Pseudotensor

În fizică și matematică , un pseudotensor este de obicei o mărime care se transformă ca un tensor sub o transformare de coordonate care păstrează orientarea, cum ar fi o rotație, dar în plus schimbă semnul sub o transformare de coordonate care inversează orientarea, de exemplu o rotație necorespunzătoare , adică o transformare exprimată ca o rotație adecvată urmată de o reflecție . Un pseudovector este un pseudotensor de rangul 1.

Există un al doilea sens al pseudotensorului , limitat la relativitatea generală . Tensorii respectă legile stricte de transformare, în timp ce pseudotensorii nu sunt atât de restrânși. În consecință, forma unui pseudotensor se va schimba în general pe măsură ce sistemul de referință se schimbă. O ecuație care conține pseudotensori care se menține într-un sistem nu se va menține neapărat într-un alt sistem. Acest lucru face ca pseudotensorii să aibă o importanță limitată, deoarece ecuațiile în care apar nu sunt invariante în formă.

Definiție

Două obiecte matematice destul de diferite sunt numite pseudotensori în contexte diferite.

Primul context este în esență un tensor înmulțit cu un semn suplimentar, astfel încât pseudotensorul schimbă semnul cu o reflecție în timp ce un tensor normal nu îl schimbă. Conform unei definiții, un pseudotensor P de tipul ( p , q ) este un obiect geometric ale cărui componente, pe bază arbitrară, sunt numerotate prin indici ( p + q ) și respectă regula de transformare

{\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}}=(-1)^{A}A^{i_{1}}{}_{k_{1}}\cdots A^{i_{q}}{}_{k_{q}}B^{l_{1}}{}_{j_{1}}\cdots B^{l_{p}}{}_{j_{p}}P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}

{\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\, j_ {1} \ ldots j_ {p}} ^ {i_ {1} \ ldots i_ {q}} = (- 1) ^ {A} A ^ { i_ {1}} {} _ {k_ {1}} \ cdots A ^ {i_ {q}} {} _ {k_ {q}} B ^ {l_ {1}} {} _ {j_ {1}} \ cdots B ^ {l_ {p}} {} _ {j_ {p}} P_ {l_ {1} \ ldots l_ {p}} ^ {k_ {1} \ ldots k_ {q}}}

{\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\, j_ {1} \ ldots j_ {p}} ^ {i_ {1} \ ldots i_ {q}} = (- 1) ^ {A} A ^ { i_ {1}} {} _ {k_ {1}} \ cdots A ^ {i_ {q}} {} _ {k_ {q}} B ^ {l_ {1}} {} _ {j_ {1}} \ cdots B ^ {l_ {p}} {} _ {j_ {p}} P_ {l_ {1} \ ldots l_ {p}} ^ {k_ {1} \ ldots k_ {q}}}

sub o schimbare de bază. ^[1] ^[2] ^[3]

${\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}},P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\, j_ {1} \ ldots j_ {p}} ^ {i_ {1} \ ldots i_ {q}}, P_ {l_ {1} \ ldots l_ {p }} ^ {k_ {1} \ ldots k_ {q}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\, j_ {1} \ ldots j_ {p}} ^ {i_ {1} \ ldots i_ {q}}, P_ {l_ {1} \ ldots l_ {p }} ^ {k_ {1} \ ldots k_ {q}}}$ sunt componentele pseudotensorului din noua și respectiv vechea bază,
$A^{i_{q}}{}_{k_{q}},B^{l_{p}}{}_{j_{p}}$ ${\ displaystyle A ^ {i_ {q}} {} _ {k_ {q}}, B ^ {l_ {p}} {} _ {j_ {p}}}$ ${\ displaystyle A ^ {i_ {q}} {} _ {k_ {q}}, B ^ {l_ {p}} {} _ {j_ {p}}}$ sunt matricile de tranziție pentru indicii contravarianți și respectiv pentru indici covarianți,
$(-1)^{A}=\mathrm {sgn} (\det(A^{i_{q}}{}_{k_{q}}))=\pm {1}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {A} = \ mathrm {sgn} (\ det (A ^ {i_ {q}} {} _ {k_ {q}})) = \ pm {1}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {A} = \ mathrm {sgn} (\ det (A ^ {i_ {q}} {} _ {k_ {q}})) = \ pm {1}}$ . Această regulă de transformare diferă de regula pentru un tensor obișnuit prin prezența factorului (-1) ^A.

Al doilea context în care se folosește cuvântul „pseudotensor” este relativitatea generală . În această teorie, nu este posibil să se descrie energia și impulsul unui câmp gravitațional cu un tensor energie-impuls. Mai degrabă, introducem obiecte care se comportă ca tensori numai cu privire la un număr mic de transformări de coordonate. Strict vorbind, aceste obiecte nu sunt deloc tensori. Un exemplu binecunoscut al acestor pseudotensori este pseudotensorul Landau - Lifshitz.

Exemple

Pe varietățile neorientabile, o formă de volum nu poate fi definită global din cauza neorientabilității, dar poate fi definit un element de volum, care este formal o densitate și poate fi numit și o formă de pseudo-volum , datorită schimbării semnului suplimentar . Elementul de volum este o densitate pseudotensorială, conform primei definiții.

În integrarea multidimensională se poate realiza o schimbare de variabile prin adăugarea unui factor al determinantului matricei iacobiene , în valoare absolută. Utilizarea valorii absolute introduce o schimbare de semn pentru transformări necorespunzătoare de coordonate pentru a compensa convenția de a menține elementele de integrare (volum) pozitive; prin urmare, un integrand este un exemplu de densitate pseudotensorială conform primei definiții.

Simbolurile Christoffel ale unei conexiuni afine pe o varietate pot fi considerate drept termenii de corecție a derivatelor parțiale ale unei expresii în coordonate ale unui câmp vector față de coordonatele care fac ca derivata unui câmp vector să fie covariantă. În timp ce conexiunea afină în sine nu depinde de alegerea conexiunii, simbolurile sale Christoffel o fac, ceea ce le face o cantitate pseudotensorială în conformitate cu a doua definiție.

Notă

^ Sharipov, RA (1996). Curs de geometrie diferențială, Ufa: Universitatea de Stat Bashkir, Rusia, p. 34, echiv. 6.15.
^ Lawden, Derek F. (1982). O introducere în calculul tensorului, relativitatea și cosmologia. Chichester: John Wiley & Sons Ltd., p. 29, echiv. 13.1. ISBN 0-471-10082-X
^ Borisenko, AI și Tarapov, IE (1968). Analiza vectorială și tensorială cu aplicații, New York: Dover Publications, Inc., p. 124, echiv. 3.34. ISBN 0-486-63833-2

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Pseudotensore în MathWorld Wolfram Research.

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Sharipov, RA (1996). Curs de geometrie diferențială, Ufa: Universitatea de Stat Bashkir, Rusia, p. 34, echiv. 6.15.

[2] Lawden, Derek F. (1982). O introducere în calculul tensorului, relativitatea și cosmologia. Chichester: John Wiley & Sons Ltd., p. 29, echiv. 13.1. ISBN 0-471-10082-X

[3] Borisenko, AI și Tarapov, IE (1968). Analiza vectorială și tensorială cu aplicații, New York: Dover Publications, Inc., p. 124, echiv. 3.34. ISBN 0-486-63833-2

[1]

[2]

[3]