Punct de discontinuitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , în special în analiză , se numește punctul de discontinuitate al unei funcții cu valoare reală un punct aparținând domeniului în care funcția nu este continuă [1] . Noțiunea de punct de discontinuitate poate fi ușor extins la cazul în care funcția nu este definită în punctul în sine, ci într - o vecinătate a acesteia (astfel încât este posibil să se definească dreapta și la stânga limitele [2] ).

În cazul unei singure funcții variabile , asta înseamnă un punct este de discontinuitate dacă și numai dacă starea nu este verificată:

.

În funcție de modul în care această condiție eșuează, punctele de discontinuitate sunt grupate în trei familii, numite specii :

  1. discontinuitatea de primul fel : limita dreaptă și limita stângă pentru tinde să există finite, dar sunt diferite între ele (funcția are un „salt” finit în punctul de abscisă ) [2] ;
  2. discontinuitatea de al doilea fel : cel puțin una dintre cele două limite pentru tinde să este infinit (pozitiv sau negativ) sau nu există (în acest din urmă caz ​​vorbim și de discontinuitate esențială ) [3] ;
  3. discontinuitatea de al treilea fel (sau eliminabilă ): există limite egale și finite la dreapta și la stânga pentru tinde să , dar valoarea lor este diferită de valoarea lui în sens sau nu este definit în [4] .

Discontinuitatea de primul fel (sau salt)

Este .

Un punct este de primă discontinuitate pentru în cazul în care stânga și dreapta limitele pentru FOR funcția exit care tinde spre și ambele sunt terminate, dar sunt diferite. Atunci sunt valabile toate următoarele condiții:

Discontinuitatea este denumită în mod obișnuit „salt”, deoarece aspectul graficului este cel al unui salt în punctul discontinuității. Cantitatea se mai numește „salt” [3] .

Exemple

Salt discontinuitatea.

Functia

întotdeauna deține 1 pentru pozitiv și -1 pentru negativ, și apoi face un "salt" în (unde este 0).

În exemplul prezentat în figură, funcția este definită după cum urmează:

Al doilea fel (sau esențial) discontinuitate

Este .

Un punct este de discontinuitate de al doilea fel pentru când limita funcției pentru care tinde spre din dreapta și / sau din stânga este infinit sau nu există. Cu alte cuvinte, atunci când se aplică una dintre următoarele condiții:

În primul caz, discontinuitatea este, de asemenea, numită esențială . Unii definesc, de asemenea, un „punct de discontinuitate de al doilea fel” ca un punct care nu aparține domeniului funcției, ci care este acumularea acesteia ( ) și pentru care se aplică una dintre condițiile de mai sus (de exemplu, sau , ale cărei limite pentru sunt respectiv infinite și inexistente) [3] . Cu toate acestea, strict vorbind, o funcție ar trebui definită ca „continuă” sau „discontinuă” numai în punctele care aparțin setului său de definiție și, în acest sens, funcții precum cele menționate sunt continue în întregul domeniu (în ambele cazuri, împreună .

Exemple

Discontinuitatea de al doilea fel.

Un exemplu cu limita infinită este funcția

Un exemplu în care limita nu există este prezentat în figură și este funcția

Discontinuitatea de al treilea tip (sau eliminabilă)

Este .

Un punct este de discontinuitate de al treilea fel pentru când limita dreaptă a funcției pentru care tinde spre este același cu cel din stânga, cu ambele valori finite, dar valoarea lui în nu coincide cu aceste limite. Cu alte cuvinte, atunci când se aplică toate condițiile următoare:

Discontinuitatea se mai numește eliminabilă , deoarece este suficientă „ajustarea” valorii în în felul următor:

pentru a face funcția continuă la punct.

Există unii care definesc un punct de „discontinuitate eliminabilă” chiar și atunci când nu aparține domeniului funcției, ci este de acumulare pentru funcție și în jurul căruia funcția își asumă o limită finită și egală de la stânga la dreapta [4 ] .

Exemple

Eliminare discontinuitate.

Functia

poate fi extins la o funcție continuă în posendo (a se vedea limita semnificativă pentru calcularea limitei). Pentru orice altă alegere de , funcția va avea o discontinuitate care poate fi eliminată în .

Un alt exemplu, a cărui figură este prezentată lateral, este reprezentat de funcție

cu

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: funcția Dirichlet și delta Dirac .

Notă

  1. ^ Rudin , p. 94.
  2. ^ a b Soardi , p. 190.
  3. ^ a b c Soardi , p. 191.
  4. ^ a b Soardi , p. 192.

Bibliografie

  • P. Soardi, Mathematical Analysis (ediție nouă) , Novara, Città Studi Edizioni, 2010, ISBN 978-88-251-7359-8 .
  • ( EN ) W. Rudin, Principiile analizei matematice , AA Arthur, SL Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X .
  • Despre caracteristicile curbelor plane ca locuri de încălcare a principiului discontinuității , teza de diplomă de Pavel Florenskij, mistic și om de știință rus.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică