Punct de prindere

În topologia generală , un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct de aderare la un subspatiu al unui spatiu topologic daca este posibil sa gasesti puncte ale acestui subspatiu "arbitrar aproape de" $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Aceasta este o noțiune mai puțin restrictivă decât cea a unui punct de acumulare .

Definiție

Un punct $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este aderent la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă și numai dacă, totuși, luăm o vecinătate a elementului $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , intersecția cartierului cu întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este întotdeauna gol.

Adică, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un punct de lipire pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă și numai dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un punct de acumulare pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sau este un punct izolat al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Spații topologice

Un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ aparținând unui spațiu topologic $(X,T)$ ${\ displaystyle (X, T)}$ $(X, T)$ se numește punctul de aderență (sau punctul de închidere ) pentru un subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dacă fiecare deschidere conținând $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ se intersectează $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . În simboluri:

\forall A\in T,x_{0}\in A:A\cap S\not =\varnothing .

{\ displaystyle \ forall A \ în T, x_ {0} \ în A: A \ cap S \ not = \ varnothing.}

{\ displaystyle \ forall A \ în T, x_ {0} \ în A: A \ cap S \ not = \ varnothing.}

Spații metrice

Într-un spațiu metric , dacă luăm în considerare topologia indusă în mod natural de metrică, definiția este echivalentă cu următoarea cerere.

\forall r>0:B(x_{0},r)\cap S\not =\varnothing ,

{\ displaystyle \ forall r> 0: B (x_ {0}, r) \ cap S \ not = \ varnothing,}

{\ displaystyle \ forall r> 0: B (x_ {0}, r) \ cap S \ not = \ varnothing,}

unde cu $B(x_{0},r)$ ${\ displaystyle B (x_ {0}, r)}$ $B (x_ {0}, r)$ indică bila de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și centru $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Nu rezultă (ca în cazul punctelor de acumulare) că în fiecare bilă există puncte infinite de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Diferența cu punctele de acumulare

Toate punctele de acumulare de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ sunt și membri, dar viceversa nu este valabilă. De fapt nu este necesar ca fiecare cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ se intersectează $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în alte puncte decât $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Intersecția non-goală poate fi garantată de același punct, atâta timp cât îi aparține $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Rezultă că toate punctele $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ sunt aderente la $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , chiar și atunci când nu sunt de acumulare. În acest din urmă caz vorbim de puncte izolate .

Închiderea unui set

Ansamblul punctelor de aderență ale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ se numește închidere (sau aderență ) a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică