Punct izolat

În topologia generală , un punct izolat pentru un set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un punct care nu are alte puncte de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ "vecini".

Definiție

Un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ aparținând unui subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ într-un spațiu topologic este un punct izolat al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ dacă există un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ care nu conține alte puncte de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Spațiul metric sau euclidian

În special, într-un spațiu euclidian (sau într-un spațiu metric ), $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct izolat al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ dacă există o bilă deschisă centrată în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ care nu conține niciun element de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ diferit de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Definiții echivalente

În mod echivalent, un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ nu este un punct izolat dacă și numai dacă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct de acumulare pentru $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Discreți împreună

Un set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ format exclusiv din puncte izolate, se numește set discret .

Orice set finit dintr-un spațiu metric este discret. Conversa este adevărată dacă spațiul metric este compact și $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este închis : într-un spațiu compact, fiecare subset închis discret este finit.

Un subset discret într-un spațiu non-compact poate să nu fie finit, dar este în general numărabil : acest lucru se întâmplă de exemplu în spațiul euclidian . Pe de altă parte, nu este adevărat că fiecare subset de număr al spațiului euclidian este discret: de exemplu, mulțimea $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ mathbb Q}$ al numerelor raționale este numărabil, dar nu discret.

Perfect împreună

Un set închis fără puncte izolate, format doar din puncte de acumulare, se numește un set perfect .

Exemple

Fiecare element al $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ este izolat în $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ de fapt: Sia $n_{0}\in \mathbb {N} \$ ${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N} \}$ ${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N} \}$ și fie $I(n_{0},r)$ ${\ displaystyle I (n_ {0}, r)}$ ${\ displaystyle I (n_ {0}, r)}$ un cartier al $n_{0}$ ${\ displaystyle n_ {0}}$ $n_ {0}$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .
Apoi din definiție avem asta $n_{0}\in \mathbb {N} \$ ${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N} \}$ ${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N} \}$ este un punct izolat în $\mathbb {N} \ \Leftrightarrow \ \exists \ r\in \mathbb {R} \ :I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ \ Leftrightarrow \ \ există \ r \ în \ mathbb {R} \: I (n_ {0}, r) \ cap \ mathbb {N} \ smallsetminus \! \ left \ {n_ {0} \ right \} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ \ Leftrightarrow \ \ există \ r \ în \ mathbb {R} \: I (n_ {0}, r) \ cap \ mathbb {N} \ smallsetminus \! \ left \ {n_ {0} \ right \} = \ varnothing}$ .
Întrucât pentru $r={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {2}}}$ se pare ca $I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing$ ${\ displaystyle I (n_ {0}, r) \ cap \ mathbb {N} \ smallsetminus \! \ left \ {n_ {0} \ right \} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle I (n_ {0}, r) \ cap \ mathbb {N} \ smallsetminus \! \ left \ {n_ {0} \ right \} = \ varnothing}$ , deducem că $n_{0}$ ${\ displaystyle n_ {0}}$ $n_ {0}$ este izolat.

Spațiile topologice ale exemplelor următoare trebuie considerate subespai ale liniei reale .

Pentru întreg $S=\{0\}\cup [1,2]$ ${\ displaystyle S = \ {0 \} \ cup [1,2]}$ ${\ displaystyle S = \ {0 \} \ cup [1,2]}$ , ideea $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ este un punct izolat.

Pentru întreg $S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\ldots \}$ ${\ displaystyle S = \ {0 \} \ cup \ {1,1 / 2,1 / 3, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle S = \ {0 \} \ cup \ {1,1 / 2,1 / 3, \ ldots \}}$ , fiecare punct $1/k$ ${\ displaystyle 1 / k}$ $1 / k$ este un punct izolat, cu excepția punctului $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ ceea ce nu se datorează faptului că există alte puncte aparținând întregului $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ aproape de $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ așa cum se dorește.

Întregul $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$ de numere naturale este un set discret .

Întregul s-a închis $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ este un întreg perfect .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică