + a)}$ ${\ displaystyle P (x) = \ există un <x: (x = a + a)}$ .

Proprietatea „să fie un set complet ordonat” este definită de formulă $O((x,\leq ))=\forall a,b,c\in x(a\leq a\land (a\leq b\land b\leq a\rightarrow a=b)\land (c\leq b\land b\leq a\rightarrow c\leq a)\land (a\leq b\lor b\leq a))$ ${\ displaystyle O ((x, \ leq)) = \ forall a, b, c \ in x (a \ leq a \ land (a \ leq b \ land b \ leq a \ rightarrow a = b) \ land ( c \ leq b \ land b \ leq a \ rightarrow c \ leq a) \ land (a \ leq b \ lor b \ leq a))}$ ${\ displaystyle O ((x, \ leq)) = \ forall a, b, c \ in x (a \ leq a \ land (a \ leq b \ land b \ leq a \ rightarrow a = b) \ land ( c \ leq b \ land b \ leq a \ rightarrow c \ leq a) \ land (a \ leq b \ lor b \ leq a))}$

Proprietatea menționată mai sus „fiind un număr ordinal ” este dată de formulă $ON((x,\in ))=O(x,\in )\land (S\in x\rightarrow S\subset x)$ ${\ displaystyle ON ((x, \ in)) = O (x, \ in) \ land (S \ in x \ rightarrow S \ subset x)}$ ${\ displaystyle ON ((x, \ in)) = O (x, \ in) \ land (S \ in x \ rightarrow S \ subset x)}$ .

Colecția de elemente care verifică această formulă nu este un set.

Elemente conexe

Relație (matematică)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică