Punct de șa

Un punct de șa (în roșu) pe graficul z = x ² −y ² .

În analiza matematică , un punct de șa al unei funcții reale a mai multor variabile reale $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ este un punct critic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a domeniului $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în care matricea Hessian este nedefinită: adică nu este nici o matrice semidefinită pozitivă, nici o matrice semidefinită negativă . Acest lucru este echivalent cu a spune că matricea Hessian are o valoare proprie strict pozitivă și una strict negativă.

In caz $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ , graficul funcției are o formă în jur $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ amintind de șaua unui cal. În special, există două curbe care trec prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ astfel încât, prin restricția de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe aceste curbe, $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este respectiv punctul minim și punctul maxim relativ.

Exemplu

Este $f(x,y)=x^{2}-y^{2}\;$ ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} -y ^ {2} \;}$ ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} -y ^ {2} \;}$

În sens $P=(0,0)\;$ ${\ displaystyle P = (0,0) \;}$ ${\ displaystyle P = (0,0) \;}$ avem un punct staționar, deoarece gradientul este zero: de fapt

{{\partial f} \over {\partial x}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=2x\to {{\partial f} \over {\partial x}}\left({0{\rm {,}}}0\right)=2\cdot 0=0\;

{\ displaystyle {{\ partial f} \ over {\ partial x}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = 2x \ to {{\ partial f} \ over {\ partial x }} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) = 2 \ cdot 0 = 0 \;}

{\ displaystyle {{\ partial f} \ over {\ partial x}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = 2x \ to {{\ partial f} \ over {\ partial x }} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) = 2 \ cdot 0 = 0 \;}

{{\partial f} \over {\partial y}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=-2y\to {{\partial f} \over {\partial y}}\left({0{\rm {,}}}0\right)=-2\cdot 0=0\;

{\ displaystyle {{\ partial f} \ over {\ partial y}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = - 2y \ to {{\ partial f} \ over {\ partial y}} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) = - 2 \ cdot 0 = 0 \;}

{\ displaystyle {{\ partial f} \ over {\ partial y}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = - 2y \ to {{\ partial f} \ over {\ partial y}} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) = - 2 \ cdot 0 = 0 \;}

Forma pătratică a funcției, la punct $P=(0,0)\;$ ${\ displaystyle P = (0,0) \;}$ ${\ displaystyle P = (0,0) \;}$ , este dat de expresia de mai jos:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left({0{\rm {,}}}0\right)\cdot a^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left({0{\rm {,}}}0\right)\cdot ab+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\left({0{\rm {,}}}0\right)\cdot b^{2}\;

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) \ cdot a ^ {2} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) \ cdot ab + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) \ cdot b ^ {2} \;}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) \ cdot a ^ {2} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) \ cdot ab + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} \ left ({0 {\ rm {,}}} 0 \ right) \ cdot b ^ {2} \;}

Dar:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=2;

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = 2;}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = 2;}

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=0;

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = 0;}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = 0;}

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\left({x{\rm {,}}}y\right)=-2;

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = - 2;}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} \ left ({x {\ rm {,}}} y \ right) = - 2;}

prin urmare, la punctul $P=(0,0)\;$ ${\ displaystyle P = (0,0) \;}$ ${\ displaystyle P = (0,0) \;}$ , avem:

2a^{2}-2b^{2}\;

{\ displaystyle 2a ^ {2} -2b ^ {2} \;}

{\ displaystyle 2a ^ {2} -2b ^ {2} \;}

Acum se poate verifica pur și simplu (de exemplu prin matricea Hessian corespunzătoare) că forma pătratică nu este nici semidefinită pozitivă, nici semidefinită negativă, deci este nedeterminată și, prin urmare, punctul $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ este un punct de șa. Matricea Hessian este:

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \ end {bmatrix}}}

Deoarece matricea Hessian este deja în formă diagonală, putem vedea imediat că valorile proprii sunt $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $-2$ ${\ displaystyle -2}$ ${\ displaystyle -2}$ : având atât o valoare proprie pozitivă cât și una negativă, matricea Hessian este, precis, nedeterminată.

Se poate observa, de asemenea, că în acest exemplu este forma Hessian $2a^{2}-2b^{2}\;$ ${\ displaystyle 2a ^ {2} -2b ^ {2} \;}$ ${\ displaystyle 2a ^ {2} -2b ^ {2} \;}$ în fiecare punct, nu doar în $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ . Acest lucru nu este întâmplător: depinde de faptul că funcția dată a fost un polinom de gradul II și, prin urmare, derivatele sale parțiale sunt constante.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de cusătură

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică